2014年北京市朝阳区高三二模数学（理）答案

一、选择题（满分40分） 题号 答案 题号 答案 9 1 B 10 2 C 11 3 C 4 D 12 5 D 6 A 13 7 C 8 B 14 二、填空题（满分30分） 23 ?80 3 82 383 2n?1 n(n?3) 2②③ 三、解答题（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由S?ABC?所以c?5．

由a2?b2?c2?2bccosA得，a?3?5?2?3?5?cos所以a?7．

2221bcsinA得，S?ABC?1?3?csin???153． 2234???49， 373?ab?（Ⅱ）由得，3sinB， sinAsinB2 所以sinB?33． 142所以cos2B?1?2sinB?16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据题意，

71． 98参加社区服务时间在时间段?90,95?小时的学生人数为200?0.060?5?60（人）， 参加社区服务时间在时间段?95,100?小时的学生人数为200?0.020?5?20（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的

概率估计为P?60?20?80?2.

2002005 1

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90

小时的概率为.

由已知得，随机变量?的可能取值为0,1,2,3．

003 所以P(??0)?C3()?()?2527； 125354121P(??1)?C3()?()2?；

551252336P(??2)?C32()2?()1?；

5512538323P(??3)?C3()?()0?．

551252535随机变量?的分布列为

? P 0 1 2 3 2754368 125125125125226 因为 ?~B(3，)，所以E??3??．

55517．（本小题满分14分）

证明：（Ⅰ）如图，连结AC．

因为底面ABCD是正方形， 所以AC与BD互相平分． 又因为F是BD中点， 所以F是AC中点．

PEADFBCE是PA中点，F是AC中点，在△PAC中，

所以EF∥PC．

又因为EF?平面PBC，PC?平面PBC， 所以EF∥平面PBC．

（Ⅱ）取AD中点O．在△PAD中，因为PA?PD， 所以PO?AD．

因为面PAD?底面ABCD， 且面PAD面ABCD=AD，

所以PO?面ABCD．

因为OF?平面ABCD

zPEAxODFBCy2

所以PO?OF． 又因为F是AC中点，

所以OF?AD．

如图，以O为原点，OA,OF,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系．

因为PA?PD?AD?2，所以OP?3，则O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，

13C(?1,2,0)，D(?1,0,0)，P(0,0,3)，E(,0,)，F(0,1,0)．

22于是AB?(0,2,0)，DE?(,0,323)，DF?(1,1,0)． 2因为OP?面ABCD，所以OP?(0,0,3)是平面FAD的一个法向量． 设平面EFD的一个法向量是n=(x0,y0,z0)．

?x0?y0?0,??n?DF?0,?y0??x0,?? 因为?所以?3即? 3z??3x.z0?0,??0?0?x0??n?DE?0,2?2令x0?1则n=(1,?1,?3)． 所以cos?OP,n??OP?nOP?n??33?5?15． 515． 5由图可知，二面角E-DF-A为锐角，所以二面角E-DF-A的余弦值为（Ⅲ）假设在棱PC上存在一点G，使GF?面EDF．设G(x1,y1,z1)，

则FG=(x1,y1?1,z1)． 由（Ⅱ）可知平面EDF的一个法向量是n=(1,?1,?3)． 因为GF?面EDF，所以FG=?n．

于是，x1??,y1?1???,z1??3?，即x1??,y1?1??,z1??3?． 又因为点G在棱PC上，所以GC与PC共线． 因为PC?(?1,2,?3)，CG?(x1+1,y1?2,z1)，

3

所以

x1?1y1?2z==1． ?12?3所以

1?????1?3?，无解． ==?12?3故在棱PC上不存在一点G，使GF?面EDF成立． 18．（本小题满分13分）

（Ⅰ）由已知得f?(x)?2e2x?1?a．

因为曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线x?ey?1?0垂直， 所以f?(0)?e．所以f?(0)?2e?a?e． 所以a?e．

（Ⅱ）函数f(x)的定义域是???,???，f?(x)?2e2x?1?a．

（1）当a?0时，f?(x)?0成立，所以f(x)的单调增区间为???,???． （2）当a?0时，

1a11a1ln?，所以f(x)的单调增区间是(ln?,??)； 2222221a11a1令f?(x)?0，得x?ln?，所以f(x)的单调减区间是(??,ln?)．

222222令f?(x)?0，得x?综上所述，当a?0时，f(x)的单调增区间为???,???；

当a?0时，f(x)的单调增区间是(lna1?,??)， 221a1f(x)的单调减区间是(??,ln?)．

22212（Ⅲ）当x?0时，f(0)?e?1?1成立，a?R． “当x?(0,1]时，f(x)?e2x?1?ax?1?1恒成立”

e2x?1等价于“当x?(0,1]时，a?恒成立．”

xe2x?1设g(x)?，只要“当x?(0,1]时，a?g(x)min成立．”

x(2x?1)e2x?1． g?(x)?2x 4