江苏省连云港、徐州、宿迁三市2015届高三下学期第三次模拟数学试卷 下载本文

考点: 与圆有关的比例线段;弦切角. 专题: 推理和证明. 分析: 连接DE,交BC于点G.通过弦切角定理,得∠ABE=∠BCE,然后利用勾股定理可得DB=DC. 解答: 证明:如图,连接DE,交BC于点G.

由弦切角定理,得∠ABE=∠BCE. …(4分) 而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,所以BE=CE. …(6分) 又因为DB⊥BE,所以DE为圆的直径,

所以∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC. …(10分)

点评: 本题考查直线与圆的位置关系,圆的切线的应用,勾股定理的应用,考查推理能力.

(选修4-2:矩阵与交换)

22.已知矩阵A的逆矩阵A=

﹣1

.求曲线xy=1在矩阵A所对应的变换作用下所得

的曲线方程.

考点: 逆变换与逆矩阵. 专题: 矩阵和变换.

分析: 根据矩阵变换的特点代入计算即可.

解答: 解:设xy=1上任意一点(x,y)在矩阵A所对应的变换作用下对应的点(x′,y′),

则=A

﹣1

=,

由此得

2

2

代入方程xy=1,得y′﹣x′=2.

22

所以xy=1在矩阵A所对应的线性变换作用下的曲线方程为y﹣x=2.

点评: 本题考查矩阵的变换等知识,注意解题方法的积累,属于基础题.

(选修4-4:坐标系与参数方程) 23.已知曲线C1的参数方程为

(α为参数).在平面直角坐标系中,以坐标原

点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos(θ+=2.求C1与C2交点的极坐标,其中ρ≥0,0≤θ<2π.

考点: 简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程.

分析: 运用同角的平方关系,可得C1的普通方程,由x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得曲线C2的直角坐标方程,联立方程组,可得交点,再由直角坐标和极坐标的关系,即可得到所求点的极坐标. 解答: 解:将

2

2

消去参数α,得(x﹣2)+y=4,

22

所以C1的普通方程为:x+y﹣4x=0. 由ρcos(θ+

)=2

,即为

(ρcosθ﹣ρsinθ)=2

则曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程得:x﹣y﹣4=0. 由

,解得

所以C1与C2交点的极坐标分别为(4,0)或(2,).

点评: 本题考查参数方程,极坐标方程和普通方程的互化,同时考查曲线交点的求法,考查

运算能力,属于基础题.

(选修4-5:不等式选讲) 24.已知a,b,c都是正数,求证:

考点: 不等式的证明.

专题: 证明题;不等式的解法及应用.

分析: 利用基本不等式,再相加,即可证得结论. 解答: 证明:∵a,b,c都是正数,

∴ab+bc≥2abc,ab+ca≥2abc,ca+bc≥2abc

222222222

∴2(ab+bc+ca)≥2abc+2abc+2abc 222222222∴ab+bc+ca≥abc+abc+abc ∴

≥abc.

22

22

2

22

22

2

22

22

2

≥abc.

点评: 本题考查利用基本不等式证明不等式,考查学生的计算能力,属于基础题.

[必做题]每小题10分,计20分。请把答案写在答题卡的指定区域内。

25.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,沿对角线BD将△ABD折起,使A,C之间的距离为,若P,Q分别为线段BD,CA上的动点.

(1)求线段PQ长度的最小值;

(2)当线段PQ长度最小时,求直线PQ与平面ACD所成角的正弦值.

考点: 直线与平面所成的角;点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离;空间角.

分析: 取BD中点E,连结AE,CE,说明CE⊥BD,证明AE⊥CE,得到AE⊥平面BCD,以EB,EC,EA分别为x,y,z轴,建立如图空间直角坐标系, (1)设P(a,0,0)求出(2)由(1)知

向量表达式,然后求解模的最值.

,求出平面ACD的一个法向量为,然后利用向量的

数量积,求解故直线PQ与平面ACD所成角的正弦值.

解答: 解:取BD中点E,连结AE,CE,则AE⊥BD,CE⊥BD,AE=CE=

222

∵AC=,∴AE+CE=AC,∴△ACE为直角三角形,∴AE⊥CE, ∴AE⊥平面BCD…(2分)

以EB,EC,EA分别为x,y,z轴,建立如图空间直角坐标系, 则B(1,0,0),C(0,,0),A(0,0,),…(3分) (1)设P(a,0,0),则

=

分) 当a=0,

时,PQ长度最小值为

…(6分)

,设平面ACD的一个法向量为=(x,y,z),

=

…(5

(2)由(1)知

由,得,化简得,取

设PQ与平面ACD所成角为θ,则==.

故直线PQ与平面ACD所成角的正弦值为…(10分)

点评: 本题考查直线与平面所成角的求法,空间距离公式的应用,考查逻辑推理能力以及计算能力.

26.设a,b,n∈N,且a≠b,对于二项式(1)当n=3,4时,分别将该二项式表示为(2)求证:存在p,q∈N,使得等式

考点: 二项式定理的应用. 专题: 二项式定理.

分析: (1)当n=3,4时,利用二项式定理把二项式∈N)的形式.

(2)分n为奇数、n为偶数两种情况,分别把可得

=

+

,从而证得p﹣q=(a﹣b).

=(a+3b)

﹣(b+3a)

=

n

*

*

*

(p,q∈N)的形式; =

与(a﹣b)=p﹣q同时成立.

n

*

表示为﹣(p,q

展开,综合可得结论;同理

解答: (1)当n=3时,

当n=4时,

=显然是

*

=a﹣4a﹣

(p,q∈N)的形式.

2

+6ab﹣4b

+b=(a+6ab+b)﹣4(a+b)

222

(2)证明:由二项式定理得=?(﹣1)?

i

??,