3. 根据对偶原理，写出与下列推理式对应的另一个推理式。 （1）A?A?B （2）(A?B)??B?A （3）(?A?B)??B??A

（4）(?A?B)?(?B?C)??A?C （5）(?A?B)?(?C?D)?(A?C)?B?D （6）(?A?B)?(?C?D)?(?B??D)??A??C 解（1）A?B?A （2）A?(A?B)??B （3）?A?(?A?B)??B

（4）?A?C?(?A?B)?(?B?C) （5）B?D?(?A?B)?(?C?D)?(A?C) （6）

第2章：谓词逻辑

§2.1 个体词、谓词与量词

习题2.1

1. 将下列命题用0元谓词符号化。 （1）小王学过英语和法语。

（3）3不是偶数。

（2）2大于3仅当2大于4。 （4）2或3是质数。

（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。

Q(x)：x学过英语，x学过法语，c：解 （1）令P(x)：小王，命题符号化为P(c)?Q(c)。

（2）令P(x,y)：x大于y，命题符号化为P(2,3)?P(2,4)。 （3）令P(x)：x是偶数，命题符号化为?P(3)。 （4）令P(x)：x是质数，命题符号化为P(2)?P(3)。

（5）令P(x)：x是东北人；Q(x)：x怕冷；c：李键；命题符号化为?Q(c)?P(c)。

b，c}，消去下列各式的量词。 2. 设个体域D?{a，（1）?x?y(P(x)?Q(y)) （3）?xP(x)??yQ(y) 解 略

（2）?x?y(P(x)?Q(y)) （4）?x(P(x，y)??yQ(y))

，2，3}。3. 设谓词P(x，y)表示“x等于y”，个体变元x和y的个体域都是D?{1求下列各式的真值。

（1）?xP(x，3)

，y) （2）?yP(1y) （3）?x?yP(x，y) （4）?x?yP(x，y) （5）?x?yP(x，

y) （6）?y?xP(x，3)?1，所以?x(P(x，3)?1。 解（1）因为P(3，，3)?0，所以?y(P(1，y)?0。 （2）因为P(1，3)?0，所以?x?yP(x，y)?0。 （3）因为P(13)?1，所以?x?yP(x，y)?1。 （4）因为P(3，y)??x(P(x,1)?P(x,2)?P(x,3)) （5）?x?yP(x，?(P(1,1)?P(1,2)?P(1,3))?(P(2,1)?P(2,2)?P(2,3))?(P(3,1)?P(3,2)?P(3,3)) y)??x(P(x,1)?P(x,2)?P(x,3)) （6）?x?yP(x，?(P(1,1)?P(1,2)?P(1,3))?(P(2,1)?P(2,2)?P(2,3))?(P(3,1)?P(3,2)?P(3,3))

?1?1?1?1

4. 设下面所有的个体变元的个体域都是整数集合，用自然语言表达下列各式并确定其

2?n(n?0) （1）

2?n(n?2) （2）

2?n?m(n?m) （4）

真值。

2解（1） 对任意的整数n有n?0。其值为1。

（3）?n(n?n)

22?n?m(n?m) （5）

（6）?n?m(n?m?0)

22?n?m(n?m?5) （8）

（7）?n?m(n?m?m)

22?n?m(n?m?6) （9）

（10）?n?m(n?m?4?n?m?1) （12）?n?m?k(k?(n?m)/2)

（11）?n?m(n?m?4?n?m?2)

2（2）存在整数n使得n?2。其值为 0。 2（3）对任意的整数n有n?n。其值为1。

2（4）对任意的整数n，存在整数m使得n?m。其值为1。

（5）存在整数n使得对任意的整数m都有n?m。其值为0。 （6）对任意的整数n，存在整数m使得n?m?0。其值为1。

（7）存在整数n使得对任意的整数m都有n?m?m。其值为1。

22（8）存在这样的整数n，m使得n?m?5。其值为1。 22（9）存在这样的整数n，m使得n?m?6。其值为0。

2（10）存在整数n使得对任意的整数m都有n?m?4且n?m?1。其值为 0。 （11）存在整数n使得对任意的整数m都有n?m?4且n?m?2。其值为 0。

（12）对任意的整数m，n，存在整数k使得k?(n?m)/2。其值为 0。

5. 令谓词P(x，y)表示“x访问过y”，其中x的个体域是学校全体学生，y的个体域（1）P(方元，www.hziee.edu.cn)。 （2）?xP(x，www.google.com)。 （3）?yP(冯友，y)。

（4）?y(P(吴笛，y)?P(钱华，y))。

是所有网站的集合。用自然语言表达下列各式。

（P(黄帅，z)?P(y，z)))。 （5）?y?z(y?黄帅?（6）?x?y?z((x?y)?(P(x，z)?P(y，z)))。 解（1）方元访问过www.hziee.edu.cn。

（2）至少有一个学生访问过www.google.com。 （3）冯友至少访问过一个网站。

（4）至少有一个网站是吴笛和钱华都访问过的。 （5）有另外一个学生访问过黄帅访问过的所有网站。 （6）至少有两个不同的学生访问过的网站完全相同。

6. 令谓词P(x)表示“x说德语”，Q(x)表示“x了解计算机语言C++”，个体域为杭电全体学生的集合。用P(x)、Q(x)、量词和逻辑联接词符号化下列语句。

（1）杭电有个学生既会说德语又了解C++。 （2）杭电有个学生会说德语，但不了解C++。 （3）杭电所有学生或会说德语，或了解C++。 （4）杭电没有学生会说德语或了解C++。

假设个体域为全总个体域，谓词M(x)表示“x是杭电学生”。用P(x)、Q(x)、M(x)、

量词和逻辑联接词再次符号化上面的4条语句。

解 个体域为杭电全体学生的集合时： （1）?x(P(x)?Q(x)) （2）?x(P(x)??Q(x)) （3）?x(P(x)?Q(x)) （4）??x(P(x)?Q(x))

若个体域为全总个体域，谓词M(x)表示“x是杭电学生”，则：

（1）?x(M(x)?P(x)?Q(x)) （2）?x(M(x)?P(x)??Q(x)) （3）?x(M(x)?(P(x)?Q(x)))

（4）??x(M(x)?(P(x)?Q(x)))

7. 令谓词P(x，y)表示“x爱y”，其中x和y的个体域都是全世界所有人的集合。用

P(x，y)、量词和逻辑联接词符号化下列语句。

8. 令谓词P(x，y)表示“x给y发过电子邮件”，Q(x，y)表示“x给y打过电话”，其中x和y的个体域都是实验班所有同学。用P(x，y)、Q(x，y)、量词和逻辑联接词符号化下列语句。

（1）周叶从未给李强发过电子邮件。

（2）方芳从未给万华发过电子邮件，或打过电话。 （3）实验班每个同学都给余涛发过电子邮件。 （4）实验班没有人给吕键打过电话。

（5）实验班每个人或给肖琴打过电话或给他发过电子邮件。 （6）实验班有个学生给班上其他人都发过电子邮件。

（7）实验班有个学生给班上其他人或打过电话，或发过电子邮件。 （8）实验班有两个学生互发过电子邮件。 （9）实验班有个学生给自己发过电子邮件。

（10）实验班至少有两个学生，一个给另一个发过电子邮件，而另一个给这个打过电话。 解（1）?P(周叶，李强)

（2）?(P(方芳，万华)??Q(方芳，万华)) （3）?xP(x,余涛) （4）?x?Q(x,吕键) （1）每个人都爱王平。

（2）每个人都爱某个人。 （4）没有人爱所有的人。 （6）有个人人都不爱的人。 （8）成龙爱的人恰有两个。 （10）有人除自己以外谁都不爱。 （2）?y?xP(x,y)。 （4）??x?yP(x,y)。 （6）?y?x?P(x,y)。

（3）有个人人都爱的人。 （5）有个张键不爱的人。

（7）恰有一个人人都爱的人。 （9）每个人都爱自己。 （3）?y?xP(x,y)。

解（1）?xP(x,王平)。

（5）?y?P(张键，y)。

（7）?y(?xP(x,y)??v((?uP(u,v))?v?y))（每个人都爱这个人）或

?x(?yP(x,y)??u((?vP(u,v))?u?x))（这个人爱每个人）

（10）?x?y(P(x,y)?x?y)。

（8）?x?y(x?y?P(成龙,x)?P(成龙,y)??z(P(成龙,z)?(z?x?z?y)))。 （9）?xP(x,x)。