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?y＝x解析 画出y＝x和y＝x3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组?
?y＝x3
3
得交点的横坐标为x＝0及x＝1.因此，所求图形的面积为S＝?10(x－x)dx.
1
6．由y＝x2，y＝x2及x＝1围成的图形的面积S＝______.
41答案
4
解析 图形如图所示：
2112
S＝?10xdx－?0xdx 4
32＝?10xdx 411＝x3|10＝. 44二、能力提升
7．设f(x)＝错误!则?错误!f(x)dx等于( ) 34A. B. 455
C. D．不存在 6答案 C
解析 数形结合，如图，
122
?20f(x)dx＝?0xdx＋?1(2－x)dx
1122＝x3|1＋(2x－x)| 3021115＝＋(4－2－2＋)＝. 326
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2
8．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c>0)围成图形的面积是，则c等于( )
3112A. B. C．1 D. 323答案 B
2
??y＝x1
解析 由?3得x＝0或x＝c. ??y＝cx
1
∵0
c∴S＝?(x2－cx3)dx 13141＝(x－cx)|0c 34＝
11123－3＝3＝. 3c4c12c3
1c01∴c3＝. 81∴c＝.
2
9．从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．
1答案
3
S阴11231
解析 根据题意得：S阴＝?13xdx＝x|＝1，则点M取自阴影部分的概率为＝＝. 00
13S矩3×10．求曲线y＝6－x和y＝8x，y＝0围成图形的面积．
解 作出直线y＝6－x，曲线y＝8x的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．
?y＝6－x
解方程组?得直线y＝6－x与曲线y＝8x交点的坐标为(2,4)，直线y＝6－x与x
?y＝8x
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轴的交点坐标为(6,0)．
因此，所求图形的面积S＝S1＋S2
6
＝?208xdx＋?2(6－x)dx
23126＝8×x2|20＋(6x－x)|2 32
161212＝＋[(6×6－×6)－(6×2－×2)] 3221640＝＋8＝. 33
11．求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积． 解 由y′＝－2x＋4得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6，
??y＝2x－2，由?得两直线交点坐标为C(2,2)， ?y＝－2x＋6，?
2∴S＝S△ABC－?31(－x＋4x－3)dx
1142
－x3＋2x2－3x??＝×2×2－?＝2－＝. ??3??1233
12．设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2,4)移动，如果直线OP，曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1、S2.
3
(1)当S1＝S2时，求点P的坐标；
(2)当S1＋S2有最小值时，求点P的坐标和最小值． 解 (1)设点P的横坐标为t(0 S1＝?0(tx－x2)dx＝t3， 681 S2＝?t2(x2－tx)dx＝－2t＋t3. 36因为S1＝S2， 4416 所以t＝，点P的坐标为(，)． 339181 (2)S＝S1＋S2＝t3＋－2t＋t3 63618 ＝t3－2t＋，S′＝t2－2， 33 祹 宝：微 微 一 笑 很 倾 我 祹 宝：微 微 一 笑 很 倾 我 令S′＝0得t2－2＝0. 因为0 因为0 S1＋S2有最小值－， 33此时点P的坐标为(2，2)． 三、探究与拓展 4 13．已知抛物线y＝x2－2x及直线x＝0，x＝a，y＝0围成的平面图形的面积为，求a的值． 3解 作出y＝x2－2x的图象如图． (1)当a<0时， 2 S＝?0a(x－2x)dx 13a3220 ＝(x－x)|a＝－＋a 334＝， 3 ∴(a＋1)(a－2)2＝0. ∵a<0，∴a＝－1. (2)当a>0时， ①若0 2 S＝－?a0(x－2x)dx 1a＝－(x3－x2)|0 314＝a2－a3＝， 33∴a3－3a2＋4＝0 即(a＋1)(a－2)2＝0. ∵a>0，∴a＝2. ②当a>2时， 2a2 S＝－?20(x－2x)dx＋?2(x－2x)dx 1132a＝－(x3－x2)|20＋(x－x)|2 33818 ＝－(－4)＋(a3－a2－＋4) 3334184＝＋(a3－a2－＋4)＝. 3333 祹 宝：微 微 一 笑 很 倾 我 祹 宝：微 微 一 笑 很 倾 我 14∴a3－a2＋＝0 33∴a>2不合题意． 综上a＝－1，或a＝2. 祹 宝：微 微 一 笑 很 倾 我