BD2＋CD2－CB2202＋212－3121

在△CBD中，由余弦定理得cos β＝＝＝－，

2BD·CD2×20×217∴sin β＝

43

. 7

4313

而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝×＋

722153

×＝. 714

在△ACD中，∴AD＝

21AD＝，

sin 60°sin α21×sin α＝15(千米)．

sin 60°

所以这人还要再走15千米可到达城A.

21．(本小题满分12分)(2016·洛阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2C＋22cos C＋2＝0.

(1)求角C的大小；

2

(2)若b＝2a，△ABC的面积为sin Asin B，求sin A及c的值. 【导学

2号：05920081】

【解】 (1)∵cos 2C＋22cos C＋2＝0，

∴2cos2C＋22cos C＋1＝0，即(2cos C＋1)2＝0， ∴cos C＝－

2. 2

3π. 4

又C∈(0，π)，∴C＝

(2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝3a2＋2a2＝5a2， ∴c＝5a，即sin C＝5sin A， ∴sin A＝

110sin C＝.

105

12

∵S△ABC＝absin C，且S△ABC＝sin Asin B，

22

12

∴absin C＝sin Asin B， 22∴

absin C＝2，由正弦定理得

sin Asin B?c?2??sin C＝2，解得c＝1. ?sin C?

22．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝msin x＋2cos x(m>0)的最大值为2.

(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；

(2)若△ABC中，f???A－π?4??＋f?

??B－π?4??＝46sin Asin B，角A，B，分别是a，b，c，且C＝60°，c＝3，求△ABC的面积．

【解】 (1)由题意，f(x)的最大值为m2＋2，所以m2＋2＝2. 又m>0，所以m＝2，f(x)＝2sin?

?π??x＋4??.

令2kπ＋π2≤x＋π4≤2kπ＋3π

2(k∈Z)， 得2kπ＋

π4≤x≤2kπ＋5π4

(k∈Z)． 所以f(x)在[0，π]上的单调递减区间为??π?

?4，π??.

(2)设△ABC的外接圆半径为R，

由题意，得2R＝csin C＝3

sin 60°＝23.

化简f??π?π??A－4??＋f?

??B－4??＝46sin Asin B，

得sin A＋sinB＝26sin Asin B.

由正弦定理，得2R(a＋b)＝26ab，a＋b＝2ab.① 由余弦定理，得a2＋b2－ab＝9， 即(a＋b)2－3ab－9＝0.②

将①式代入②，得2(ab)2－3ab－9＝0， 解得ab＝3或ab＝－3

2

(舍去)，

所对的边

C133

故S△ABC＝absin C＝. 24