顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用） （1）请直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？

【答案】(1) y?121x , z??x?30;(2) 当x?75时，W有最大值1125，?年产量为75 1010万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元； 【解析】 【分析】

（1）利用待定系数法可求出y与x以及z与x之间的函数关系式；

（2）根据（1）的表达式及毛利润=销售额-生产费用，可得出w与x之间的函数关系式，再利用配方法求函数最值即可．

【详解】（1）图①可得函数经过点（100，1000）， 设抛物线的解析式为y＝ax2（a≠0）， 将点（100，1000）代入得：1000＝10000a， 解得：a＝

1， 1012

x； 10故y与x之间的关系式为y＝

（2）图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20）， 设z＝kx+b，则??100k?b?20，

b?30?1?k???解得：?10，

??b?3021

故z与x之间的关系式为z＝﹣W＝zx﹣y＝﹣＝﹣

1x+30； 10121x+30x﹣x2 10101（x﹣75）2+1125， 51∵﹣＜0，

5∴当x＝75时，W有最大值1125，

∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元．

【点睛】本题考查了二次函数的应用及一次函数的应用，解答本题的关键是利用待定系数法求函数解析式． 27.感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）

探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD． E分别在边AB、AC上．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=62，CE=4，则DE的长为______．

【答案】探究：成立；拓展：【解析】 【分析】

5． 2感知：先判断出，∠BAP=∠DPC，进而得出结论；

探究：同理根据两角相等相等，两三角形相似，进而得出结论；

拓展：利用相似三角形△BDP∽△CPE得出比例式求出BD，三角形内角和定理证得AC⊥AB且AC=AB；然后在直角△ABC中由勾股定理求得AC=AB=6；最后利用在直角△ADE中利用勾股定理来求DE的长度． ， 【详解】感知：∵∠APD=90°， ∴∠APB+∠DPC=90°， ∵∠B=90°

， ∴∠APB+∠BAP=90°∴∠BAP=∠DPC，

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， ∵AB∥CD，∠B=90°， ∴∠C=∠B=90°∴△ABP∽△DCP．

探究：∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠CPD， ∴∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD． ∵∠B=∠APD， ∴∠BAP=∠CPD． ∵∠B=∠C， ∴△ABP∽△PCD，

拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE， ∴

BDBP， ?CPCE∵点P是边BC的中点， ∴BP=CP=32， ∵CE=4， ∴BD32， ?4329， 2∴BD=

， ∵∠B=∠C=45°

﹣∠B﹣∠C=90°， ∴∠A=180°

即AC⊥AB且AC=AB=6， ∴AD=AB﹣BD=6﹣

93=，AE=AC﹣CE=6﹣4=2， 222223?52Rt△ADE中，DE=AD?AE??． ?2???2?2?故答案是：

5． 2【点睛】此题是相似综合题．主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角定理．解本题的关键是△ABP∽△PCD． 28.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣

1x+2分别交x轴、y轴于点A、B．点C的坐标是（﹣1，0），2抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点且交y轴于点D．点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点Q，连结DQ，设点P的横坐标为m（m≠0）．

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（1）求点A的坐标． （2）求抛物线的表达式．

（3）当以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．

【答案】（1）点A坐标为（4，0）；（2）y＝【解析】 【分析】 (1)直线y=﹣

123x﹣x﹣2；（3）m＝2或1+17或1﹣17． 221x+2中令y=0，即可求得A 点坐标； 2(2)将A、C坐标代入，利用待定系数法进行求解即可；

(3)先求出BD的长，用含m的式子表示出MQ的长，然后根据BD=QM，得到关于m的方程，求解即可得. 【详解】(1)令y＝﹣

1x+2＝0，解得：x＝4， 2所以点A坐标为：(4，0)；

(2)把点A、C坐标代入二次函数表达式，得

?0?16a?4b?2， ??0?a?b?21?a???2， 解得：?3?b???2?故：二次函数表达式为：y＝(3)y=﹣

123x﹣x﹣2； 221x+2中，令x=0，则y=2，故B(0，2)， 213y＝x2﹣x﹣2中，令x=0，则y=-2，故D(0，-2)，

22所以BD=4，

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