第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积

一、选择题

1.水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′＝C′O′＝1，

A′O′＝

3

，那么原△ABC是一个( ) 2

A．等边三角形 B．直角三角形

C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 解析：选A.AO＝2A′O′＝2×

2

3

＝3，BC＝B′O′＋C′O′＝1＋1＝2， 2

2

在Rt△AOB中，AB＝1＋（3）＝2，同理AC＝2，所以△ABC是等边三角形． 2．给出下列几个命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；

③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( ) A．0 C．2

B．1 D．3

解析：选B.①错误，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台是上、下底面相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．

3．(2019·武汉市调研测试)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为CD的中点，则三棱锥A-BC1M 的体积VA-BC1M＝( )

1A． 21C． 6

1B． 41D． 12

1111

解析：选C.VA-BC1M＝VC1-ABM＝S△ABM·C1C＝×AB×AD×C1C＝.故选C.

3326

- 1 -

4．把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为( ) A．10 C．102

B．103 D．53

解析：选B.设圆锥的底面半径为r，高为h.因为半圆的弧长等于圆锥的底面周长，半圆的半径等于圆锥的母线，所以2πr＝20π，所以r＝10，所以h＝20－10＝103.

5．(2019·湖北武汉5月模拟)已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为( )

A．4 C．223

B．29 D．417

2

2

??4（x＋y＋z）＝36，①

解析：选B.设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，由已知得?

??2（xy＋xz＋yz）＝52，②

①的两边同时平方得x＋y＋z＋2xy＋2xz＋2yz＝81，把②代入得x＋y＋z＝29，所以长方体的体对角线的长为29.故选B.

6．已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )

A．4π 32

C．π

3

16B．π

3D．16π

222222

解析：选D.如图，由题意知圆柱的中心O为这个球的球心，于是，球的半径

r＝OB＝OA2＋AB2＝12＋（3）2＝2.故这个球的表面积S＝4πr2＝16π.故选

D.

7．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，则点B到平面D1AC的距离等于( )

A．

3 3

B．

6 3

C．1

D．2 解析：选B.如图，连接BD1，易知D1D就是三棱锥D1-ABC的高，AD1

＝CD1＝5，取AC的中点O，连接D1O，则D1O⊥AC，所以D1O＝AD1－AO2

2

1＝3.设点B到平面D1AC的距离为h，则由VB-D1AC＝VD1-ABC，即S△

3

D1AC·h＝S△ABC·D1D，又S△D1AC＝D1O·AC＝×3×22＝6，S△ABC＝AB·BC＝×2×2

1312121212

- 2 -

＝2，所以h＝

6

.故选B. 3

1

8．在三棱锥S-ABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，AB＝SC，且三棱锥S-ABC293

的体积为，则该三棱锥的外接球半径是( )

2

A．1 C．3

B．2 D．4

解析：选C.取SC的中点O，连接OA，OB，则OA＝OB＝OC＝OS，即O为三棱锥的外接球13293

球心，设半径为r，则×2r×r＝，所以r＝3.

342

9．(2019·安徽省江南十校3月检测)我国南北朝时期的科学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：如果两个等高的几何体在等高处的水平截面的面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．利用此原理求以下几何体的体积：如图，曲线y＝x(0≤y≤L)和直线y＝L围成的封闭图形绕y轴旋转一周得几何体Z，将Z放在与y轴垂直的水平面α上，用平行于平面α，且与Z的顶点O距离为l的平面截几何体Z，得截面圆的面积为π(l)＝πl.由此构造右边的几何体Z1(三棱柱ABC-A1B1C1)，其中AC⊥平面α，BB1C1C∥α，EFPQ∥α，AC＝L，AA1?α，AA1＝π，Z1与Z在等高处的截面面积都相等，图中EFPQ和BB1C1C为矩形，且PQ＝π，FP＝l，则几何体Z1的体积为( )

2

2

A．πL 12

C．πL 2

2

B．πL 13D．πL 2

3

解析：选C.由题意可知，在高为L处，几何体Z和Z1的水平截面面积相等，为πL， 12

所以S矩形BB1C1C＝πL，所以BC＝L，所以V三棱柱ABC-A1B1C1＝S△ABC·π＝πL，故选

2C.

10．(2019·重庆市七校联合考试)已知正三棱锥的高为6，内切球(与四个面都相切)的表面积为16π，则其底面边长为( )

A．18 C．63

B．12 D．43

解析：选B.由题意知，球心在三棱锥的高PE上，设内切球的半径为R，

- 3 -

则S球＝4πR＝16π，所以R＝2，所以OE＝OF＝2，OP＝4.在Rt△OPF中，PF＝OP－OF＝23.因为△OPF∽△DPE，所以

222

OFPF2

＝，得DE＝23，AD＝3DE＝63，AB＝AD＝12.故选B. DEPE3

11．(多选)在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何图形的4个顶点，这些几何图形可以是( )

A．矩形

B．有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体 C．每个面都是直角三角形的四面体 D．每个面都是等边三角形的四面体

解析：选ABCD.4个顶点连成矩形的情形显然成立；图(1)中四面体A1-D1B1A是B中描述的情形；图(2)中四面体D-A1C1B是D中描述的情形；图(3)中四面体A1-D1B1D 是C中描述的情形．

12．(多选)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论正确的是( )

A．直线A1C1与AD1为异面直线 B．A1C1∥平面ACD1 C．BD1⊥AC

8

D．三棱锥D1-ADC的体积为

3

解析：选ABC.对于A，直线A1C1?平面A1B1C1D1，AD1?平面ADD1A1，

D1?直线A1C1，则易得直线A1C1与AD1为异面直线，故A正确；

对于B，因为A1C1∥AC，A1C1?平面ACD1，AC?平面ACD1， 所以A1C1∥平面ACD1，故B正确；

对于C，连接BD，因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，所以BD1⊥AC，故C正确；

114

对于D，三棱锥D1-ADC的体积V三棱锥D1-ADC＝××2×2×2＝，故D错误．

32313．(多选)如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1.则( )

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