全国名校高考数学一轮复习优质专题汇编（知识点详解附专题训练）

第5节 倒序相加与错位相减法

【基础知识】

1．倒序相加法：类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法，如果一个数列?an?的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．

2．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．

若错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。是等差数列，错误！未找到引用源。是公比为错误！未找到引用源。等比数列，令 错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。两式错位相减并整理即得.

【规律技巧】

(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解；

(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． 应用错位相减法求和时需注意：

①给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论； ②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n.

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【典例讲解】

【例1】已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.

an(1)令cn＝b，求数列{cn}的通项公式；

n(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.

【解析】(1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)， an＋1an所以－＝2，即cn＋1－cn＝2.

bn＋1bn

所以数列{cn}是以首项c1＝1，公差d＝2的等差数列，故cn＝2n－1.

(2)由bn＝3n－1知an＝cnbn＝(2n－1)3n－1，

于是数列{an}前n项和Sn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n－1)·3n－1， 3Sn＝1·31＋3·32＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n，

相减得－2Sn＝1＋2·(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n＝－2－(2n－2)3n，所以

Sn＝(n－1)3n＋1.

【变式探究】 数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.

?an?

(1)证明：数列?n?是等差数列；

??

(2)设bn＝3n·an，求数列{bn}的前n项和Sn.

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12n【例2】 求证：Cn0?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn?(n?1)2n

12n证明： 设Sn?Cn0?3Cn………………………….. ?5Cn?????(2n?1)Cn①

把①式右边倒转过来得

nn?110Sn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn?????3Cn?Cn

（反序）

又由Cnm?Cnn?m可得

1n?1n Sn?(2n?1)Cn0?(2n?1)Cn…………..…….. ?????3Cn?Cn②

1n?1n ①+②得 2Sn?(2n?2)(Cn0?Cn?????Cn?Cn)?2(n?1)?2n

（反序相加）

∴ Sn?(n?1)?2n

【变式探究】求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值

解：设S?sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?…………. ①

将①式右边反序得

S?sin289??sin288??????sin23??sin22??sin21?…………..② （反序）

又因为 sinx?cos(90??x),sin2x?cos2x?1 ①

+

②

得

（反序相加）

2S?(sin21??cos21?)?(sin22??cos22?)?????(sin289??cos289?)＝

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∴ S＝44.5

【针对训练】

1;设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1?b1?1，

a3?b5?21，a5?b3?13

（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列?n?的前n项和Sn．

2;在数列?an?中，a1?2，an?1??an??n?1?(2??)2n(n?N?)，其中??0． （Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）求数列?an?的前n项和Sn；

【练习巩固】 1、求数列{n?2n}前n项和.

2、已知等差数列?an?满足：a3?7，a5?a7?26.?an?的前n项和为Sn. （Ⅰ）求an 及Sn； （Ⅱ）令bn?

1?n?N（）,求数列?bn?的前

an2?1?a??bn?n项和Tn.