π?31?

tan?α＋β?－tan?β－4?5－4??7＝＝＝3123. ?π?

1＋tan?α＋β?tan?β－4?1＋5×4

??7

答案 23 三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)

15．(10分)对任意实数x和整数n，已知f(sin x)＝sin[(4n＋1)x]，求f(cos x)． ??π????π??

?2－x?? 解 f(cos x)＝f?sin?2－x??＝sin??4n＋1?·????????π???π?

＝sin?2nπ＋2－?4n＋1?x?＝sin?2－?4n＋1?x?

????＝cos[(4n＋1)x]．

→→→

16．(10分)已知a，b不共线，AB＝2a＋kb，CB＝a＋3b，CD＝2a－b，若A，B，D三点共线，求实数k的值．

→→→→→

解 ∵BD＝BC＋CD＝－CB＋CD＝a－4b， →

而a与b不共线，∴BD≠0.

→→

又∵A，B，D三点共线，∴AB，BD共线． →→

故存在实数λ，使AB＝λBD，即2a＋kb＝λa－4λb. 又∵a与b不共线，

?2＝λ

∴由平面向量基本定理，得??k＝－8.

k＝－4λ?4

17．(10分)已知α为锐角，且sin α＝5. sin2α＋sin 2α(1)求2的值；

cosα＋cos 2α5π??

(2)求tan?α－4?的值．

??

43

解 (1)因α为锐角，且sin α＝5，∴cos α＝1－sin2α＝5.

sin2α＋sin 2αsin2α＋2sin αcos α∴2＝ cosα＋cos 2α3cos2α－143?4?2

?5?＋2××

55??

＝＝20.

?3?2

3×?5?－1??

5π?sin α4?

(2)∵tan α＝cos α＝3，∴tan?α－4?＝

??

tan α－11

＝5π1＋tan α＝7.

1＋tan αtan45π

tan α－tan4

1??3??

18．(12分)设a＝?，cos α?，b＝?sin α，2?，若a∥b，求锐角α的值．

???2?1??3??

解 ∵a＝?，cos α?，b＝?sin α，2?，且a∥b，

???2?313

∴2×2－cos αsin α＝0，即sin αcos α＝4. ?由?3

sin αcos α＝?4

sin2α＋cos2α＝1，

2

，

得sin α＋cos α＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α ＝

3＋13

1＋2＝2，

3＋13

∴sin α、cos α是方程x－2x＋4＝0的两根． 3

?sin α＝?2解得?

1

cos α＝??2

，或?

1

??sin α＝2，

??cos α＝2.

3

π?ππ?

又α∈?0，2?，∴α＝3或6. ??

19．(12分)已知向量b＝(m，sin 2x)，c＝(cos 2x，n)，x∈R，f(x)＝b·c，若函数f(x)?π?的图象经过点(0,1)和?4，1?.

??(1)求m、n的值；

π??

(2)求f(x)的最小正周期，并求f(x)在x∈?0，4?上的最小值；

??

解 (1)f(x)＝mcos 2x＋nsin 2x， ∵f(0)＝1，∴m＝1. ?π?∵f?4?＝1，∴n＝1. ??

π??

(2)f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝2sin?2x＋4?，

??∴f(x)的最小正周期为π. π?ππ3π?

∵x∈?0，4?，∴4≤2x＋4≤4. ??π

∴当x＝0或x＝4时，f(x)的最小值为1.