第一章 光的电磁理论

?z??1.1 一个平面电磁波可以表示成 Ex=0，Ey=2cos[2??10?c?t??2]，Ez=0，问：

??14

（1） 该电磁波的频率、波长、振幅原点的初位相为多少？（2）波的传播和电矢量的

振动取哪个方向？（3）与电场想联系的磁场B的表达式如何写？

?z??t??。 1.2 一个线偏振光在玻璃中传播时可以表示为 Ey=0，Ez=0，Ex=10cos?100.65c??2

15

试求 （1）光的频率；（2）波长；（3）玻璃的折射率。

1.3 证明E=Acos(kz-?t)是波动方程（1-22）的解。 1.4 一种机械波的波函数为y=Acos2???xt???，其中A=20mm，T=12s，?=20mm试画出??T?t=3s时的波形曲线。从x=0画到x=40mm。

1.5 在与一平行光束垂直的方向上插入一透明薄片，起厚度=0.01，折射率=1.5，若光波的波长=500，试计算插入玻璃片前后光束光程和位相的变化。

1.6 地球表面每平方米接受到来自太阳光的功率约为1.33kW，试计算投射到地球表面的太阳光的电场强度。假设可以把太阳光看作是波长为?=600nm的单色光。

1.7 在离无线电发射机10km远处飞行的一架飞机，收到功率密度为10?W/m2的信号。试计算（1）在飞机上来自此信号的电场强度大小；（2）相应的磁感应强度大小；（3）发射机的总功率。假设发射机各向同性地辐射，且不考虑地球表面反射的影响。

1.8 沿空间k方向传播的平面波可以表示为 E=100exp{i[(2x+3y+4z)-16?108t]}

试求k方向的单位矢量k。

1.9 球面电磁波的电场是r和t的函数，其中r是一定点到波源的距离，t是时间。（1）写出与球面波相应的波动方程的形式；（2）求出波动方程的解。

1.10 证明柱面波的振幅与柱面波到波源的距离的平方根成反比。

1.11 一束线偏振光在450角下入射到空气-玻璃界面，线偏振光的电矢量垂直于入射面，假设玻璃的折射率为1.5，求反射系数和透射系数。

1.12 假设窗玻璃的折射率为1.5，斜照的太阳光（自然光）的入射角为600，求太阳光的透射率。

1.13 利用菲涅耳公式证明（1）RS+TS=1；（2）RP+TP=1

1.14 入射到两种不同介质界面上的线偏振光的电矢量与入射面成?角，若电矢量垂直于入射面的分波（s波）和电矢量平行于入射面的分波（p波）的反射率分别为RS和RP，试写出总反射率R的表达式。

1.15 证明光束在布儒斯特角下入射到平行平面玻璃片的上表面时，在下表面的入射角也是布儒斯特角。

1.16 光波在折射率分别为n1和n2的二介质界面上反射和折射，当入射角为?1时（折射角为?2，如图a），s波和p波的反射系数分别为rs和rp，透射系数分别为ts和tp。若光波反过来从n2介质入射到n1介质，且当入射角为?2时（折射角为?1，如图b），s波和p波的反射系数分别为rs/和rp/，透射系数分别为ts/和tp/。试利用菲涅耳公式证明（1）rs=-rs/ (2)rp=-rp/ (3)tsts/=Ts (4)tptp/=Tp .

16题图

1.17 电矢量振动方向与入射面成450角的一束线偏振光入射到两介质界面上，若入射角?1=500，第一介质和第二介质的折射率为n1=1，n2=1.5，问反射光中电矢量与入射面所成的角度是多少？若?1=600，反射光电矢量与入射面所成的角度又是多少？

1.18 证明当入射角?1=450时，光波在任何两种介质界面上的反射都有 rp=rs2 。 1.19 证明光波在布儒斯特角下入射到两种介质的界面上时，tp=1/n，其中n=n2/n1 。

1.20 光束垂直入射到玻璃-空气界面，玻璃折射率n=1.5，计算反射系数、透射系数、反射率和透射率。

1.21 光束垂直入射到450直角棱镜的一个侧面，光束经斜面反射后从第二个侧面透出（如图）若入射光强度为I0，问从棱镜透出的光束的强度为多少？设棱镜的折射率为1.52，并且不考虑棱镜的吸收。

21题图

1.22 一个光学系统由两片分离的透镜组成，两片透镜的折射率分别为1.5和1.7，求此系统的反射光能损失。如透镜表面镀上增透膜，使表面反射率降为1%，问此系统的光能损失又是多少？假设光束接近于正入射通过各反射面。

1.23 光束以很小的入射角 到一块平行平板上，试求相继从平板反射的两支光束和透射的两支光束的相对强度。设平板的折射率n=1.5。

23题图

1.24 如图所示，玻璃块周围介质（水）的折射率为1.33。若光束射向玻璃块入射角为450，问玻璃的折射率至少应为多少才能使透射的光束发生全反射。

24题图

1.25 线偏振光在玻璃-空气界面上发生全反射，线偏振光电矢量的振动方向与入射面成450

角。设玻璃折射率=1.5，问线偏振光应以多大的角度入射才能使反射光的波和波的位相差等于450。

1.26 线偏振光在n1和n2介质的界面上发生全反射，线偏振光的电矢量的振动方向与入射面

2n12?n2成45。证明当 cos?= 2n12?n20

时（?是入射角），反射光s波和p波的位相差有最大值。

1.27 如图是一根直圆柱形光纤，光纤芯的折射率为n1，光纤包层的折射率为n2，并且n1>n2。

22（1）证明入射光的最大孔径角2u满足关系式sinu=n1?n2；（2）若n1=1.62，n2=1.52，

最大孔径角等于多少?

27题图 1.28如图是一根弯曲的圆柱形光纤，光纤芯和包层的折射率分别为n1n2，光纤芯的直径为D，

D??曲率半径为R。（1）证明入射光的最大孔径角2u满足关系式sinu=n?n?1??

?2R?21222（2）若n1=1.62，n2=1.52，D=70?m，R=12mm，最大孔径角等于多少？

28题图

1.29 已知硅式样的相对介电常数

?=12，电导率?=2/??cm，证明当电磁波的频率?0?<109Hz时，硅式样将起良导体作用，并计算?=10Hz时对这种式样的穿透深度。

1.30 试利用电磁场的边值关系证明，当平面电磁波倾斜入射到金属表面时，透入金属内部

的波的等相面和等幅面不互相重合。

1.31 在正常色散区，式（1-136）的实部的表达式可以写为（?〈〈 1〉

2fj?0??2Nq2 n=1+ ?2222?0mj?0??????j?2

???? 证明在略去?j后由上式可以得到科稀公式。

1.32 试证明f(x-vt)是一个沿x正方向运动的具有不变波形的行波。 1.33 试证明?(x,t)?f(x?vt)是一维微分波动方程的解。

1.34 若Ψ1（x，t）和Ψ2(x,t)是微分波动方程的两个解，试证明Ψ1（x，t）+Ψ2(x,t)也

是一个解。

1.35 已知波形为：?(y,0)?32y?12

（1）试写出沿y增加方向以2m/s速率运动相应的行波表达式。 （2）画出t=0和t=1秒的波形。

1.36 (1)试证明表达式?(z,t)?Ae?(2z?3t)是一行被； (2)验证它是波动方程的解。

1.37 下列诸函数哪一个描绘行波?式中A、B和C均是常数。

2?1(x,t)?A(x?t)2 ?2(y,t)?A(y?t?B)

?3(z,t)?AsinB(z2?ct2) ?4(x,t)?A(Bx2?t)

1.38 下列每一个波的传播方向和传播速率是什么？

?1(y,t)?A(y?t)2 ?2(x,t)?A(Bx?Ct?D)2

式中A、B、C和D是常数。

1.39 ?(x,t)?A(A?Bt?D)2?Aexp(Cx2?BC2t2?2BCxt)是一维微分波动方程的解吗？式中A、B、C和D是常数。如果?(x,t)实际上是一波函数，问该被的速率是多少？ 1.40证明波函数?(x,t)对t的变化率等于它对x的变化率乘上一常数。

1.41 试证明对于一列谐波,其空间上的重复性[Ψ（x，t）=Ψ（x±λ，t）]

要求k＝2π／λ。

1.42 光的波长大致是在390nm(紫光)到780nm(红光)的范围内。和所有真空中的电磁波一

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样，它在真空中速率约为3×10m／s。试确定对应的频率范围。 1.43试证明谐波函数?(x,t)?Asin(kx??t)是一维微分波动方程的解。 1.44试证明一列前进谐波可依次用下列方程来描绘：

（1）??Asin2?(x?t?)

?（2）??Asin2??(x?t) v（3）??Asin2?(kx??t)式中??1/?。

l.45 己知光波的波函数(SI单位）为?(x,t)?10sin?(3?10x?9?10t) 试确定(1)速率， (2)波长 (3)频率， (4)周期和(5)振幅。 1.46已知波函数为：?(x,t)?10cos2?(3614x?1.5?1015t) ?72?10试确定其速率、波长和频率。使用SI单位。

l.47 已知振幅为10个单位的谐扰动，它用波函数?(x,t)来描绘，?(0,0)＝0。如果这列

波角频率为π/2且以10m/s速率运动，试确定此波在t＝3s时、离波源20cm处的大小。 1.48假想你有一张t＝0时波的照片，表示其波形的数学表达式为?(x,0)?5sin?x/25。如果这列波沿负x方向以2m/s速率运动，试写t＝4s时扰动的表达式。 l.49 通过检验相位，试确定由下面式子所表示的行波的运动方向。

?1(y,t)?Acos2?(???)

??ty?2(z,t)?Acos?1015(t???)

1.50 利用 v?(zv?x)?这一事实，计算波 ?t?(x,t)?103sin?(3?106x?9?1014t)的速率，采用SI单位。

l.51 一列谐波沿正x方向运动，在x＝0处，Ψ＝10；在x＝λ／6处，Ψ＝20；而在x＝5λ／12处，Ψ＝0，试写出此谐波波形的表达式。 1.52 已知一振幅为20v/m的正弦波E(x,t)。如果E(0,0)＝-20v／m，那么此波的初相位是多少? (E可想象为电磁波的电场分量。)

1.53 一列正弦波当t＝0时在x=0处具有最大值。问其初相位为多少？

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1.54在空间的任一给定点，正弦波的相位随时间的变化率为12π×10rad／s，而在任一给

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定时刻，相位随距离x的变化率是4π×10 rad／m。若初相位是π／3，振幅是10且波沿正x方向前进，写出波函数的表达式。它的速率是多少？

1.55 我们己求得k·r＝常量是一垂直于k且通过某点(x0,y0,z0)的平面方程。试确定常量的形式，并写出笛卡儿坐标的谐波波函数。

1.56 试写出在笛卡儿坐标中以方向余弦cosα，cosβ，cosγ表示的平面谐波波函数，其中：kx?kcos?ky?kcos?kz?kcos?和cos2??cos2??cos2??1。然

后证明此函效是三维微分波动方程的一个解。 1.57 试证明?(r,t)?率

f(r?vt)是三维波动方程的解，它对应于中心在原点并从原点以速rv向外运动的球形扰动。式中f(r?vt)是一任意的二次可微函数。

1.58确定下列平面波的传播方向。

?(x,y,z,t)?Asin(k14x?2k14y?3k14z??t)

1.59 一平面谐波k＝2π/λ且k指向从原点过点(2，2，3)的直线，试在笛卡儿坐标中写出此平面谐波的表达式。

1.60 设一平面电磁波沿正χ方向传播，试证明电矢量和磁矢量的振动方向均垂直于波的传播方向。

1.61 试对于平面电磁波沿X方向传播的情形，证明电矢量和磁矢量互相垂直。 1.62 已知一平面简谐波的电场具有这样的形式： Ey ?x,t??Aycos????t?????x????? c??试写出相联系的磁场的表示式。

1.63 在真空中传播的一列平面电磁波，用国际单位量度时其电场可以表示为 Ex?0

Ey?0??x???Ez?(102V/m)cos???1014s?1?t???? ，?c?2??问该电磁波的频率、波长、振幅、周期和初位相是多少？

1.64 一平面简谐电磁波在真空中沿正X方向传播，其频率为6?10Hz，电场振幅为42.42V/m。如果该电磁波的振动面与 XY平面成450，试写出E和B表示式。

1.65 证明平面简谐电磁波的波动公式E?Acos(?t?kx)是波动微分方程

14?2E1?2E?22?0的解。 2?xv?t?2E1?2E??0，证明其解可以表示为1.66 利用分离变量法求解波动方程

?x2v2?t2E=Acos(?t?k?+?)或E=Asin(?t?k?+?)的形式。 1.67已知真空中的一平面电磁波，其B场表示为

Bx?0，By?66.7?10?8sin4??106(z?3?108t)，Bz?0

写出E场的表达式，此扰动的波长、速率、和运动方向如何？

1.68一列平面波从A点传播到B点，今在AB之间插入一透明薄片，薄片的厚度l=1mm，折射率n=1.5。假定光波的波长?0?500nm，试计算插入薄片前后B点位相的变化。 1.69 一列通过透明媒质的平面谐红外波以常用的SI单位用下式给出：

Ex(y,t)?Eoxsin2?(y?3?1014t) ?75?10试求在此频率时，媒质的折射率和此扰动在真空中的波长。

1.70 地球表面每平方米接收到来自太阳光的能量为1.33KW，若把太阳光看作是波长??600nm 的单色光，试计算投射到地球表面的太阳光的电场强度。 1.71 一个功率P=100W的单色光源均匀地向空间各个方向发光，试利用空间的磁导率的数值计算离光源10m处的光波电场强度。

1.72 利用波矢量k在直角坐标中的方向余弦cos? ,cos? ,cos?写出平面简谐波的波动公式，并且证明它是三维波动微分方程的解。

1.73 球面电磁波的电场E是 r和 t 的函数，其中 r是一定点到波源的距离。（1）写出与球面波相应的波动方程的形式；（2）求出波动方程的解。

1.74研究一个在真空中沿正y方向传播的波长为500nm的谐平面波。若B场被限制在xy平面上，且辐射强度为1.197w／m2，试确定E场。

1.75 一光束的真空波长为600nm。在折射率为1.5的媒质中它的波长为多少? 1.76 我们想要比较两光束的飞行时间；一束在四氯化碳(n＝1.46)的桶中，另一束在空气中。如果路程长度是一样的，当通过此路程的时间差要求为百万分之一秒时，问桶的长度应为多

少？

1.77 一个各向同性的点波源沿所有方向均匀地辐射。如果离开点波源10m处测得电场振幅为10 v／m，试确定辐射功率。

1.78 光束在300角下入射到空气和火石玻璃（n2=1.7）界面，试求电矢量垂直于入射面和平行于入射面分量的反射系数rs 和rp

1.79 对于上题所设的空气和火石玻璃界面，问光束在什么角度下入射恰可使 rp=0 ? 1.80 导出光束正入射或入射角很小时的反射系数和透射系数的表示式。

1.81 电矢量振动方向与入射面成450的线偏振光入射到两种介质的界面上，第一介质和第二介质的折射率分别为n1=1和n2=1.5。 （1）若入射角θ1=500，问反射光中电矢量与入射面所成的角度为多少？（2）若θ1=600，反射光电矢量与入射面所成的角度又为多少？ 1.82 光波在折射率分别为n1和n2的二介质界面上反射和折射，当入射角为?1时（折射角为?2，见图），电矢量垂直于入射面（s）和平行于入射面（p）的分波的反射系数分别为rs和rp，透射系数分别为ts和tp。若光波反过来从n2介质入射到n1介质，且当入射角为?2时

'（折射角为?1），s波和p波的反射系数分别为rs'和rp，透射系数为ts'和t'p。试利用菲涅耳

公式证明

''（1）rs??rs'；(2) rp??rp；(3) tsts?Ts ；(4) tpt'p?Tp

82题图

1.83 入射面到两种不同介质界面上的线偏振光波的电矢量与入射面成?角。若电矢量垂直于入射面的分波和平行于入射在的分波的反射率为Rs和RP，试写出总反射率R的表示式。 1.84 自然光（或非偏振光）的电矢量的取向迅速且无规则变化。如果自然光在角度?1下入射到二介质的界面，试导出自然光的反射率的表示式。

1.85 一光学系统由两片分离的透镜组成，两片透镜的折射率分别为1.5 和1.7，求此系统的反射光能损失。如透镜表面镀上增透膜使表面反射率降为1%，问此系统的光能损失又是多少？

1.86 光束以很小的角度入射到一块平行平板，试求相继从平板反射和透射的头两支光束的相对强度。设平板的折射率n=1.5

1.87 一个线偏振光束其E场垂直于入射面，此光束在空气中以450角照射到空气玻璃分界

面上。假设ng＝1.6，试确定反射系数和透射系数。 1.88证明：对于θi 的一切值-rs+ts＝l

1.89 图所示的全反射棱镜可以用来使象倒转。问为了能使光波在棱镜的斜面上发生全反射，棱镜的折射率最小应为多少？

89题图

1.90 浦耳弗里许(Pulfrich)折射计的原理如图所示。会聚光照明载有待测介质的折射面AB，然后用望远镜从棱镜的另一侧AC进行观测。由于ng>n,所以在棱镜中将没有折射角大于?G的光线，由望远镜观察到的视场是半明半暗的，中间的分界线与折射角为?G的光线相应。 （1）试证明n与ng 和θ的关系为： n?22ng?sin?

（2）棱镜的折射率ng=1.6，对某种被测介质测出θ=300，问该介质的折射率等于多少？

90题图

1.91 图所示是一根圆柱形光纤，光纤芯的折射率为n1，光纤包层的折射率为n2，并且n1>n2（1）证明入射光的最大孔径角2μ满足关系式sinu?最大孔径角等于多少？

2n12?n2。（2）若n1=1.62,n2=1.52

91题图

1.92 图所示是一根弯曲的圆柱形光纤，光纤芯和包层的折射率分别为n1和n2(n1>n2)，光纤芯的直径为D，曲率半径为R。

（1）证明入射光的最大孔径角2u满足关系式

D?? sinu?n?n?1??

?2R?21222（2）若n1=1.62,n2=1.52,D=12mm,最大孔径角等于多少？

92题图

1.93 线偏振光在一玻璃－空气界面上全反射，线偏振光电矢量的振动方向与入射面成一非零或π/2的角度，设玻璃的折射率n1=1.5，问线偏振光以多大的角度入射才能使反射光的s波和p波的位相差等于400。

1.94 折射率为nA＜nB＜nC的三种透明物质形成一个nA在上部和nC在下部的分层结构。如果A—B和B—C两分界面的临界角均为450，试确定nAC。

1.95 设想我们有一种放在开口容器中的透明液体，且我们求得临界角

θc=450。现在如果我们从上方以不同的θi角用光射它，那么一定可求得一个方向(θi＝θP)，在此方向上反射光是线偏振的，即rp＝0。试计算偏振角θp。 1.96 一个用低密度覆盖层包围的细玻璃纤维。存在有一个最大的在其垂截面上的入射角θ

使得任意一个以θi＞θMax射到表面上的光线将以小于θc的角度达到内壁，并且不i＝θMax，

发生全反射。证明

sin?Max122?(n2f?nc) n01（式中n0为空气折射率，nf为细玻璃纤维折射率，nc为低密度覆盖层折射率）在圆柱内接收的光线沿着其长度将多次向下反射。这就是所谓纤维光学的基础。