高中数学竞赛训练题
1．设全集I={(x,y)|x,y∈R}，集合M=?(x,y)??y?3??1?，N={(x，y)|y≠x+1}，那么CIM∩CIN等于x?2?D．{(x，y)|y=x+1}
（ ）
A．?
B．{(2，3)}
C．（2，3）
2．函数f(x)=log1（x2-2x-3）的单调递增区间是（ ）
2A．（-≦，-1） B．（-≦，1） C．（1，+≦） D．（3，+≦）
23．设全集是实数集，若A={x|
A．{2}
B．{-1}
x?2≤0}，B={x|10x
C．{x|x≤2}
?2=10x}，则A∩B是（ ） D．?
4．集合A，B的并集A∪B={a1，a2，a2}，当A≠B时，（A，B）与（B，A）视为不同的对，则这样
的（A，B）对的个数有（ ）
A．8 B．9 C．26 D．27
5．若非空集事A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A?A∩B成立的所有a的集合是（ ） A．{a|1≤a≤9} 6．函数f(x)?B．{a|6≤a≤9}
C．{a|a≤9}
D．?
xx?（ ）
1?2x2
B．是奇函数但不是偶函数
D．既不是偶函数也不是奇函数
A．是偶函数但不是奇函数 C．既是偶函数又是奇函数
7．设f(x)是一个函数，使得对所有整数x和y，都有f(x?y)=f(x)+f(y)+6xy+1和f(?x)?f(x) 则f(3)?———————————
8．如果在区间[1，2]上，函数f(x)=x2 + px +q（p∈[-4, -2]）与g(x)?x?小值，那么f(x)在该区间上的最大值是———————————
9．一次函数f(x)=ax+b的图象经过点（10，13），它与x轴的交点为（p，0），与y轴的交点为（0，q），其中p是质数，q是正整数，则满足条件所有一次函数为 .
10．已知f(x)=sinx+cos(x+t)为偶函数，且t满足不等式t2 - 3t -40 < 0，则t的值为 . 11．设M={1，2，…，1995}，A是M的子集且满足条件：当x∈A时，19x?A，是A中元素的个数最多是 .
12．已知f(x)的定义 在R上的函数，f(1)=1且对任意x∈R都有f(x?5)≥f(x)+5
1在同一点取相同的最x2f(x?1)≤f(x)+1 若g(x)=f(x)+1- x，则g(2002)= .
1
1213x?在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，b]. 22114．设a∈R，求函数f(x)=2ax?在区间(0,1]上的最大值.
x13.若函数f(x)=?15．设函数f(x)=ax2 + 8x +3（a<0），对于给定的负数a，有一个最大的正数l(a)，使得在整个区间[0，l(a)]上，不等式|f(x)|≤5都成立.
问：a为何值时l(a)最大？求出这个最大的l(a).证明你的结论.
16．设x∈[-1,1]时，恒有|ax2+bx+c|≤1，求证：当x∈[-1，1]时，有|cx2±bx+a|≤2.
17．设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数，且满足条件：①f(?1)?f(1)?0；②对任意的u，v???1,1?,都有|f(u)?f(v)|≤|u-v|.
（1）证明：对任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x
（2）证明：对任意的u，v∈[-1,1]，都有|f(u)?f(v)|≤1； （3）在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f(x)，使得
1?|f(u)?f(v)|?|u?v|,当u,v?[0,],??2若? ?|f(u)?f(v)|?|u?v|,当u,v?[1,1].?2?存在，请举一例；若不存在，请说明理由。
18. 设An={1，2，…，n},证明或否定下列命题对所有正整数n≥2，存在函数 f:An→An 和 g:An→An，满足条件：
f(f(k))?g(g(k))?k，k=1，2，…，n， g(f(k))?k?1, k=1，2，…，n-1.
19．A1，A2，…，A30是集合{1，2，…，2 003}的子集，且|Ai|≥660，i=1，2，…，30.证明：存在
i,j∈{1，2，…30}，i≠j,使得|Ai∩Aj|≥203.
20．函数f(x)对一切x>0有定义且取正值，又当a，b，c为三角形三边时，f(a)，f(b)，f(c)仍可构成三角形的三边长.证明：存在正数A和B，使得对一切x>0，都有f(x)≤Ax+B.
221.若A是S={1，2，…，n}的一k元子集，m为正整数,满足条件n>(m-1)(Ck+1),则存在S中的元
素t1，…,tm，使得:
Aj={x+tj|x∈A},j=1，…，m中任意两个的交集为空集.
2
22。数集M由2003个不同的实数组成，对于M中任何两个不同的元素a和b,数a?b2都是有
2理数。证明：对于数集M的任何一个数都是有理数。
23.称有限集S的所有元素的乘积为的“积数”。给定数集M=?,,?,偶数个元素的子集的“积数”之和。 24． 设集合Sn??1,2,?,n?11?231?。求数集M的所有含100?。如果X是Sn的子集，把X中的所有数的和称为的容量（规定空集的
容量为0）。如果X的容量为奇（偶）数，则称X为Sn的奇（偶）子集。
（1）。求证：Sn的奇子集与偶子集个数相等。 （2）。求证：当n?3时，Sn的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等。 （3）。当n?3时，求Sn的所有奇子集的容量之和。 25 求y?(3x?1)9x2?6x?5?1)?(2x?3)?(4x2?12x?13?1)的图像与x轴的交点坐标
ax2?126．设a＞0,r(x)?,讨论函数r(x)在(0,≦)上的单调性，最小值，最大值。
x27．设二次函数f(x)?ax2?bx?c (a,b,c?R,a?0)满足条件： （1） 当x?R时，且f(x?4)?f(2?x),f(x)≥0。
x2?12)。 （2） 当x?(0,2)时，f(x)≤(2（3） 在R上的最小值为0。
求最大的m(m?R)，使得存在t?R，只要x??1,m?，就有
f(x?t)≤x
28．设f为R?R的函数，对任意的正实数x,f(3x)?3f(x),且f(x)?1?x?2,1≤x≤3求最小的实数x，使得f(x)?f(2004）.
??x4?kx2?129. k是实数，f(x)?4, 对任意三个实数a,b,c, 存在一个以为f(a), f(b), f(c)三边长2x?x?1的三角形，求k的取值范围。
30. 设N是非负整数集，f:N?N是一个函数，使得对任意n?N，都有
(f(2n?1))2?(f(2n))2?6f(n)?1 f(2n)≥f(n)
问：f(N)中有多少个元素小于2003 ?
3
31. 已知二次函数f(x)?x2?ax?b(a,b?R) （1）。若方程f(x)?0无实根，求证：b＞0.
(2). 若方程f(x)?0有两实根，且两实根是相邻的两个整数，求证：f(?a)?12(a?1)。 4（3）。若方程f(x)?0有两个非整数实根，且这两实根都在相邻的两个整数之间，求证：存在整数k，使得f(k)?1成立。 4（4）。若方程f(x)?0有两个非整数实根，且这两实根在相邻的两个整数之间，请你探求当a,b满足什么条件时，一定存在整数k，使得f(k)?1成立。 432．设n?N,nsin1＞5 cos1+1，则n的最小值是( ) A. 4 B . 5 C. 6 D. 7 33. M . N在Rt△ABC的斜边AB上，
AM1AN3?,?, 那么M，N两点分别到两直角边的距离MB4NB2之和与?ABC的周长之比的最大可能值是（ ） A．
162110?4310?43 B。 C。 D。
555534．如果函数f(x)?sinnxsinnx?cosncosnx?cosn2x,对任意x?R都使f(x)为常数，则正整数n应为（ ）
A．1 B。3 C。3或1 D。不存在 35．关于x的方程2cos2(22x?x)?a?3sin(22x?x22?1) 至少有一个解，则实数a取值范围是
（ ）
A. （-1， 2 ） B .（-1，2） C。[-1，2 ] D。[-1，2]
236．设f(x)=x??x，??arcsin1515，??arctan，??arccos(?),??arccot(?),那么 3434
B．f(?)>f(?)>f(?)>f(?) D．f(?)>f(?)>f(?)>f(?)
A．f(?)>f(?)>f(?)>f(?) C．f(?)>f(?)>f(?)>f(?)
37. 锐角?,?满足?
A. a>b B. a
11222sinx?1)的值域是 . 39．函数y?arccot(sinx?338．函数y?arcsin(x?)?arcsin(x?)的定义域是 ，值域是 .
4
40．函数f(x)的定义域是(?cosx33)的定义域是 . ,)，则g(x)?f(2?sinx33a?2cosx?41．函数f(x)=在(0,)上是增函数，则a的范围是 .
23sinx42．三角式
2sinx?cos2x?3的范围是 . 24sinx?2sin3xsin3x?cos3xcos3x?sin2x的值域是 . 43．函数y?2cos2x44．如果x?[0,?2]，求y?cos2xsin3x的最大值。
45．已知?，??(0,46．设n?N??2)，求y?(6sin??3tan?)2?(6cos??3cot?)2的最小值。
,y?cos2n?sin?与y?sin2n?cos2?的最大值。
47．R上的奇函数f(x)在[0,??)上是递增的，且f(cos2??3)?f(4m?2mcos?)>0恒成立，求实数m的取值范围。
48．△ABC的内角满足acos2A?bsinA?1,acos2B?bsinB?1,acos2C+bsinC=1，试判定△ABC的形状.
49．平面上四边形ABCD中，AB=3，AD=CD=BC=1，△ABD和△BCD的面积分别为S、T，求S2+T2的最大值和最小值.
50．体积为V的圆锥体中，求侧面积的最小值.
2cosxsinx??. ，求证：
1?coxx2??52．已知x，y，z?(0,)，x+y+z=，求tanxtanytanz的最大值.
2251．设0 53．ai?R(i?1,2,3,4)， ?1?1，求a1a2a3a4的最小值. ?i?11?ai4?2x?x2y?y,?254．求方程组?2y?yz?z,的实数解. ?2z?z2x?x?55．化简 ?tank??tan(k?1)?(??k?,k?Z). k?1n?156 ．过锐角△ABC的重心G作AB、BC、AC的垂线，垂足为M、N、P.求证：57．P是△ABC的内心，R、r分别为△ABC外接圆和内切圆半径. 14S?MPN≤. ?427S?ABC 5 求证：6r≤PA+PB+PC≤3R. 58．P是△ABC的垂心，以BC、AC、AB为直径向外作三个半圆，分别与高AD、BE、CF延长线交 ADBECF????. DGEHFL59．P在△ABC内，求证：acosA?bcosB?cosC≤PA〃sinA+PB〃sinB+PC〃sinC. 于G、H、L.求证： 60．P在△ABC内，AP、BP、CP与对边分别交于L、M、N.求证： S?≥(BC?a,AC?b,AB?c.,S?表示△ABC的面积，R为其外接圆半径）. R61．设?1,?2，?3，?4?R，?1???2+?3+?4=?，求： 1111222(2sin?1?)(2sin?2?2)(2sin?3?)(2sin?4?)的222sin?2sin?3sin?1sin?42最小值. 62．求证：sinn2x+（sinnx-cosnx）2≤1. 63．三棱锥V—ABC的三条棱VA、VB、VC两两垂直，三个侧面与底面所成的二面角大小分别为?、 ?、?.求证：cos?cos?cos?（ 111??）≥3. cos2?cos2?cos2?64．设a、b、c为△ABC的三条边，a≤b≤c，R和r分别为△ABC的外接圆和内切圆半径.令f=a+b-2R-2r，试用C的大小来判定f的符号. 65．给定a，2?a?2，内接于单位圆?的凸四边形ABCD适合下列条件： （i）圆心在这凸四边形内部； （ii）最大边长是a，最小边长是4?a2. 过点A、B、C、D依次作圆?的4条切线LA、LB、LC、LD.已知LA与LB、LB与LC、LC与LD、LD 与LA分别交于A?、B?、C?、D?.求面积之比 nSA?B?C?D?''''SABCD的最大值与最小值. 66.化简 1 (??k?,k?Z) ?k?1cos(??k?)cos(??(k?1)?)(x2?1)cos??x(cos??5)?367不等式?sin??1 对任何实数x均成立，求?的取值2x?x?1范围. 68设x,y,z?R*,x2?y2?z?1，试求xy?2xz的最大值。 69已知?1??2????n??,?i?0(i?1,2,?,n)求 sin2?1?sin2?2???sin2?n得最大值。 70、在?ABC中，高AD=h,BC=a, AC=b,AB=c.若a+h=b+c,求∠BAC的取值范围。 6 71．已知数列{an}满足3an?1?an?4（n≥1）且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn-n-6|< A．5 1的最小整数n是 125 B．6 C．7 D．8 72．设等差数列{an}满足3a8=5a13，且a1>0，Sn为其前n项之和，则Sn（n∈N+）中最大的是 A．S10 B．S11 C．S20 D．S21 73．等比数列{an}中,a1=1536，公比q??的是 A．Ⅱ9 B．Ⅱ11 1，用Ⅱn表示它的前n项之积，则Ⅱn（n∈N+）中最大2 C．Ⅱ12 D．Ⅱ13 74．已知数列{xn}中满足xn+1=xn-xn-1(n≥2). x1=a, x2=b, 记Sn=x1+x2+…+xn，则下列结论正确的是 A．x100= -a,S100=2b-a C．x100=-b, S100=b-a B．x100=-b, S100=2b-a D．x100=-a，S100=b-a 75．各项均为实数的等比数列{an}的前n项之和记为Sn，若S10=10，S30=70，则S40等于 A．150 B．-200 C．150或-200 D．400或-50 76．给定公比为q（q≠1,q∈R）的等比数列{an}，设b1=a1+a2+a3，b2=a4+a5+a6，…，bn=a3n-2+a3n-1+a3n，…，则数列{bn} A．是等差数列 B．是公比为q的等比数列 C．是公比为q3的等比数列 D．既非等差数列又非等比数列 77．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不小于3，且各项为972，则这样的数列共有 个. .78．设数列a1，a2…，an，…满足a1=a2=1，a3=2，且对任意自然数n，都有an〃an+1〃an+2≠1，又an〃an+1〃an+2〃an+3=an+an+1+an+2+an+3，则a1+a2+…+a100的值是 . 79．各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有 项. 80．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是 . 81．设正数a0，a1，a2，…，an，…满足anan?2?an?1an?2?2an?1(n?2)，且a0=a1=1，则数列 {an}的通项公式是 . 82．设Sn=1+2+3+…+n，n∈N+，则f(n)?Sn的最大值是 . (n?32)Sn?183．求数列{an}：1，3，8，20，43，81，…的一个通项表达式. 84．设数列{an}满足an+1=a2n?nan+1，n=1，2，3，…. （1）当a1=2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式； （2）当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有 7 （ⅰ）an≥n+2; （ⅱ） 1111?????. 1?a11?a21?an21a(xn?)，n∈N+. 2xn85．数列{xn}由下列条件确定：x1=a>0，xn+1= （1）证明：对n≥2，总有xn?a; （2）证明：对n≥2，总有xn?xn?1; （3）若数列{xn}的极限存在，且大于零，求limxn的值. n??86．已知{an}是由负整数组成的数列，满足a1=0，a2=3，an+1〃an=(an-1+2)（an-2+2），n=3,4,5,…. （1）求a3； （2）证明an=an-2+2，n=3，4，5，…； （3）求{an}的通项公式及其前n项和Sn. 87．在1与2之间插入n个正数a1，a2，…，an，使这n+2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b1，b2，…，bn，使这n+2个数成等差数列.记An=a1a2a3…an，Bn=b1+b2+…+bn. （1）求数列{An}和{Bn}的通项； （2）当n≥7时，比较An与Bn的大小，并证明你的结论. 88．（1）设{an}是集合{2t+2s|0≤s （ⅰ）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； （ⅱ）求a100; （2）设{bn}是集合{2t+2s+2r|0≤r 89、已知数列{an}是由正数组成的等差数列，m，n，k为自然数，求证： （1）若m+k=2n，则 112≥?; 222amakan（2） 11112n?1≥?????(n?1). 2222a12a2a2aan?22n?1n90．在数列{an}中，a1=10，且an+1=2an,求an. 8 91．在数列{an}中，a1=1,a2=2，且an+2=7an+1-12an，求an. (n2?n)an92．数列{an}满足a1=1，且an+1=(n?N?),求an. 23an?n?n93．在数列{an}中，a1=1，且an+1= 4n?23an?，求an. 6n?32n?194．已知数列{an}满足a1=1，an+1+an= -n2，求an. 95.数列{an}中，x1=3，x2=2.， xn?xn?2xn?1（n≥3），求xn. 2xn?2?xn?196．已知数列{an}，{bn}中，a1=p，b1=q，且 ?an?pan?1 （n≥2，p>r>0） ?b?qa?rb.n?1n?1?n（1）求bn； （2）求limn??bna?b2n2n. 1?a??n?1a3b,97．在数列{an}和{bn}中，a1=b1=10，且?，求an，bn. nn（n=1，2，…） ?b?a4b.nn?n?198．已知a1=1，nan+1=(n+2)an+n，求an. 99．数列{an}满足：a1=1,an+1=an+100．3个数列，{an},1,n∈N+，求a100的整数部分. an1 1 n n+1 1?b??,c?存在下列关系：a=1，b=，b=a 2nn-an,cn=bn+1-bn=3n-1-np （n=1,2,3,…）,这里p为正常数. （1）求an; （2）证明：若cn≥0，必有cn+1>0； （3）若数列{bn}的最小项为b4，求p的取值范围. 101．两个数列{an}，{bn}满足a1=2，b1=1， ?an?1?5an?3bn?7（n=1，2，3，…）试求通项an和bn. ??bn?1?3an?5bn.1111??,2bn+1=an+bn(n=1，2，3，…)，证明下 2an?1an2bn102．数列{an}，{bn}满足0 9 （1）a2 （2）对任何正整数n，有bn>an+!； （3）对任意整数n≥2，有bn anan?1a?a2n2n?1?1，求数列{an}的通项公式. n104.n?N?,x0?0,xi?0,i?1,2,?,n.且?xi?1.求证： i?11?xi?? 1?x0?x1???xi?1xi?xi?1???xn22105 、给定正整数n和正数M，对于满足条件a1试求S?an?1?M2的所有等差数列a1,a2,?,an,?， ?an?1?an?2???a2n?1的最大值 106、n2个正数排成n行n列： a11,a12,a13,a14,?,a1n a21,a22,a23,a24,?,a2n a31,a32,a33,a34,?,a3n ……… an1,an2,an3,an4,?,ann 其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比，并且所有公比相等，已知 13a24?1,a42?,a43?，求a11?a22???ann 816107、设a，b为正数，求证：a?1?b成立的充要条件是对任意的x>1有ax?x?b. x?122108．设实数x1，x2满足x1≤1，证明：对任意实数y1，y2均有（x1y1+x2y2-1）2≥?x2(x1?x2?1)(y1?y2?1). 2222222109．设x1，x2，x3∈R+且x1=1，求证：?x2?x3x323x1x2??. ≥221?x121?x21?x32110．设x，y，z∈R，且x2+y2+z2=2，求证：x+y+z≤xyz+2. (a?1)3(b?1)3(c?1)381??111．已知a，b，c>0，求证：≥. 4bca112．设0≤a≤b≤c≤d≤e，且a+b+c+d+e=1，求证：ad+dc+cd+be+ea≤. 15 10 113．设a，d≥0，b，c>0，且b+c>a+d，求： bc?的最小值. c?da?b222114．设a1≥a2≥…≥an≥0（n≥3），且a1>n2，a1+a2+…+an=3n，求证：a1+a2+a3>n. ?a2???annnkxkkj?1，求?xi的最大值与最小值. ji?1115．设xi≥0（i=1，2，…，n），且 ?xi?12i+2 1?k?j?n?2116．求最大的正实数a，使 xy?z22+ yx?z2+ zx?y22?a对一切实数x，y，z均成立. 117．设N+是正整数集，R是实数集，S是满足以下两个条件的函数f：N+→R的集合. （1）f(1)?2 （2）f(n?1)≥f(n)≥ nf(2n)（n=1，2，…）试求最小的正整数M，使得对任何f∈Sn?1及任何n∈N+，都有f(n)?M. 118．设a1，a2，a3≥0，求证：a1+a2+a3+33a1a2a3≥2(a1a2+a2a3+a3a1)，并确定等号成立的条件. 119、设S?{1,2,3,?,n},A为至少含有两项的、公差为正的等差数列，其项都在S中，且添加S 的其它元素于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列，求这种A的个数（两项也看作等差数列）. 1(1?4an?1?24an)，求它的通项公式 16?an?1?7an?6bn?3121、设数列{an}和{bn}满足a0?1,b0?0,且?(n?N?)证明：an?bn?1?8an?7bn?4120、数列{an}定义如下：a1?1,an?1?是完全平方数。 122、设数列{an}定义如下： n11na1?0,a2?1,an?nan?1?n(n?1)an?2+(?1)(1?),n?3.试求 2221fn?an?2Cnan?1?3Cn2an?2???(n?1)Cnn?2a2?nCnn?1a1的最简表达式。 123、设a1?1,a?3,对一切自然数n有an?2?(n?3)an?1?(n?2)an，求所有被11整除 的an的值。 124、设数列{an}定义如下：a1?1,an?1an12??,证明：对n?1,均为自然数。 224an2an?1 11 2an?1?6125、设数列{an}满足a0?2,an?(n?1)，求an。 an?1?1126 、已知数列{an}分别满足下列条件，求它的通项公式 （1）、a1（2）、a1（3）、a1（4）、a1?0,a2?4,an?2?2an?1?2an ?0,a2?2,an?3?2an?2?an?1?2an ?1,a2?2,a3?8,an?3?6an?2?12an?1?8an ?2,a2?1,a3??13,an?3?7an?2?16an?1?12an 127、已知数列{an}分别满足下列条件，求它的通项公式 (1). a1?a2?1,an?2?2an?1?an?2n,n?N? (2).a1?1,an?1?an?4 an?422(3).a1?1,an??nan?1?n! an?43 (4).a1?,an?1?22an?31128、一次竞赛在n轮中共发了m枚奖章.第一轮发了1枚及余下的m?1枚的，第二轮发了2枚 7及余下的 1，…，直至第n轮正好发了n枚而没有余下的奖章.这个竞赛共包括几轮？共发了多少枚7奖章。 129、把一个圆分成n个不同的扇形（n>1）,依次记为S1,S2,…,Sn,每个扇形都可以用红、蓝、白三种颜色中的任意一种颜色涂色，要求相邻的扇形颜色互不相同，问有多少种涂法？ 130、设a0为常数，且an?3n?1?2an?1(n?N?) ?1，有 (1)、证明：对任意的n1nan?(3?(?2)n)?(?1)n?2na0 5（2）、假设对任意n≥1有，求a0的取值范围 131、设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且b1?a1,b2?a2,b3?a3(a1?a2)，又 222 12 limn???132、设xk(b1?b2???bn)?2?2，试求{an}的公差与首项. ?0(k?1,2,3,?,n)，求证：?kxk?Cn??xk2k?1k?142nnk 133、设a1,a2,a3,a4满足134、a?4(a?a)求证：a?1,?ij?6 ?ii?11?i?j?40,x1,x2,?,xn??0,a?(n?2)使 x1x2?xn?(a?x1)2(a?x2)2?(a?xn)2，试确定乘积x1x2?xn的最大值. 135、设n和k是给定的正整数(k?n)，已知正实数a1,a2,?,ak，试确定正实数aiaj最小. ak?1,ak?2,?,an使得和式S??i?j136、已知a?b?c?0,x?y?z?0,求证： a2x2b2y2c2z23??? (by?cz)(bz?cy)(ax?cz)(az?cx)(ax?by)(ay?bx)4137、已知ai(in?1,2,3,?)是正数，对任意n?1有?aj?n，证明： j?1n?aj?j?121111(1?????). 423n?nni?1i?1138、ai,bin?R,且?ai?1,?bi?n,求证： 11n(?)?(n?1) ?i?1aibi139、x14?x2?x3?x4?2,x2?x3?x4?x1,求证： 24j?1(?xi)?4?xj i?1140、xi求 ?R(i?1,2,?,n;n?2)且?xi??xixi?1?1,对每一个固定的k(1?k?n),2i?1i?1nn?1xk的最大值. 13 141、已知： n?x?1,x?0,(i?1,2,?,n)证明： i?1iin11n?112(?1)?(n?1)?(?1)2?i?1i?1xixi 142、设为正整数，实数x1,x2,?,xn满足x1?x2???xn. 证明：(??i?1j?1nn22(n?1)nn2xi?xj)?(xi?xj)2??i?1j?13 等号成立当且仅当 x1,x2,?,xn成等差数列 143、设a?(a1,a2,?,an)和b?(b1,b2,?,bn)是两个不成比例的实数序列，又设 x?(x1,x2,?,xn)是使?aixi?0,?bixi?1,成立的任一实数序列，求证： i?1i?1nn?xi?1n2innnA22? 其中A??ai，B??bi ，C??aibi AB?C2i?1i?1i?1n144、对于满足条件 ?xi?1i?1的非负实数x1,x2,?,xn，求?(xj?xj)的最大值。 45j?1n145、设a1?a2???an?an?1?0，求证： ?ak?1nk??k(ak?ak?1). k?1n146、已知0?x1?x2???x2n?x2n?1?1,且xi?1?xi?h(1?i?n) 求证： n1?h1?h??x2i(x2i?1?x2i?1)? 22i?1147． 一个棱长为2的正方体S由8个单位正方体组成，我们称S去掉一个单位正方体后的部分为一个“角体”，T是一个由(2n)3个单位正方体组成的棱长为2n的正方体。证明：随意去掉T的一个单位 正方体，余下的部分必要用“角体”拼成. 148． 设n为正整数，?为实数，证明：2cosn?可以表示为（2cos?）的首项系数为1的n次整系数多项式的形式 149． 设P（x1，x2，…，xn）是一个有n个变元的多项式，我们用+1或-1代替P中所有的变元，若其中-1的个数为偶数，则P的值为正；若其中-1的个数为奇数，则P的值为负.证明：P为一个至少n次的多项式（即P中存在一项，其所在变元的次数和不小于n）. 14 150． n个复数zk满足|zk|≤1，k=1,2,…，n.证明：存在e1，e2，…，en∈{-1,1},使得对任意m∈{1,2,…，n}，均有| ?ezkk?1mk|≤2. 151． 设n∈N*,n≥2，在一个（2n-1）×（2n-1)的方格表的每个方格内填入+1或-1.如果任意一个方格内所填的数都等于与它的公共边的那些方格中所填数的乘积，那么称这种填写方法是“成功”的，求“成功”填法的总数. 152． 设n∈N*，a1，a2，…，an为正实数.证明： a1?a2???ann≥a1a2?an. n153．设x，y是实数，使得x+y，x2+y2，x3+y3，x4+y4都是整数.证明：对任意正整数n，数xn+yn均为整数. 154．设a为无理数，n为大于1的整数，证明： (a?a?1)?(a?a?1)为无理数. 21n21nanan?1?1155．设a1=1，a2=2，an+1=,n=2,3,….证明：对任意正整数n≥3，均有an>2n. an?1156．证明：对任意正整数n，均有 132n?11???. 242n3nn?11?a2?a4???a2n. 157．设a>0，证明：对任意n∈N，均有≥32n?1na?a???a* 158.设m，n∈N，记Sm(n)= * ?[kk?1n2km].证明:Sm(n)≤n+m(42m?1).其中[x]表示不超过x的最 大整数. 159．设n，k为正整数，现有nk件物口和k个盒子，每个盒子恰好能放下n件物品.已知：每件物品被染上了某k种颜色中的一种.证明：这些物品可以放到盒子中，使得每个盒子中至多有两种颜色的物品. 160．设S为一个2002元集合，N为满足0≤N≤22002的整数.证明：可以将S的子集进行黑白染色，使得 （1）任意两个白子集的并集仍然是白子集； （2）任意两个黑子集的并集仍然是黑子集； （3）恰有N个白子集. 15 161.在某个罐里有黑、白两种颜色的球各一个，我们另外还有50个白球和50个黑球，下面进行50次操作：随机地取出一个球，然后放入罐中两个与取出的球同色的球称为一次操作，最后在罐中有52个球.问：罐中最有可能有几个白球？ 162．证明：对任意正奇数都可以找到一个正整数，使得他们的乘积在十进制表示下，各数码均为奇数. 163．数列{an}定义如下：a1=1,am=an-1+a164．正整数n和实数?满足：cos??n[]2,n=2,3,….证明：此数列中有无穷多项是7的倍数. 1，求所有的整数k，使得cosk?为整数. n165．给定正整数n，问：平面上最少要适当地选取多少个不同的点？才能具有如下性质：对任意k∈{1,2,…，n},平面上总存在一条直线，它恰好通过所取的点听k个点. 166.设集合A1，A2，…，Ar是正整数集N*的一个r-分划（即A1∪A2∪…∪Ar=N*，且对任意1≤i≤j≤r，均有Ai∩Aj=?）.证明：A1,A2，…，Ar中必有一个集合A具有如下性质： 存在m∈N*，使得对任意k∈N*，都找得到A中的k个数a1，a2，…，ak满足1≤aj+1-aj≤m，1≤j≤k-1. 167.复系数多项式p(z)=z2+az+b对一切|z|=1时恒有|p(z)|=1.求证:p(z)=z2. 168.实系数多项式p(x)=x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0中,对任意的一个根?,都有p(x)=0.求p(x). 169.已知p(z)=zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn-1z+cn是复变量z的实系数多项式，若|p(i)|<1，求证：存在实数a、b，使得p(a+bi)=0且(a2+b2+1)2<4b2+1. 170.已知f(z)=C0zn+C1zn-1+C2zn-2+…+Cn-1z+Cn是一个n次复系数多项式.求 证：一定存在一个复数z0，|z0|≤1，并且满足|f(z0)|≥|C0|+|Cn|. 171.凸四边形ABCD围绕它所在平面内一点O逆时针方向旋转900，得到凸四边形A?B?C?D?，假设P、Q、R、S依次是A?B、B?C、C?D、D?A的中点，求证：PR⊥QS，PR=QS. 172.设非零复数a1,a2,a3,a4,a5满足 1?,1-?也都使 ?a1a3a4a5?a?a?a?a?1234 ??a?a?a?a?a?4(1?1?1?1?1)?S.12345?a1a2a3a4a5?① ② 其中S为实数且|S|≤2.求证：复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上. 173.求平面直角坐标系中，格点凸五边形的周长的最小值. 16 174.是否存在一个凸1 990边形，同时具有下面的性质（1）与（2）； （1）所有内角均相等； （2）1 990条边的长度是1，2，…，1 989，1 990的一个排列. 175.设n次实系数多项式f(x)=xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an(an=±1)有模大于地的复数根. 176.设复数z满足|z-z1|=?|z-z2|，其中z1，z2为给定的不同复数，?为正实常数，试讨论复数z在复平面上对应点的轨迹. 177.集合A={z|z18=1,z∈C},B={?|?48?1,??C},M={z?|z?A,??B}，求M中元素的个数. cosx2cosy2178.复数z1?，z2=x+iy（x,y∈R），当x，y取遍 ?i22sinysinx????,???时，|z1|=2,求|z1-z2|的最大值和最小值. 22??179.设D是铰角△ABC内部一点，使∠ADB=∠ACB+900，且AC〃BD=AD〃BC，计算比值180.已知复数z=1-sin?+icos?( AB?CD. AC?BD?2????),求z的共轭复数z的辐角主值. (z?4)2?(z?4)2181.设z∈C，且|z|=1，求u?的最大值. 4i182.设?∈[- ?，?]，关于x的方程x2+xsin?+cos?=0的两个实根为x1，x2， f(?)=arctanx1+arctanx2.试求f(?)的解析式并求f(?)的定义域和值域. 2183.x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中，z1，z2，m均是复数，且z1?4z2=16+20i.设这个方程的两个 根?,?满足|???|=27，求|m|的最大值和最小值. 184.设a0>a1>a2>…>an>0，求证：f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an的所有根都在单位圆的内部. 185.设f:C→C且使得方程|f(z)?f(?)|=|z-?|,其中z∈C,?=0,1,I,且f(0)=0,|f(1)|=1.求证:f(z)?f(1)z或f(z)?f(1)z. 186.给定集合S={z1,z2,…，z2003}，其中z1，z2，…，z2003是非零复数，求证：可以把S中元素分成若干组，使得： （1）S中每个元素属于且仅属于其中一组； （2）每一组中任一复数与该组所有复数这和的夹角不超过900； （3）将任意两组中的复数分别求和所得的和数之间的夹角大于900. 17 187.设复数z1,z2…，zn满足188.设n≥2，求sin1试证存在非空集合D{1，2，…，n}使≤|?zk|≤1. |z|?1,??k4k?1k?Dn?nsin2?(n?1)?. …sin nn189.复平面上三个点A、B、C所对应的复数分别为z1，z2，z3.若z1，z2，z3是方程z3-3pz2+3qz-r=0的三个根（r≠0）.求证：△ABC是正三角形的充要条件是p2=q. 190.求复数z对应的点关于直线y=kx+b对称点对应复数z?. 191.已知方程x10+(13x-1)10=0有10个复根?1，?1，?2，?2,?3，?3，?4， ?4，?5，?5，这里 ?i与?i（i=1，2，3，4，5）互为共轭复根，求 1?1?1+ 1?2?2+ 1?3?3?4?4+ 1+ 1?5?5的值. 192.设cos??cos??cos??62, sin??sin??sin??,求证： 62sin(?????)=sin3??sin3??sin3?. 193.(1)设n是一个大于3的素数，求 （1+2cos 2?4?6?2n?）（1+2cos）（1+2cos）…（1+2cos）的值. nnnn（2）设n是大于3的正整数，求 （1+2cos ?2?3?(n?1)?）（1+2cos）（1+2cos）…（1+2cos）的值. nnnn194.已知实数列{an}，{bn}的各项均不为0，a1=1，b1=tan?,?为已知数，并且an=am-1cos?-bn-1sin?,bn=an-1sin?+bn-1cos?.求{an}，{bn}的通项公式. 195．设x2+x+1是f(x3)?xg(x3)的因式，其中f(x),g(x)为x的复系数多项式.求证：x-1为 f(x)与g(x)的公因式. 196．已知两个复系数函数f(x)??axii?0nn?i与g(x)?bxii?0nn?i(其中a0=b0=1)， n?bi?1in[]2[2i和 ?bi?1n?1]22i?1均 为实数，g(x)=0的所有根的平方的相反数是f(x)?0的全部根.求证： ?(?1)aii?1为实数. 18 ?|z1|?|z2|?|z3|?1,?197．给定实数a，b，c已知复数z1，z2，z3满足?z1z2z3 ???1.?z?2z3z1求|az1+bz2+cz3|的值. 198．设n是给定的正整数，求所有正数对a，b使得x2+ax+b=0是ax2n+(ax+b)2n的因式. 199．试问：当且仅当实数x0，x1，…，xn(n≥2)满足什么条件时，存在实数y0，y1，…，yn使得 222①成立，其中zk?xk?iyk，i为虚数单位，k=0，1，…，n.证明你的结论. z0?z12?z2???zn120．设方程xn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0的系数都是实数，且适合条件0 200．如果实数u∈[-1,1],求证：关于x的方程xn+1-uxn+ux-1=0(n∈N+)的每一根的模长均为1. 201．设z1,z2,z3为复数，求证：|z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|≥|z1+z2|+|z2+z3|+|z3+z1|. 202．设ak∈r,zk是复数，k=1，2，…，n.试证： ?ak?1n2kzknnn1222≤（?ak）（?|zk|+?ak）. 2k?1k?1k?12 203．设复数z和?= cz?d（a、b、c、d是给定的复数，a≠0，ad≠bc）. az?b（1）当?对应点在圆周上时，求z对应的点的轨迹. （2）当?对应的点在一直线上时，求z对应的点的轨迹. 204．证明存在一个凸1 990边形，同时具有下面的性质（1）与（2）： （1）所有内角均相等；（2）1 990条边的长度是12，22，32，…，1 9902的一个排列。 205．A是一个非零实数，给定自然数n≥2，求满足方程f(x2)?f(x)f(x?a)的所有n次实系数多项式f(x). 206．设g(?)=?1cos???2cos2?????ncosn?（?1,?2,?,?n?R）对任意?∈R 恒有 g(?)≥-1.求证：??k≤n. k?1n207．是否存在正实数a1，a2，…，a2002，使得对任意k∈N+,1≤k≤2002，使多项式ak+2001x2001+ak+2000x2000+…+ak+1x+ak的每一个复数根z都满足|Imz|≤|Rez|[其中a2002+k=ak(k=1，2，…，2001)]？ 208．如图8.1，⊙O1和⊙O2和△ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，直线 19 EG与FH交于P.求证：PA⊥BC. 209．在“筝形”MCNP中，MC=MP，CN=PN，经MN、CP的交点A作作两条直线，分别交MP于S，交CN于D，交MC于G，交PN于T，CD、ST分别交CP于F、Q.求证：FA=AQ. 210．因为△ABC~A?B?C?，且∠A+∠A?=1800，故考虑作△ABC的外接圆，以△ABC的外接圆，以△ABC为基础，巧妙构造圆内接四边形，然后利用托勒密定理证得命题. 211．求证：四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上. 212．如图8.6，已知ABC的三个顶点A、B、C分别在锐角△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1上，使得∠CAB=∠C1A1B1，求证：△ABC和△A1B1C1的垂心到△ABC的外心距离相等. 213．如图8.7，两个大圆⊙A、⊙B相等且相交.两个小圆C、D不等亦相交，且交点为P、Q.若⊙C、⊙D既同时与⊙A内切、又同时与⊙B外切，求证：直线PQ平分线段AB. 214．如图8.8，设⊙Q1和⊙Q2相离，引它们的一条外公切线切⊙O1于A，切⊙O2于C，引它们的一条内公切线切⊙O1于B，切⊙O2于D.求证：直线AB与CD的交点在两圆的连心线上. 215．在△ABC中，∠BAC=900，G为AB上给定的一点（G不是线段AB的中点）.设D为直线GC上与C、G都不相同的任意一点，并且直线AD、BC交于E，直线BD、AC交于F，直线EF、AB交于H，求证：交点H与D在直线CG上的位置无关. 216．在△ABC中，AB=AC，线段AB上有一点D，线段AC延长线上有一点E，使得DE=AC，线段DE与△ABC的外接圆交于点T，P是线段AT的延长线上的一点.求证：点P满足PD+PE=AT的充要条件是点P在△ADE的外接圆上. 217．圆内接四边形ABCD的两边AB、CD所在的直线交于点P，分别过A、B、C、D作圆的切径线依次交于E、F、G、H.求证：PH、CF、BF共点. 218．设△ABC的三垂线AD、BE、CF的垂足分别为D、E、F，从点D作AB、BE、CF、AC的垂线，其垂足分别为P、Q、R、S.求证：P、Q、R、S共线. 219.设P为△ABC所在平面内任一点，I为内心，则 a?PA2?b?PB2?c?PC2?abcPI?,其中a=BC，b=CA，c=AB. a?b?c2220．四边形ABCD对边BA、CD延长交于E，AB、BC延长交于F，对角线AC、BD交于O，过O而平行于BC的直线交AD、EF于G、H.求证：OG=GH. 221．在△ABC中，AC﹥AB，P为BC垂直平分线和∠A内角平分线的交点，作PX⊥AB=X，PY⊥ 20 AC=Y，Z=XY∩BC.求 BZ的值. ZC222．在△ABC的边BC的延长线上取一点D，使CD=AC.△ACD的外接圆和以BC为直径的圆相交于P，BP和AC相交于E，CP和AB相交于F.求证：D、E、F共线. 223．设D是线段AG的中点，在AG同侧作全等的两个凸四边形ABCD和DEFG，使它们都有内切圆，圆心分别为O1和O2，求证：AO1、CO2、CE三线共点. 224．在△ABC，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N.求证：（1）OB⊥DF，OC⊥DE；（2）OH⊥MN. 225．设△A1B1C1是不等边锐角△ABC的垂足三角形，A2、B2、C2是△A1B1C1的内切圆与三边的切点.证明：△A2B2C2与△ABC的欧拉线重合. 226．设∠A是△ABC中是小的内角，点B和C将这个三角形的外接圆分成两段弧.设U是落在不含A的那段弧上且不等于B与C的一个点.线段AB和AC的垂直平分线分别交线段AU于V和W，直线BV和CW相交于T.证明：AU=TB+TC. 227．已知两个半径不相等的⊙O1与⊙O2相交于M、N两点，且⊙O2分别与⊙O内切于S、T两点.求证：OM⊥M怕充分必要条件是S、N、T三点共线. 228．设ABCD是一个四边形.AD=BC，∠A+∠B=1200.由AC、DC、BD分别作远离AB的三个等边三角形△ACP、△DCQ、△DBR.证明：P、Q、R三点共线. 229．延长四边形ABCD的两组对边AB、CD，AD、BC分别交于E、F，证明若平面上存在一点Q，使得∠BQD=∠EQF=900，则∠AQC=900. 230．以△ABC的三边向形外分别作正方形ABHI，BCDE和CAFG.设XYZ是线段EF，DI和GH围出的三角形.证明：S?XYZ≤(4?22)S?ABC. 231．如图9.1，在□ABCD中，AB=5，BC=8，∠A=1200，过点A任意引直线l,设顶点B、C、D到l的距离之和为d.求d的最大值. 232．如图9.2，⊙O1与⊙O2相切于点A，点P是⊙O1上任一点，PC为⊙O2切线，C为切点.求证： PC是定值. PA233．如图9.3，在△ABC中，∠A=600，AB﹥AC，点O是外心，两条高BE、CF交于H点.点M、N分别在线段BH、HF上，且满足BM=CN.求 MH?NH的值. OH234．如图9.4，O、I分别为△ABC的外心和内心，AD是BC边上的高，I在线段OD上，求证：△ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径. 235．如图9.5，设I是△ABC的内心，以I为圆心的一个圆分别交BC于A1、A2，交CA于B1、B2， 21 交AB于C1、C2，这六个交点在圆周上的顺序为A1、A2、B1、B2、C1、C2，设A3、B3、C3分别为A1A2、B1B2、C1C2的中心，直线A2A3、B1B3相交于C4，直线B2B3、C1C3相交于A4，直线C2C3、A1A3相交于B4.求证：直线A3A4、B3B4、C3C4三线共点. 236．如图9.6，D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的点，?、?、?、?分别是△AEF、△BFD、△CDF和△DEF的面积.证明： 1???1???1???3?2. 237．如图9.7，过半圆8O的直径AB上一点C作CD⊥AB，交半圆于D，另一圆⊙O1内切半圆O 于P，切CD于M.求证：P、M、A共线. 238．设ABCD是一圆内接四边形，另一圆的圆心在AB上，且与另三边相切，求证：AD+BC=AB. 239．设边长分别为a，b，c，d的凸四边形ABCD外切于⊙O，求证： OA〃OC+OB〃OD=abcd. 240．凸四边形ABCD的对角线交于点M，点P、Q分别是△AMD和△CMB的重心，R、S分别是△DMC和△MAB的垂心.证明：PQ⊥RS. 241．设ABCDEF是半径为r的圆的任意内接六边形，且AB=CD=EF=r，又设G、H、K分别是边BC、DE、FA的中点.求证：△GHK是正三角形. 242．如图9.13，ABCD是圆内接四边形，BD﹤AC，直线AB与CD交于E，直线BC与AD交于F.L与M分别为线段AC和BD的中点.求证： LM1ACBD?(?). EF2BDAC245．如图9.14，已知两个半径不相等的⊙O1与⊙O2相交于M、N两点，且⊙O1、⊙O2分别与⊙O内切于S、T两点.求证：OM⊥MN的充要条件是S、N、T三点共线. 246．双心四边形是指既有内切圆又有外接圆的四边形.求证：双心四边形的两个心与对角线交点共线. 247．在△ABC中，∠C=300，O是外心，I是内心，边AC上的点D与BC上的点E满足关系AD=BE=AB.求证：OI⊥DE且OI=DE. 248．在△ABC中，G是重心，M是平面上任一点，求证：MA2+MB2+MC2=GA2+GB2+GC2+3MG2. 249．已知□ABCD中，E、F分别为边BC、CD上的点，P、Q、R分别为AE、EF、AF的中点.求证：BP、CQ、DR三线共点. 250．△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB于A1、B1、C1，ABC的外接圆的弧BAC、CBA、ACB的中点分别为A2、B2、C2.求证：A1A2、B1B2、C1C2三线共点. 251．菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H，在EF与GH上分别作⊙O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q. 求证：MQ∥NP. 22 252．在锐角△AC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB=M，FN⊥AC=N，延长AE交△匠外接圆于D点.求证：四边形MADE与△ABC的面积相等. 253．△ABC内接于一个半径为R的圆，设P为△ABC内部的一点.求证： PAPBPC1??. ≥222RBCCAAB254．过△ABC的三边中点D、E、F分别作它的内切圆的切线，设所引的切线分别与EF、FD、DE交于L、M、N.求证：L、M、N三点共线. 255．△ABC三边的中点为E、F、G，三条高的垂足为P、Q、N，垂心X与各顶点连线的中点为K、L、M.求证：EFGPQNKLM九点共圆，它的圆心W在过垂心X、重心Y和外心Z的欧拉线上，且XW：WY：YZ=3:1:2. 256．一个等腰锐角△ABC，D是底边AB中点，点E在AB上，O是△ACE的外接圆心.证明：过D垂直于DO，过E垂直BC和过B平行于AC的三线共点. 257．已知△ABC的外心为O，内心为I，垂心为H，且O、I、H不共线， △OIH的外接圆过△ABC的一个顶点.求证：它必过△ABC的另一顶点. 258．如图10.3，直三棱柱ABC—A1B1C1中AC=BC，连接AB1，BC1，CA1，若AB1⊥BC1，则AB1⊥CA1. 259．正方形ABCD和正方形ABEF不在同一平面内，M、N分别在对角线AC和BF上，并且AM=FN，求证MN∥平面BEC. 260．设ABC—A1B1C1是直三棱柱，∠BCA=900，点D1，E1分别是A1B1与A1C1的中点.若BC=CA=CC1=10.求： （1）BD1与AE1所在的角； （2）BD1与AE1之间的距离. 261．设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，E、F分别是BC、CD的中点. （1）证明：B1EFD1是等腰梯形； （2）求二面角D1—B1E—C1的大小. 262．如图10.11，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=900，侧棱AA1=2.D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G. （1）求A1B与平面ABD所成的角； （2）求点A1到平面ADE的距离； （3）求AB1与BD所成的角； （4）求AB1与BD的距离. 23 263．已知正三棱锥S—ABC的高SO为3，底面边长为6，过A向它所对侧面SBC作垂线，垂足为O?，在AO?上取一点P，使AP：PO?=8，求经过P点且平行底面的截面的面积. 264．设正三棱锥P—ABC的高为PO，M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将正三棱锥截成上、下两部分，试求两部分体积之比. 265．四面体ABCD被平面?所截，对棱AB，CD都与?平行且与?等距，设?截得截面四边形的面积为S，对棱AB与CD的距离为h，求这个四面体ABCD的体积. 266．直三棱柱ABC—A1B1C1的底面是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=?，AD是BC边上的高，若此直棱柱的侧面积为S，过BC1且与AD平行的平面与底面成角?，求这平面截棱柱所得截面面积以及棱柱被截面分成的两部分的体积. 267．已知圆锥的表面积等于其内切球的表面积的n倍，试确定正整数n的一切可能值. 268．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长是1，则直线A1C1与BD1的距离等于 ，夹角等于 . 269．正四棱锥 S—ABCD中，∠ASB=450，二面角A—SB—C为?且cos?=m+n(m，n为整数)，求m+n. 270．已知正方体ABCD—A?B?C?D?的棱长为1，M，N分别是B?C?、BB?的中点，P是MN的中点，求DP与AC?的距离与夹角. 271．设正三棱锥P—ABC中，AB=a，PA=2a，过A作平面分别交平面PBC于DE.当截面△ADE的周长最小时，求S?ADE及P到截面ADE的距离. 272．直三棱柱A1B1C1—ABC中，平面A1BC⊥平面ABB1A1，且AC=3AA1，AC与平面A1BC所在的角为?，求?的取值范围. 273．设AB是圆台上底面⊙O的直径，C是⊙O上不同于A、B的任意一点，A?是下底面⊙O?上的点，使得平面A?AC垂直于下底面.又M为A?C的中点，AC=AA?=2，∠A?AC=1200，∠BA?C=300. （1）求证：AM⊥平面A?BC； （2）求二面角A—A?B—C的大小. 274．四棱锥S—ABCD的底面是中心为O的矩形ABCD，AB=4，AD=12，SA=3，SB=5，SO=7，N为棱BC上一点，过S，O，N三点作截面交AD于M，问BN为何值时，截面△SMN取最小值？最小值是多少？ 275．空间四个球，它们的半径分别是2、2、3、3.每个球都与其他三个球外切，别一个小球与这四个球都相切，求这个小球半径. 24 276．设一个半球内切于一个圆锥，使得半球的圆面位于圆锥底面内且半球的球面与圆锥的侧面相切.若半球的体积V1是圆锥体积V2的 3.求半球的表面积S1与圆锥的表面积S2之比. 4277．设圆台上、下底面的半径分别为10和20，高为55.OA，OB是下底面的两条互相垂直的半径，C是母线BB1上靠近B的三等分点，试求圆台侧面上A、C两点间的最短距离. 278．如图11.1，已知△ABC中各顶点的坐标分别为（xA，yA），（xB,yb）,（xC,yC），点E、F分别在AC，AB上，且 |AF|m|AE|n?,?.求BE与CF的交点P的坐标. |FB|l|EC|l279．图11.2，△ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H、直线ED和AB交于M，FD和AC交于点N.求证：（1）OB⊥DF，OC⊥DE；（2）OH⊥MN. 280．已知圆（x-3）2+(y-4)2=16，直线l1:kx-y-k=0. （1）若l1与圆交于不同的两点P、Q，求实数k的取值范围； （2）证明：l1恒过定点A； （3）若P，Q连线的中点为M，l1与l2:x+2y+4=0的交点为N，求证|AM|〃|AN|为定值. 281.设圆满足： （1）截y轴所得弦长为2； （2）被x轴分成两面圆弧，其弧长的比为3：1.在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0距离最小的圆的方程. x2y2282.设P是双曲线2?2?1上任意一点，过P作渐近线l1、l2的平行线，分别交l2、l1于Q，R.求 ab证|PQ|〃|PR|为定值. 283.已知抛物线y2=2px及定点A（a，b），B（-a,0）（ab≠0,b2=2pa）.M是抛物线上的点，设直线AM、BM与抛物线的另一个交点为M1、M2. 求证：当M点在抛物线上变动时（只要M1，M2存在且M1≠M2）直线M1M2恒过一个定点，并求出这个定点的坐标. 284.已知∠AOB=?（?为常数且0﹤?﹤ ?）.动点P、Q分别在射线OA，OB上使得△POQ的面2积为36.设△POQ的重心为G，点M在射线OG上且满足 |OM|= 3|OG|. 2 25 （1）求|OG|的最小值； （2）求动点M的轨迹. 285.如图11.5，过抛物线y2=2px（p为不等于2的素数）的焦点F，作与x轴不垂直的直线l交抛物线于M、N两点，线段MN的垂直平分线交MN于P点，交x轴于Q点. （1）求PQ中点R的轨迹（L）方程. （2）证明：L上有无穷多个整点，但L上任意整点到原点的距离均不是整数. 286.过不在椭圆上任意一点P作两条直线l1和l2，分别交椭圆于A、B、C、D四点，若l1、l2的倾余角为?、?且?+?=?.求证：A、B、C、D四点共圆. 287.已知MN是圆O的一条弦，R是弦MN的中点，过R任作两条相交弦AB和CD.过A，B，C，D四点的二次曲线?交MN于P，Q两点.求证：R是PQ的中点. ?x2y2288.设P、Q是椭圆2?2?1（a﹥b﹥0）上任意两点，满足∠POQ=（这是O为椭圆中心）. 2ab试求 11?的最大值和最小值. |OP||OQ|x2y2289.已知椭圆2?2?1（a﹥b﹥0）的内接平行四边形的一组对边经过它的两个焦点，求这个平 ab行四边形的面积的最大值. 290.直角坐标平面内横坐标与纵坐标都为整数的点称为格点，则平面内格点到直线y?离的最小值为 . 291.给定点P(2,-3),Q(3,2),已知直线ax+y+2=0与线段PQ(包括P,Q在内)有公共点,则a的取值范围是 . 292.圆x2+y2=4的要线交x、y轴于A，B两点，试求AB中点M的轨迹方程. 293.A,B为定二次曲线ax2+bxy+cy2+ex+fy+9=0(a≠0)上两个定点，过A，B任作5一个圆，设该圆与定二次曲线交于另外两点C，D.证明：直线CD有定向. 294.求与抛物线y=x2相切的抛物线y=-x2+bx+c的顶点的轨迹. 32x?的距43(x?1)2(y?2)2??1上存在关于直线l：y=2x+m对称的两点，试求m的取值295.已知椭圆C： 94范围. 26 x2y2??1上存在三点A（x1，y1）296.已知双曲线?，B（26，6），C（x2,y2）到一个焦点F的1312距离成等差数列.证明：线段AC的中垂线必经过一定点，并求出该定点的坐标. 297.给定曲线族2（2sin?-cos?+3）x2-(8sin?+cos?+1)y=0，求该曲线族在直线y=2x上所截得的弦长的最大值. x2y2??1的右焦点作直线l交椭圆于A，B两点.已知A，B两点到右准线的距离之298.过椭圆C： 168和为 162，求l的方程. 3299.已知实数a满足：有且仅有一个正方形，其四个顶点均在曲线y=x3+ax上，试求该正方形的边长. 22x2y2ab300.求证：椭圆2?2?1对中心成直角的弦恒与圆x2+y2=2相切. 2a?bab301.设a，b是给定的正整数.证明：仅有有限多个正整数n，使得(a?302.设m，n为自然数，mn|m2+n2，则m=n. 1n1)?(b?)n为整数. 22303.证明：不存在三个大于1的自然数，使得其中每个平方减1，都能被另两个整数. 304.证明：有无穷多个正奇数n，使得2n+n不是素数. 305.证明：对任意整数n﹥1，数n4+4n不是素数. 306.证明：有无穷多个自然数n，使得2n+n2被100整除. 307.设x，y是两个互素的正整数，且均不为1，证明：对正偶数n，x+y不整除xn+yn. 2308.设a1,a2,a3,a4,a5是整数，n为奇数，若a1+…+a5,a1+…+a5都是n的倍数.证明：n整除a1+…5+a5-5a1…a5. 25309.证明：对任意自然数n，数[（3+5）n]+1被2n整除（这里[x]表示实数x的整数部分）. 310.设x,y是大于1的整数.证明：不定方程xy=2x-1没有正整数解. 311.证明：方程x3+2x2+2x+1=y2没有正整数x，y. 312.设正整数d不等于2，5，13.证明：在集合{2，5，13，d}中可找出两个元素a，b，使得ab—1不是完全平方数. 313.确定所有的正整数n，使方程x3+y3+z3=nx2y2z2有正整数解（x，y，z）. 314.给定100个整数，已知在这100个数中任取8个数都可以在这100个数中找出9个数，使得这8个数的算术平均数等于所找出的9个数的算术平均值.证明：这100个数彼此相等. 27 315.100个盒子，每个盒子中有一些球（球数不一定相等）.设n是小于100的正整数，选n个盒子，并在这些盒子中特别中各放一个球，称为一次操作. （1）证明：若n=89，可施行有限多次操作，使得所有盒子中的球数彼此相等. （2）若n=88，试举出一种情况，无论进行多少次操作，都不能使盒子中的球数都相等. 316.求所有的整数n﹥1，使得n整除（n-1）！. 317.证明：任意含有k个0，k+1个（k≥2）的十进制数1010…101不是素数. 318.证明：存在无礼轻人意重多个正整数a，使得对所有正整数n，数n4+a都不是素数. 319.设a，b为自然数，数a2+ab+b2的十进制表求的地要位数码为0.证明：该数的末两位数码都是0. 320.证明：对任意的正整数n，数17+27+…+n7不被n+2整除. 321.用数码1，2，3，4，5，6作七位数，每个数码恰用一次.证明：这些七位数中没有一个是另一个的倍数. 322.是否有正整数x及y，使得x2+y及y2+x都是完全平方. 323.设p是给定的奇素数.求方程x2=y(y+p)的全部整数解. 324.证明：存在一个由互不相同的正整数组成的数列，使数列中任两项之和都不是完全平方数. 325.数列{xn}（n≥1）为1，3，5，11，…，满足递推关系xn+1=xn+2xn-1， n≥2.数列{yn}（n≥1）7，17，55，161，…，满足递推关系yn+1=2yn+3yn-1， n≥2.证明：这两个数列没有相同的项. 326.设a是给定的正整数.若正整数m，n使得（2a）2m-(2a-1)n>0，则必有（2a）2m-(2a-1)n≥4a-1. 327.求所有的正整数a，b，c其中1 328.设a1,a2,…,a9都是非零实数.证明：下面六个数a1a5a9,a2a6a7,a3a4a8,-a3a5a7,-a1a6a8,-a2a4a9中至少有一个是负数. 329.设a0,b0,c0,d0不全相等，是给定的实数.对任意n≥0，令 an+1=an-bn,bn+1=bn-cn， cn+1=cn-dn,dn+1=dn-an. 证明：数列{an}，{bn}，{cn}，{dn}（n≥0）不能都是有界数列.（即不可能有一个与n无关的常数M，使得对于所有n≥0有|an|≤M,|bn|≤M,|cn|≤M,及|dn|≤M） 330.设x1,x2,…,xn是给定的实数.证明：存在实数x，使得 28 {x-x1}+{x-x2}+…+{x-xn}≤ n?1.这里，{y}表示实数y的小数部分，即{y}=y-[y]. 2331.15只国际象棋中的马，放置在15×15的方格表（的格子）中，使得任两只马不在同一行，也不在同一列.证明：每只马均走一步后，必有两只马在同一行或在同一列.（马从2×3或3×2方格中的一个角移至其对角格子中，称为走了一步） 332.设n≥2，点A1，…，An按逆时针顺序标记在一个圆周上，每个点Ai处放置一个盘子.在任意两个不同点Ai和Aj处各取一个盘子，按相反的方向移至相邻点处（盘子可以重叠）.问对怎样的n，经过若干次这样的移动后，可使n只盘子叠在一个点处？ 333.n个学生参加一次数学考试，试卷由m道试题组成.考虑下述的统计结果： 设?是一实数（0﹤?﹤1），至少am个问题是难题（一个难题是指至少有an个学生未解出来）；至少有an个学生及格（一个学生及格是指他至少解决了am个问题）. 试就??237,,确定上述情形是否可能. 3410334.33个人相聚，有人问每一个人“其余人中有几个人与你同姓、同龄”，结果，回答包括了从0到10的所有整数.证明：必有两个人既同姓又同龄. 335.给定实数a1﹤a2﹤…﹤an，已知所有和ai+aj(1≤i,j≤n,i≠j)中互不相同的数恰好有2n-3个.证明：若n≥5，则a1，…，an成等差数列. 336.证明：直角坐标系中有一个点，它到各整点的距离互不相等.（整点既是横、纵坐标都是整数的点） 337.设集合Sn={1,2,…，n}.对Sn的子集X，将X中所有数之和称为X的容量（规定空集的容量为0）.若X的容量为奇（偶）数，则称X和Sn的奇（偶）子集. （1）证明：Sn的奇子集与偶子集的个数相等； （2）证明：当n≥3时，Sn的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等； （3）当n≥3时，求Sn的所有奇子集的容量之和. 338.将1，2，…，10这十个数依任意顺序排成一圈，证明：其中必有三个相邻的数，它们的和不小于17. 339.一次足球循环赛的结果是：所有各队得分都不相同，而最后一名胜了三场.证明：参加比赛的队不可能是12个.（一场比赛中，胜者得2分，平局各得1分，败者得0分） 340.能否在5×5的方格表中填上数1，2，…，24，25，使得每一行中都有若干符号再添上一个符号：若擦掉的两符号相同，则添“+”号；若不同则添“-”号.若干次操作后黑板上只剩下一个符号，证明；这一符号与操作次序无关. 341.任给8个正整数a1﹤a2﹤…﹤a8≤16.证明：存在一个整数k，使得ai-aj=k，1≤i≠j≤8，至少有 29 三组解. 342.证明：可将1，2，…，n(n≥3)这n个自然数排成一圈，并使任何相邻两数之差不超过2，进一步证明，这种排法是惟一的（如果不计圆圈方向的顺逆）. 343. 设n为正整数，试求出最大的整数k，使得在n元集合中，可取出k个子集，其中任意两个的交非空. 345.试确定所有正整数n﹥1，使集合{1，2，…，n}可分成5个互不相交的子集，每个子集中元素之和相等. 346.设n≥2，S={1，2，…，n}.对每个1≤k≤n，记xk是S的所有k元子集的最大元素的和.试求 x1-x2+…+(-1)k-1xk+…+(-1)nn-1xn. 347.设n个非负数的和为1.证明：可将它们适当地排在圆周上，使得将每两个相邻数相乘后，所得的n个乘积之和不超过. 348.考查由m×n的0，1矩阵（元素均为0或1的矩阵）构成的集合.求每行、每列中1的个数都是偶数的这种矩阵的个数. 349.用6种不同的颜色给正方体的面染色，每个面染一种颜色，任意两个相邻的面不同色（颜色不必全部用完）.求不同的染色方法数，这里经旋转后重合的染色方式认为是同一种. 350.设p，q为给定的正整数，n=2p〃3q.求n2的正约数中,小于n且不是n的约数的数的个数. 351.设n为正整数，记Sn={1,2,…,2n}.定义Sn的两个子集： An={A?Sn||A|=n,A中各元素之和为偶数}， Bn={B?Sn||B|=n，B中各元素之和为奇数}.对每个n，求|An|-|Bn|的值. 1n352.设a1，a2，…，an为一个倒三角形的第1行，其中ai∈{0,1},i=1,2,…，n.数b1,b2…，bn-1为这个倒三角形的第2行，使得若ak=ak+1，则bk=0；若ak≠ak+1，则bk=1，k=1，2，…，n-1.类似定义该倒三角形的其余各行，直到第n行为止.求该三角形中1的个数的最大值. 353.设n1﹤n2﹤…﹤n2000﹤10100为任给的2000个正整数.证明：集合{n1,n2，…，n2000}中有两个没有公共元素的子集A和B.使得下述条件都满足. （1）|A|=|B|； （2）A中所有元素之和等于B中所有元素之和； （3）A中所有元素的平方和等于B中所有元素的平方和. 354.如果一个10位数的各数码两两不同，且它是11111的倍数，则称之为好数.求所有好数的个数. 355.将1，2，…，9填入3×3的表格，使得该表格的4个2×2的子表格中各数之和，以及该表格的4个角上的各数之和都相等.问：有多少种填表方式? 30 356.在1，2，…，10 000中，有多少个数不出现数码3？这样的数中有多少个数不是3的倍数？ 357.给定正整数n(﹥1)，求1，2，…，n具有下述性质的排列（a1,a2，…，an）的个数：存在惟一的下标i∈{1，2，…，n-1}，使得ai﹥ai+1. 358.从集合{1，2，…，n}中，取出k个数，其中任意两个数之差的绝对值≥2.有多少种取法？ 359.8名女生，20名男生围成一圈，每两名女生之间至少有两名男生，问：有多少种满足条件的方法围成圆圈？ 360.集合A，B，C（不必两两相）相的并集A∪B∪C={1，2，…，10}，这样的有序三元组{A，B，C}有多少组？ 361.已知m，n是正整数，求不定方程x1+x2+…+xm=n的非负整数解的组数.并依此求解下述问题： （1）求不定方程x1+x2+…+x6=200的正整数解的组数； （2）求不定方程x1+x2+…+x6=200的正整数解中使得xi>i,i=1，2，…，6的解的组数. 362.某民航机场有1到6号共六个入口，每个入口每次只能进去一个人，问：一个小组共9个人进站的方案数有多少？ 363.设n为正整数,集合S={1，2，…，n}，若S的非空子集X中，奇数的个数大于偶数的个数，则称X为好集，S的好集好的个数记为Fn，对每个正整数n,求Fn的值. 364.设S的数集{1，2，…，2003}的一个子集，且S中任意两个数的差不等于4或7.问：S最多可以包含多少个数？ 365.设n≥2为正整数，P0是一个正n+1边形的一个固定的顶点，其余的顶点随意记为P1，P2，P3，…，Pn，在此n+1边形的每边上写上一个正整数，使得：如果该边的端点为Pi,Pj，则在此边上写上|i-j|，记此n+1条边上所有数的和为S. （1）对固定的n，求S的最小值. （2）有多少种编号（对顶点）方式使得S取最小值？ 367.给定正整数n，某个协会中恰有n个人，他们属于6个委员会，每个委员会至少由证明：必有两个委员会，它们的公共成员数不小于 n个人组成.4n. 30368.某校有64人参加五门不同的学科竞赛，每门学科有至少19名学生参加，每个学生至多参加3门学科竞赛.证明：若任意3门学科竞赛均有一个公共参赛者，则存在两门学科竞赛有5个公共参赛者. 369.已知（E1，E2，E3，E4）是某个n元素合的子集组，满足：E1∩E2=?，E2∩E3≠?，E3∩E4≠?.问:有多少个这样的子集组? 370.集合S={1,2,…，2000}，对S的31元子集，如果其元素之和能被5整除，就称之为好集，求S 31 的好集的个数. 371.设A1A2…An(n≥3)是圆内接凸n边形，考察以此凸n边形的顶点为顶点的子凸多边形，并将它们分为两组，每一组的每个多边形都以A1为其一个顶点，其余的为第二组.问：哪一组中多边形的个数更多？ 372.设n∈N*,我们称集合{1，2，…，2n}的一个排列{x1，x2，…，x2n}具有必质P：如果存在i∈{1，2，…，2n-1}，使得|xi-xi+1|=n.求证：对任意正整数n，具有性质P的排列数比不具有性质P的排列数多. 373.将正整数n写成2的方幂和形式的无序分拆的总数记为B（n），求证：对任意n>1，均有B（n）为偶数. 374.考虑数1，2，3，4，5，6的排列a1，a2,…，a6，已知将排列a1,a2，…，a6变为1，2，…，6，需要而且只需要经过4次对换（将任意两个数交换位置，称为一次对换）.求所有这样的排列的个数. 32