课时作业30 数系的扩充与复数的引入
一、选择题
1．若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于( C )
A．{－1} C．{1，－1}
B．{1} D．?
解析：因为A＝{i，i2，i3，i4}＝{i，－1，－i，1}， B＝{1，－1}，所以A∩B＝{－1,1}．
1＋z11
2．已知i是虚数单位，复数z满足－＝，则|z|＝( A )
1＋i1－i1－zA．1 C.3
B.2 D．2
1－i－?1＋i?1＋z－2i1＋z
解析：因为＝，即2＝，
?1＋i??1－i?1－z1－z1＋z
即＝－i，故(1－i)z＝－1－i， 1－z
?1＋i?22i
所以z＝－＝－2＝－i，
?1＋i??1－i?则|z|＝1，应选A.
3．已知复数z＝|(3－i)i|＋i5(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为( A )
A．2－i C．4－i
B．2＋i D．4＋i
解析：由题意知z＝|3i＋1|＋i＝12＋?3?2＋i ＝2＋i，则z＝2－i.
4．设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则复数z对应的点位于复平面内( A )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
解析：由i(z＋1)＝－3＋2i，
D．第四象限
－3＋2i3i2＋2i
得z＝i－1＝i－1＝2＋3i－1＝1＋3i， 它在复平面内对应的点为(1,3)，位于第一象限．
1－ai
5．已知i为虚数单位，若复数z＝(a∈R)的虚部为－3，则|z|＝
1＋i( C )
A.10 C.13
B．23 D．5
1－ai?1－ai??1－i?
解析：因为z＝＝
1＋i?1＋i??1－i?1－a－?a＋1?i1－aa＋1＝＝2－2i， 2
a＋1
所以－2＝－3，解得a＝5，所以z＝－2－3i， 所以|z|＝?－2?2＋?－3?2＝13.
6．若复数m(3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围为( D )
A．m>1 2
C．m<3或m>1
2B．m>3 2
D．3 解析：m(3＋i)－(2＋i)＝(3m－2)＋(m－1)i ??3m－2>0，2 由题意，得?解得3 ?m－1<0，? 1 7．若复数z＝a－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则的虚部为( A ) z＋a 2 2A．－5 2C．5 2B．－5i 2D．5i 2??a－1＝0， 解析：由题意得?所以a＝1， ??a＋1≠0， 1－2i1112 所以＝＝＝－i， z＋a1＋2i?1＋2i??1－2i?5512 根据虚部的概念，可得的虚部为－5. z＋a 2i 8．已知复数z＝1＋，则1＋z＋z2＋…＋z2 015＝( D ) 1－iA．1＋i C．i B．1－i D．0 2i?1＋i?2i 解析：z＝1＋＝1＋2＝i， 1－i 2 016 1×?1－z?22 015 ∴1＋z＋z＋…＋z＝ 1－z 1－i2 0161－i4×504＝＝＝0. 1－i1－i二、填空题 6＋7i9．(2018·天津卷)i是虚数单位，复数＝4－i. 1＋2i6＋7i?6＋7i??1－2i?20－5i解析：＝＝5＝4－i. 1＋2i?1＋2i??1－2i? 10．若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为2. 1＋2i 解析：复数z＝i＝(1＋2i)(－i)＝2－i的实部是2. a＋2i 11．已知i＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝1. a＋2i 解析：因为i＝b＋i，所以2－ai＝b＋i.由复数相等的充要条件得b＝2，a＝－1.故a＋b＝1. 3312．在复平面上，复数对应的点到原点的距离为5. ?2－i?2解析：解法1：由题意可知 ?3?33??2＝2＝. 5??2－i??|2－i| 33解法2：＝ ?2－i?24－4i＋i23?3＋4i?3 ＝＝ 3－4i?3－4i??3＋4i?9＋12i912＝25＝25＋25i， ?3??912??＋i? 2?＝? ??2－i???2525? ＝?9?2?12?23??＋??＝. 5?25??25? 13．如图所示的网格纸中小正方形的边长是1，复平面内点Z对应的复数z满足(z1－i)·z＝1，则复数z1＝( B ) 24 A．－5＋5i 24C．5－5i 24B．5＋5i 24D．－5－5i 2－i124 解析：由题意得z＝2＋i, 所以z1＝＋i＝5＋i＝5＋5i. 2＋i 14．(2019·枣庄模拟)已知m为实数，i为虚数单位，若m＋(m2－4)i>0，m＋2i则＝i. 2－2i 解析：因为m＋(m2－4)i>0，所以