则函数g(x)的最小正周期为T==π,A选项说法正确,不符合题意;

当x=时,2x+=,函数y=g(x)的一条对称轴是x=,B选项说法正确,不符合题意;

当x=时,2x+=π,函数y=g(x)的一个零点是,C选项说法正确,不符合题意;

若x∈,,则2x+∈,,函数y=g(x)在区间,上不单调,D选项说法错误,

符合题意;故选D.

(3)根据函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象, 可得A=2

,

因为·=6+2,所以ω=.

再结合五点法作图可得×6+φ=π,求得φ=π,

所以f(x)=2cosx+π.

把f(x)的图象向右平移2个单位后,可得

g(x)=2cos(x-2)+π=2cosx+=-2sinx的图象,故选B.

三角函数的性质

【例3】 (1)(2018·安徽江南十校二模)函数y=sin x·sinx+m(m>0)个单位后,得到y=g(x)为偶函数,则m的最小值为( )

的图象沿x轴向右平移

(A) (B) (C) (D)

(2)(2018·河北石家庄二中八月模拟)已知f(x)=sinx+sin xcos x+2sinx+

2

cos x+.

①当x∈,时,求f(x)的值域;

9

②若函数f(x)的图象向右平移个单位后,所得图象恰与函数g(x)的图象关于直线x=对称,求函数g(x)的单调递增区间.

(1)解析:y=sin x·sinx+

=sinx+

2

sin xcos x

=+

=sin2x-+,

将y=sin2x-图象,

+的图象沿x轴向右平移m(m>0)个单位后,得到g(x)=sin2x-2m-+的

因为g(x)=sin2x-2m-+为偶函数,

所以2m+=+kπ,k∈Z,

即m=+,k∈Z,

即正数m的最小值为.故选D.

(2)解:①f(x)=sinx+sin x cos x+2sinx+

2

cosx+

=+sin 2x+sin2x+

=+(sin 2x-cos 2x)+cos 2x

=(sin 2x+cos 2x)+

10

=sin2x++,

由x∈,,得≤2x+≤π,

所以-≤sin2x+≤1,0≤f(x)≤,

即f(x)在,上的值域是0,.

②函数f(x)的图象向右平移个单位后得到h(x)的图象,

则h(x)=fx-=sin 2x+,

设点P(x,y)是g(x)图象上任意一点,

则点P关于直线x=对称的点Q-x,y在h(x)的图象上,

所以g(x)=h-x=sin-2x+

=sin2x++.

所以当-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),

即-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z)时,g(x)单调递增,

所以g(x)的单调递增区间是-

+kπ,+kπ(k∈Z).

三角函数的主要性质为奇偶性、周期性、单调性和最值.(1)y=sin(ωx+φ)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z)、为偶函数的充要条件是φ=kπ+(k∈Z),函数y=cos(ωx+φ)为奇 11

函数的充要条件是φ=kπ+(k∈Z)、为偶函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z);(2)函数y=sin(ωx+φ),y=cos(ωx+φ)的最小正周期为,函数y=tan(ωx+φ)的最小正周期T=;(3)确定y=sin(ωx+φ),y=cos(ωx+φ)的单调性时首先化ω为正值,然后把ωx+φ看作整体,利用y=sin x,y=cos x的单调区间,得出关于ωx+φ的不等式,解不等式即得所求函数的单调区间;(4)确定函数y=sin(ωx+φ)的值域时,一定要准确求出ωx+φ的取值范围,结合函数y=sin x的单调性得出所求的值域. 热点训练2:(1)(2018·广东广州市海珠区一模)设函数f(x)=cos2x-是( )

(A)f(x)的一个周期为-π

,则下列结论错误的

(B)y=f(x)的图象关于直线x=对称

(C)fx+的一个零点为x=-

(D)f(x)在区间上单调递减

(2)(2018·安徽宿州第三次质检)将函数y=2sin-xcos+x-1的图象向左平移φ(φ>0)

个单位,所得的图象恰好关于原点对称,则φ的最小值为( )

(A) (B) (C) (D)

(3)(2018·山东青岛二模)已知向量a=cos x,-f(x)=a·b.

①求f(x)的最小正周期;

②求函数f(x)的单调递减区间;

,b=(sin x,cos 2x),x∈R,设函数

③求f(x)在0,上的最大值和最小值.

(1)解析:f(x)=cos2x-

的周期为T=kπ,k∈Z,

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