点集拓扑练习题
一、单项选择题（每题1分）
1、已知X?{a,b,c,d,e},下列集族中，（ ）是X上的拓扑.
① T?{X,?,{a},{a,b},{a,c,e}} ② T?{X,?,{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}} ③ T?{X,?,{a},{a,b}} ④ T?{X,?,{a},{b},{c},{d},{e}} 答案：③ 2、设X?{a,b,c}，下列集族中,（ ）是X上的拓扑.
① T?{X,?,{a},{a,b},{c}} ② T?{X,?,{a},{a,b},{a,c}} ③ T?{X,?,{a},{b},{a,c}} ④ T?{X,?,{a},{b},{c}} 答案：② 3、已知X?{a,b,c,d},下列集族中，（ ）是X上的拓扑.
① T?{X,?,{a},{a,b},{a,c,d}} ② T?{X,?,{a,b,c},{a,b,d}} ③ T?{X,?,{a},{b},{a,c,d}} ④ T?{X,?,{a},{b}} 答案：① 4、设X?{a,b,c}，下列集族中,（ ）是X上的拓扑.
① T?{X,?,{b},{c},{a,b}} ② T?{X,?,{a},{b},{a,b},{a,c}} ③ T?{X,?,{a},{b},{a,c}} ④ T?{X,?,{a},{b},{c}} 答案：② 5、已知X?{a,b,c,d},下列集族中，（ ）是X上的拓扑.
① T?{X,?,{a,b},{a,c,d}} ② T?{X,?,{a,b},{a,c,d}}
③ T?{X,?,{a},{b},{a,c,d}} ④ T?{X,?,{a},{c},{a,c}} 答案：④ 6、设X?{a,b,c}，下列集族中,（ ）是X上的拓扑.
① T?{X,?,{a},{b},{b,c}} ② T?{X,?,{a,b},{b,c}}
③ T?{X,?,{a},{a,c}} ④ T?{X,?,{a},{b},{c}} 答案：③ 7、已知X?{a,b,c,d}，拓扑T?{X,?,{a}},则{b}=（ ）
①φ ② X ③ {b} ④ {b,c,d} 答案：④ 8、 已知X?{a,b,c,d}，拓扑T?{X,?,{a}},则{b,c,d}=（ ）
①φ ② X ③ {b} ④ {b,c,d} 答案：④ 9、 已知X?{a,b}，拓扑T?{X,?,{a}},则{a}=（ ）
①φ ② X ③ {a} ④ {b} 答案：② 10、已知X?{a,b}，拓扑T?{X,?,{a}},则{b}=（ ）
①φ ② X ③ {a} ④ {b} 答案：④ 11、已知X?{a,b,c,d}，拓扑T?{X,?,{a}},则{a}=（ ）
①φ ② X ③ {a,b} ④ {b,c,d} 答案：② 12、已知X?{a,b,c,d}，拓扑T?{X,?,{a}},则{c}=（ ）
①φ ② X ③ {a,c} ④ {b,c,d} 答案：④
13、设X?{abcd,,,}，拓扑T?{X,?,{a},{b,c,d}},则X的既开又闭的非空真子集的个数为（① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
14、设X?{a,b,c}，拓扑T?{X,?,{a},{b,c}},则X的既开又闭的非空真子集的个数为（ ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
）
）15、设X?{a,b,c}，拓扑T?{X,?,{b},{b,c}},则X的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）
① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：①
16、设X?{a,b}，拓扑T?{X,?,{b}},则X的既开又闭的子集的个数为（ ）
① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③
17、设X?{a,b}，拓扑T?{X,?,{a},{b}},则X的既开又闭的子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④
18、设X?{a,b,c}，拓扑T?{X,?,{a},{,则X的既开又闭的非空真子集的个数为b},{a,b},{bc,}}（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：② 19、在实数空间中，有理数集Q的内部Q 是（ ）
① ? ② Q ③ R -Q ④ R 答案：① 20、在实数空间中，有理数集Q的边界?(Q)是（ ）
① ? ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④ 21、在实数空间中，整数集Z的内部Z是（ ）
① ? ② Z ③ R-Z ④ R 答案：① 22、在实数空间中，整数集Z的边界?(Z)是（ ）
① ? ② Z ③ R-Z ④ R 答案：② 23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）
① ? ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：③ 24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ）
① ? ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案：③ 25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）
① ? ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：④ 26、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中错误的是（ ） ① d(A?B)?d(A)?d(B) ② A?B?A?B ③ d(A?B)?d(A)?d(B) ④ A?A 答案: ③
27、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中正确的是（ ） ① d(A?B)?d(A)?d(B) ② A?B?A?B ③ d(A?B)?d(A)?d(B) ④ A?A 答案: ①
28、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中正确的是（ ） ① d(A?B)?A?B ② A?B?A?B
③ d(A?B)?d(A)?d(B) ④ d(d(A))?A?d(A) 答案: ④ 29、已知X是一个离散拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中正确的是（ ）
① d(A)?? ② d(A)?X?A ③ d(A)?A ④ d(A)?X 答案：① 30、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中不正确的是（ ）
① 若A??,则d(A)?? ② 若A?{x0},则d(A)?X?A ③ 若A={x1,x2},则d(A)?X ④ 若A?X, 则d(A)?X 答案：④
31、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中正确的是（ ）
① 若A??,则d(A)?? ② 若A?{x0},则d(A)?X
③ 若A={x1,x2},则d(A)?X?A ④ 若A?{x1,x2},则d(A)?A 答案：① 32、设X?{a,b,c,d}，令B?{{a,b,c},{c},{d}},则由B产生的X上的拓扑是（ ）
① { X,?,{c},{d},{c,d},{a,b,c}} ② {X,?,{c},{d},{c,d}}
③ { X,?,{c},{a,b,c}} ④ { X,?,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}} 答案：①
33、设X是至少含有两个元素的集合，p?X,T?{G?X|p?G}?{?} 是X的拓扑，则（ ）是
T的基.
① B?{{p,x}|x?X?{p}} ② B?{{x}|x?X}
③ B?{{p,x}|x?X} ④ B?{{x}|x?X?{p}} 答案：③ 34、 设X?{a,b,c},则下列X的拓扑中（ ）以S?{X,?,{a}}为子基.
① { X, ?,{a},{a,c}} ② {X, ?,{a}}
③ { X, ?,{a},{b},{a,b}} ④ {X,? } 答案：② 35、离散空间的任一子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③ 36、平庸空间的任一非空真子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④ 37、实数空间R中的任一单点集是 ( )
① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案：② 38、实数空间R的子集A ={1,
1①φ ② R ③ A2,1∪{0} 3 ,14,……},则A＝（ ） ④ A 答案：③ 39、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（ ）
① 整数集 ② ?a,b? ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案：① 40、在实数空间R中，下列集合是开集的是（ ）
① 整数集Z ② 有理数集 ③ 无理数集 ④ 整数集Z的补集Z? 41、已知X?{1,2,3}上的拓扑T?{X,?,{1}},则点1的邻域个数是（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④ 42、已知X?{a,b},则X上的所有可能的拓扑有（ ）
① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④ 43、已知X={a,b,c},则X上的含有４个元素的拓扑有（ ）个
① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④ 44、设(X,T)为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( ) ①X?T , ??T ② X?T ,??T ③当T??T时,
U?T ④ 当T??T时,
U?T 答案：③
U?T?U?T?
答案：④ 45、在实数下限拓扑空间R中，区间[a,b)是（ ）
① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：③ 46、设X是一个拓扑空间，A,B?X,且满足d(A)?B?A,则B是（ ）
① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：②
47、设X?{1,2,3},T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{1,2},则X的子空间A的拓扑为
( )
① T?{?,{2},{1,2}} ② T?{?,X,{1},{2},{1,2}}
③ T?{?,A,{1},{2}} ④ T?{?,X,{1},{2}} 答案：③
48、设X?{1,2,3},T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{1,3},则X的子空间A的拓扑为
( )
① T?{?,{1},{3},{1,3}} ② T?{?,A,{1}}
③ T?{?,X,{1},{3},{1,3}} ④ T?{?,X,{1}} 答案：②
49、设X?{1,2,3},T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{2,3},则X的子空间A的拓扑为
( )
① T?{?,{3},{2,3}} ② T?{?,A,{2},{3}}
③ T?{?,X,{2},{3},{2,3}} ④ T?{?,X,{3}} 答案：②
50、设X?{1,2,3},T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{1},则X的子空间A的拓扑为( )
① T?{?,{1}} ② T?{?,A,{1,2}}③ T?{?,X,{1},{3},{1,3}} ④ T?{?,X,{1}} 答案：① 51、设X?{1,2,3},T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{2},则X的子空间A的拓扑为( )
① T?{?,{2},{1,2}} ② T?{?,A} ③ T?{?,X,{2}} ④ T?{?,X,{1,2}} 答案：② 52、设X?{1,2,3},T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{3},则X的子空间A的拓扑为( )
① T?{?,{2},{1,2}} ② T?{?,{X},{1,3}} ③ T?{?,X,{3}} ④ T?{?,{3}} 答案：④ 53、设R是实数空间，Z是整数集，则R的子空间Z的拓扑为（ ）
① T?{?,Z} ② T?P(Z) ③ T?Z ④ T?{Z} 答案：② 54、设X?X1?X2??X6是拓扑空间X1,X2,55、设X?X1?X2??X56、设X?X1?X2??X57、设X?X1?X2??X是拓扑空间X1,X2,是拓扑空间X1,X2,是拓扑空间X1,X2, ,X6的积空间.P1是X到X1的投射，则P1是（ ）则P（ ） ,X6的积空间.P2是X到X2的投射，2是则P（ ） ,X6的积空间.P3是X到X3的投射，3是则P（ ） ,X6的积空间.P4是X到X4的投射，4是
① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
6① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
6① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
6① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④