第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
2-1 试画图示各杆的轴力图。
题2-1图
解：各杆的轴力图如图2-1所示。
图2-1
2-2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。图a与b所示分布载荷均沿杆轴均匀分布，集度为
q。
题2-2图
(a)解：由图2-2a(1)可知，
FN(x)?2qa?qx
轴力图如图2-2a(2)所示，
FN,max?2qa
图2-2a
(b)解：由图2-2b(2)可知，
FR?qa
1
FN(x1)?FR?qa FN(x2)?FR?q(x2?a)?2qa?qx2
轴力图如图2-2b(2)所示，
FN,max?qa
图2-2b
2-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500mm，载荷F=50kN。试求图示斜截面m-m上的正应力与切
2
应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。
题2-3图
解：该拉杆横截面上的正应力为
F50?103Nζ???1.00?108Pa?100MPa －62A500?10m斜截面m-m的方位角α??50?，故有
ζ??ζcos2α?100MPa?cos2(?50?)?41.3MPa
ζηα?sin2α?50MPa?sin(?100?)??49.2MPa 2杆内的最大正应力与最大切应力分别为
ζmax?ζ?100MPa
ηmax?ζ?50MPa 22-5 某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定材料的弹性模量E、
比例极限?p、屈服极限?s、强度极限?b与伸长率?，并判断该材料属于何种类型（塑性或脆性材料）。
题2-5
解：由题图可以近似确定所求各量。
2
Δζ220?106PaE???220?109Pa?220GPa Δε0.001ζp?220MPa, ζs?240MPa
ζb?440MPa, δ?29.7%
该材料属于塑性材料。
2-7 一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。若杆径d =10mm，杆长 l =200mm，杆
端承受轴向拉力F = 20kN作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。
题2-6图
解：
ζ?FA?4?20?103Nπ?0.0102m2?2.55?108Pa?255MPa 查上述ζ?ε曲线，知此时的轴向应变为
ε?0.0039?0.39%
轴向变形为
Δl?lε?(0.200m)?0.0039?7.8?10?4m?0.78mm
拉力卸去后，有
εe?0.00364， εp?0.00026
故残留轴向变形为
Δl?lεp?(0.200m)?0.00026?5.2?10?5m?0.052mm
2-9 图示含圆孔板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F =32kN，板宽b =100mm，板厚=20mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。
题2-9图
解：根据
d/b?0.020m/(0.100m)?0.2
查应力集中因数曲线,得
K?2.42
根据 ζn?F(b?d)δ， K?ζmaxζ
n得
3
??15mm，孔径d
KF2.42?32?103Nζmax?Kζn??＝6.45?107Pa?64.5MPa 2(b?d)δ(0.100－0.020)?0.015m2-10 图示板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F=36kN，板宽b1=90mm，b2=60mm，板厚?=10mm，孔径d =10mm，圆角半径R =12mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。
题2-10图
解：1.在圆孔处 根据
d0b?.010m?0.1111 10.090m查圆孔应力集中因数曲线，得 K1?2.6
故有
ζKK1F2.6?36?103N8max?1ζn1?(b??0.010m2?1.17?10Pa?117MPa 1－d)δ(0.090－0.010)2．在圆角处 根据
Dd?b1b?0.090m0.060m?1.5 2RR0.012md?b??0.2 20.060m查圆角应力集中因数曲线，得 K2?1.74
故有
ζζK2F1.74?36?103Nmax?K2n2?b?0.060?0.010m2?1.04?108Pa?104MPa 2δ3. 结论
ζmax?117MPa（在圆孔边缘处）
2-14图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆的横截面面积均为A，许用应力均为许用值[F]。
题2-14图
4
[?]，试确定载荷F的解：先后以节点C与B为研究对象，求得各杆的轴力分别为
根据强度条件，要求 由此得
[F]?[?]A 22F?[?] AFN1?2F FN2?FN3?F
2-15 图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为[?]。若在节点B和C的位置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的?值（即确定节点A的最佳位置）。
题2-15图
解：1.求各杆轴力
设杆AB和BC的轴力分别为FN1和FN2，由节点B的平衡条件求得
FN1?F， FN2?Fctanα sinα2.求重量最轻的?值 由强度条件得
结构的总体积为 由 得
3cos2α?1?0
V?A1l1?A2l2?FlFlFl2??ctanα?(?ctanα) [ζ]sinαcosα[ζ][ζ]sin2αA1?FF， A2?ctanα [ζ]sin?[ζ]dV?0 dα由此得使结构体积最小或重量最轻的α值为
αopt?54?44?
2-16 图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为[?]。若节点A和C间的指定距离为 l，为使结构重量最轻，试确定?的最佳值。
5
题2-16图
解：1.求各杆轴力
由于结构及受载左右对称，故有
2.求?的最佳值 由强度条件可得
结构总体积为
由 得
由此得?的最佳值为
θopt?45?
cos2θ?0
FN1?FN2?F2sinθ
A1?A2?F2[ζ]sinθ
V?2A1l1?FlFl??[ζ]sinθ2cosθ[ζ]sin2θ
dV?0 dθ2-17图示杆件，承受轴向载荷F作用。已知许用应力[?]＝120MPa，许用切应力[?]＝90MPa，许用挤压应力[?bs]＝240MPa，试从强度方面考虑，建立杆径d、墩头直径D及其高度h间的合理比值。
题2-17图
解：根据杆件拉伸、挤压与剪切强度，得载荷F的许用值分别为
理想的情况下，
[F]t?[F]b?[F]s πd2[F]t?[?]
4π(D2?d2)[F]b?[?bs]
4(a) (b) (c)
[F]s?πdh[?]
在上述条件下，由式（a）与（c）以及式（a）与（b），分别得
h?[?]d 4[?] 6
于是得 由此得
D?1?[?]d[?]bs
D:h:d?1?[?][?]::1 [?]bs4[?]D:h:d?1.225:0.333:1
2-18 图示摇臂，承受载荷F1与F2作用。已知载荷F1=50kN，F2=35.4kN，许用切应力[?]=100MPa，许用挤压应力[?bs]=240MPa。试确定轴销B的直径d。
题2-18图
解：1. 求轴销处的支反力
由平衡方程?Fx?0与?Fy?0，分别得
FBx?F1?F2cos45??25kN
FBy?F2sin45??25kN
由此得轴销处的总支反力为
2.确定轴销的直径
由轴销的剪切强度条件（这里是双面剪） 得
2FB2?35.4?103d??m?0.015m
?[η]??100?106FB?252?252kN?35.4kN
η?Fs2FB?2?[η] Aπd由轴销的挤压强度条件 得
FB35.4?103d??m?0.01475m δ[ζbs]0.010?240?106ζbs?FbFB??[ζbs] d?d?结论：取轴销直径d?0.015m?15mm。
2-19图示木榫接头，承受轴向载荷F = 50 kN作用，试求接头的剪切与挤压应力。
7
题2-19图
解：剪应力与挤压应力分别为
50?103N???5 MPa (0.100m)(0.100m)50?103N?bs??12.5 MPa
(0.040m)(0.100m) 2-20图示铆接接头，铆钉与板件的材料相同，许用应力[?] =160MPa，许用切应力[?] = 120 MPa，许用挤压应力[?bs ] = 340 MPa，载荷F = 230 kN。试校核接头的强度。
解：最大拉应力为
230?103N?max??153.3 MPa 2(0.170?0.020)(0.010)(m)题2-20图
最大挤压与剪切应力则分别为
230?103N?bs??230 MPa
5(0.020m)(0.010m)4?230?103N???146.4 MPa 5?π(0.020m)22-21 图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷F = 45kN作用。已知木杆的截面宽度b =250mm，沿木纹方向的许用拉应力[?]=6MPa，许用挤压应力[?bs]=10MPa，许用切应力[?]=1MPa。试确定钢板的尺寸?与l以及木杆的高度h。
题2-21图
解：由拉伸强度条件 得
F45?103h?2δ??m?0.030m
b[ζ]0.250?6?106ζ?F?[ζ] b(h?2δ)（a）
由挤压强度条件
ζbs?F?[ζbs] 2bδ 8
得
δ?F2b[ζ?45?103m?0.009m?9mm bs]2?0.250?10?106（b）
由剪切强度条件 η?F2bl?[η] 得
l?F45?1032b[?]?2?0.250?1?106m?0.090m?90mm 取δ?0.009m代入式（a），得
h?(0.030?2?0.009)m?0.048m?48mm 结论：取
δ?9mm，l?90mm，h?48mm。
2-22 图示接头，承受轴向载荷F作用。已知铆钉直径d=20mm，许用应力[?]=160MPa，许用切应力[?]=120MPa，许用挤压应力[?bs]=340MPa。板件与铆钉的材料相同。试计算接头的许用载荷。
题2-22图
解：1.考虑板件的拉伸强度 由图2-22所示之轴力图可知， FN1?F， FN2?3F/4
ζ1?FN1A?F?[ζ] 1(b?d)δ F?(b?d)δ[ζ]?(0.200-0.020)?0.015?160?106N?4.32?105N?432kN
ζ2?FN2A?3F(b?2d)δ?[ζ] 24
F?43(b?2d)δ[ζ]?43(0.200?0.040)?0.015?160?106N?5.12?105N?512kN
图2-22
2.考虑铆钉的剪切强度 FFs?8
η?FsA?4F8πd2?[η]
9
F?2πd2[η]?2?π?0.0202?120?106N?3.02?105N?302kN
3．考虑铆钉的挤压强度
Fb?F4
FbF???[?bs]? d4? d?bsF?4?d[ζbs]?4?0.015?0.020?340?106N?4.08?105N?408kN
结论：比较以上四个F值，得
[F]?302kN
2-23 图a所示钢带AB，用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接，钢带承受轴向载荷F作用。已知载荷F=6kN，带宽b=40mm，带厚?=2mm，铆钉直径d=8mm，孔的边距a=20mm，钢带材料的许用切应力[?]=100MPa，许用挤压应力[?bs]=300MPa，许用拉应力 [?]=160MPa。试校核钢带的强度。
解：1．钢带受力分析
题2-23图
分析表明，当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影， 通过该面的形心时，通常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。
铆钉孔所受挤压力Fb等于铆钉剪切面上的剪力，因此，各铆钉孔边所受的挤压力Fb相同，钢带的受力如图b所示，挤压力则为
F6?103NFb???2.0?103N
33孔表面的最大挤压应力为
Fb2.0?103N?bs????1.25?108Pa?125MPa?[?bs]
?d(0.002m)(0.008m) 在挤压力作用下，钢带左段虚线所示纵截面受剪（图b），切应力为
Fb2.0?103N?????2.5?107Pa?25MPa?[?] 2?a2(0.002m)(0.020m)钢带的轴力图如图c所示。由图b与c可以看出，截面1-1削弱最严重，而截面2-2的轴力最大，因此，应对此二截面进行拉伸强度校核。
截面1-1与2-2的正应力分别为
FN12F2(6?103N)?1????83.3MPa????
A13(b?2d)?3(0.040m?2?0.008m)(0.002m)FN2F6?103N?2????93.8MPa????
A2(b?d)?(0.040m?0.008m)(0.002m) 10
第三章 轴向拉压变形
3-2 一外径D=60mm、内径d=20mm的空心圆截面杆，杆长l = 400mm，两端承受轴向拉力F = 200kN作用。若弹性模量E = 80GPa，泊松比?=0.30。试计算该杆外径的改变量?D及体积改变量?V。 解：1. 计算?D 由于 故有
4?FD4?0.30?200?103?0.060ΔD?ε?D??????mEAEπ(D2?d2)80?109?π?(0.0602?0.0202）
ε??FFΔD ， ε????????EADEA?FD ??1.79?10?5m??0.0179mm2.计算?V
变形后该杆的体积为 故有
3Fl200?10?0.4003ΔV?V??V?V(ε?2ε?)?(1?2μ)?m(1?2?0.3) E80?109 ?4.00?10?7m3?400mm3πV??l?A??(l??l)[(D?ε?D)2?(d?ε?d)2]?Al(1?ε)(1?ε?)2?V(1?ε?2ε?)
43-4 图示螺栓，拧紧时产生?l=0.10mm的轴向变形。已知：d1 = 8.0mm，d2 = 6.8mm，d3 = 7.0mm；l1=6.0mm，
l2=29mm，l3=8mm；E = 210GPa，[?]=500MPa。试求预紧力F，并校核螺栓的强度。
题3-4图
解：1.求预紧力F 各段轴力数值上均等于F，因此， 由此得
πEΔlπ?210?109?0.10?10?3F??N?1.865?104N?18.65kN l0.0060.0290.008ll??)4(12?22?32)4?(2220.0080.00680.007d1d2d3Δl?llFl1l2l34Fl1(??)?(2?22?32) EA1A2A3πEd1d2d32.校核螺栓的强度
F4F4?18.65?103N8ζmax??2??5.14?10Pa?514MPa
Aminπd2π?0.00682m2此值虽然超过[ζ]，但超过的百分数仅为2.6％，在5％以内，故仍符合强度要求。
3-5 图示桁架，在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为ε1= 4.0×10-4
11
与ε2= 2.0×10-4。已知杆1与杆2的横截面面积A1= A2=200mm2，弹性模量E1= E2=200GPa。试确定载荷F及其方位角?之值。
题3-5图
解：1.求各杆轴力 F6N1?E1ε1A1?200?109?4.0?10?4?200?10?N?1.6?104N?16kN
FN2?E2ε2A2?200?109?2.0?10?4?200?10?6N?8?103N?8kN
2.确定F及θ之值
由节点A的平衡方程?Fx?0和?Fy?0得 FN2sin30??Fsinθ?F?N1sin30?0
F?N1cos30?FN2cos30??Fcosθ?0
化简后，成为 FN1?FN2?2Fsinθ
(a)
及
3(FN1?FN2)?2Fcosθ (b)
联立求解方程(a)与(b)，得 tanθ?FN1?FN2(16?3(F)?8)?1033(16?8)?103?0.1925
N1?FN2由此得 θ?10.89??10.9?
FN1?FN2(16?8)?103F?2sinθ?2sin10.89?N?2.12?104N?21.2kN 3-6图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为?，长度为l，左、右端的宽度分别为b2，弹性模量为E。试计算板的轴向变形。
题3-6图
解：对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为
Δl??lF0EA(x)dx??lF0E?b(x)dx (a)
由图可知，若自左向右取坐标x，则该截面的宽度为
12
b1与
代入式(a)，于是得
Δl?b(x)?b1?b2?b1x lb2Fl1Fldx?lnE?0δ?b?b2?b1x?Eδ(b2?b1)b1?1?l??
3-7 图示杆件，长为l，横截面面积为A，材料密度为?，弹性模量为E，试求自重下杆端截面B的位移。
题3-7图
解：自截面B向上取坐标y，y处的轴力为
该处微段dy的轴向变形为
于是得截面B的位移为
ΔCy?FN??gAy
dΔy??gAyEAdy??gyEdy
?gE? 0ydy? l?gl22E (?)
3-8 图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F，并由作用于地桩的摩擦力所支持。设沿地桩单位长度的摩擦力为f，且f = ky2，式中，k为常数。已知地桩的横截面面积为A，弹性模量为E，埋入土中的长度为l。试求地桩的缩短量?。
题3-8图
解：1. 轴力分析 摩擦力的合力为
根据地桩的轴向平衡， 由此得
k?3Fl3Fy?? lkl3fdy??kydy? 03 l2
kl3?F 3 （a）
13
截面y处的轴力为
FN?? y 0ky3fdy??kydy? 03? y?2?
2. 地桩缩短量计算
截面y处微段dy的缩短量为 积分得
FNdyk l3kl4δ???ydy? 0EA3EA? 012EA ldδ?FNdyEA
将式(a)代入上式，于是得
δ?Fl 4EA3-9 图示刚性横梁AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即产生单位轴向变形所需之力）为k，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。
题3-9图
解：载荷F作用后，刚性梁AB倾斜如图(见图3-9)。设钢丝绳中的轴力为FN，其总伸长为Δl。
图3-9
以刚性梁为研究对象，由平衡方程?MA?0得 由此得
由图3-9可以看出， 可见，
根据k的定义，有 于是得
Δy?FNF?kkFN?kΔl?kΔy Δy?Δl FN?F
FNa?FN(a?b)?F(2a?b)
?y?? (2a?b)
Δl?Δy1?Δy2??a??(a?b)??(2a?b)
(b)
3-10 图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点A的水平与铅垂位移。
14
（a）解：
利用截面法，求得各杆的轴力分别为
FN1?FN2?F （拉力） FN4?2F （压力）FN3?0
题3-10图
于是得各杆的变形分别为
?l1??l2??l4?Fl (伸长) EA2F?2l2Fl＝ (伸长) EAEA?l3?0
如图3－10(1)所示，根据变形?l1与?l4确定节点B的新位置B’,然后，过该点作长为l+?l2的垂线，并过其下端点作水平直线，与过A点的铅垂线相交于A’,此即结构变形后节点A的新位置。 于是可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为
ΔAx?0
ΔAy??l1?2?l4??l2?Fl2FlFlFl ?2??21?2EAEAEAEA??
图3-10
（b）解：显然，杆1与杆2的轴力分别为
FN1?F （拉力）
FN2?0
于是由图3－10(2)可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为
Fl EAFl ΔAy??l1?EAΔAx??l1?3-11 图示桁架ABC，在节点B承受集中载荷F作用。杆1与杆2的弹性模量均为E，横截面面积分别为
15
A1=320mm2与A2 =2 580mm2。试问在节点B和C的位置保持不变的条件下，为使节点B的铅垂位移最小，?应取何
值（即确定节点A的最佳位置）。
题3-11图
解：1.求各杆轴力 由图3-11a得
FFN1?sinθ， FN2?Fctanθ
图3-11
2.求变形和位移 由图3-11b得 Δl1?FN1l1EA?2Fl2， ΔlFlFlctanθ2＝N22?2
1EA1sin2θEA2EA2及
ΔΔl1Δl2Fl22ctan2θBy?sinθ?tanθ?E(A?)
1sin2θsinθA23.求θ的最佳值 由dΔBy/dθ?0，得 ?2(2cos2θsinθ?cosθsin2θ)2ctanθ?csc2A2sin2θ?θ?0 1sin2θA2由此得
2A31cosθ?A2(1?3cos2θ)?0
将A1与A2的已知数据代入并化简，得
cos3θ?12.09375cos2θ?4.03125?0
解此三次方程，舍去增根，得
cosθ?0.564967
由此得θ的最佳值为
16
θopt?55.6?
3-12 图示桁架，承受载荷F作用。设各杆的长度为l，横截面面积均为A，材料的应力应变关系为?n=B?，其中n与B为由试验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。
解：两杆的轴力均为
轴向变形则均为
FN?F2cos?
题3-12图
Fl??l??l?l?????2Acos??BB?nn
于是得节点C的铅垂位移为
?lFnlΔCy??nncos?2ABcosn?1?
3-13 图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在梁的中点C承受集中载荷F作用。已知载荷F = 20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm2，弹性模量E = 200GPa，梁长l = 1 000mm。试计算该点的水平与铅垂位移。
题3-13图
解：1.求各杆轴力 由?Fx?0，得
由?Fy?0，得
2．求各杆变形
Δl2?0
FN1l10?103?1.000Δl1??m?5.0?10-4m?0.50mm?Δl3 9?6EA200?10?100?10FN2?0
FN1?FN3?F?10kN 23．求中点C的位移 由图3-13易知，
17
图3-13
Δx?Δl1?0.50mm(?)， Δy?Δl1?0.50mm(?)
3-14 图a所示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试求节点B与C间的相对位移
?B/C。
题3-14图
解：1. 内力与变形分析
利用截面法，求得各杆的轴力分别为
FN1?FN2?FN3?FN4?F （拉力）2FN5?F （压力）
于是得各杆得变形分别为
?l1??l2??l3??l4?Fl (伸长) 2EAF?2l2Fl?l5?? (缩短)
EAEA 2. 位移分析
如图b所示，过d与g分别作杆2与杆3的平行线，并分别与节点C的铅垂线相交于e与h，然后，在de与gh延长线取线段?l3与?l2，并在其端点m与n分别作垂线，得交点C’，即为节点C的新位置。 可以看出，
?l5?2FlFl?2?2FlΔB/C?2?Ci?iC'??2??2?l3??2?????2?22EAEA???2EA???
3-15 如图所示桁架，设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求载荷作用点沿载荷作用方向的位移。
18
题3-15图
(a)解：各杆编号示如图3-15a，各杆轴力依次为
F2N1?2F， F?21N2?2F， FN3?2F 该桁架的应变能为
3V??F2N?112212F2l22?1εilii?12EA2EA(2F?2l?2?4Fl)?2EA(4)
图3-15
依据能量守恒定律， FΔ2?Vε 最后得
Δ?2F2l22?1(22?1)FlF?2EA(4)?4EA (?)
(b)解：各杆编号示如图b 列表计算如下：
i FNi li F2Nili 1 F l F2l 2 0 l 0 3 F l F2l 4 F l F2l 5 ?2F 2l 22F2l ? (3?22)F2l 于是，
5VF2ε??Nili(3?22)F2l
i?12EA?2EA依据能量守恒定律， FΔ2?Vε 可得
Δ?(3?22)FlEA (?) 3-16 图示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求节点位移?B/C。
19
B与C间的相对
题3-16图
解：依据题意，列表计算如下：
i FNi li F2Nili 1 2F/2 l F2l/2 2 2F/2 l F2l/2 3 2F/2 l F2l/2 4 2F/2 l F2l/2 5 ?F 2l 2F2l ? (2?2)F2l
由表中结果可得 5VF2ε??Nili?(2?2)F2l
i?12EA2EA依据 W?V?
得
Δ2?2)FlB/C?(EA (??)
3-17 图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为?，长度为l，左、右端的宽度分别为与b2，弹性模量为E，试用能量法计算板的轴向变形。
题3-17图
解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为
V??lF2l2?NFN02EA(x)dx??02E?b(x)dx (a)
由图可知，若自左向右取坐标x，则该截面的宽度为
b(x)?b1?b2?b1lx 将上式代入式（a）,并考虑到FN?F,于是得
V?? l1F2F2lbε 02Edx?ln2
δ??b?b2Eδ(b2?b1)b1?b1?21lx???设板的轴向变形为?l，则根据能量守恒定律可知，
20
b1
或 由此得
Δl?FΔl?Vε 2bFΔlF2l?ln222Eδ(b2?b1)b1
bFlln2Eδ(b2?b1)b1
3-19 图示各杆，承受集中载荷F或均布载荷q作用。各杆各截面的的拉压刚度均为EA，试求支反力与最大轴力。
题3-19图
(a)解：杆的受力如图3-19a(1)所示，平衡方程为
?F?0, F?F?FxAx?FBx?0
一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。
图3-19a
AC，CD与DB段的轴力分别为
FN1?FAx, FN2?FAx?F, FN3?FAx?2F
由于杆的总长不变，故补充方程为
?l?FAxa?FAx?F?a?FAx?2F?a???0 EAEAEA得
FAx?F?0
由此得
FAx?F
FBx?2F?FAx?F
杆的轴力图如3-19a(2)所示，最大轴力为
FN,max?F
(b)解：杆的受力如图3-19b(1)所示，平衡方程为
21
?Fx?0, qa?FAx?FBx?0
一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。
图3-19b
AC与CB段的轴力分别为
FN1?FAx, FN2?FAx?qx
由于杆的总长不变，故补充方程为
?l?FAxa1aEA?EA?0?FAx?qx?dx?0 得
1?EA??2Fqa2?Axa?2???0 由此得
FAx?qa4
FBx?qa?FAx?3qa4
杆的轴力图如3-19b(2)所示，最大轴力为
F3qaNmax?4 3-20图示结构，杆1与杆2的横截面面积相同，弹性模量均为E，梁BC为刚体，载荷F=20kN，许用拉应力[?t]=160MPa, 许用压应力[?c]=110MPa，试确定各杆的横截面面积。
题3-20图
解：容易看出，在载荷F作用下，杆2伸长，杆1缩短，且轴向变形相同，故FN2为拉力，
FN1为压力，且大小相同，即
FN2?FN1
以刚性梁BC为研究对象，铰支点为矩心，由平衡方程
?M?0, FN2?a?FN1?a?F?2a?0
由上述二方程，解得
FN2?FN1?F
根据强度条件，
22
FN120?103NA1???1.818?10?4m2 6[?c]110?10PaFN220?103NA2???1.25?10?4m2 6[?t]160?10Pa取
A1?A2?182mm2
3-21 图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度相同，试求各杆轴力。
题3-21图
(a)解：此为一度静不定桁架。
设FN,AB以压为正，其余各段轴力以拉力为正。先取杆AB为研究对象，由?Fy?0，得
FN,BC?FN,AB?F (a)
后取节点A为研究对象，由?Fx?0和?Fy?0依次得到 及
2FN,ADcos45??FN,AB FN,AD?FN,AG
(b)
(c)
在节点A处有变形协调关系（节点A铅垂向下）
物理关系为
ΔlBC?FN,BClEA， ΔlAB?FN,ABlEA， ΔlAD?FN,AD2lEA?ΔlAG
ΔlBC?ΔlAB?ΔlAD?2ΔlAD ?cos45(d)
(e)
将式(e)代入式(d)，化简后得
FN,BC?FN,AB?2FN,AD
(c)和(d)?，得 联解方程(a)，(d)?
FN,BC?2F（拉）， FN,AB?2?2F22（压）， FN,AD?FN,AG?2?1F（拉） 2(b)解：此为一度静不定问题。 考虑小轮A的平衡，由?Fy?0，得 由此得
FN1?2F
FN1sin45??F?0
在F作用下，小轮A沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下，Δl2?0，故有
23
FN2?0
FN1的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。
3-22 图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为[?1]=40MPa，[?2]=60MPa，[?3]=120MPa，弹性模量分别为E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。若载荷F=160kN，A1= A2= 2A3，试确定各杆的横截面面积。
题3-22图
解：此为一度静不定结构。节点C处的受力图和变形图分别示如图3-22a和b。
由图a可得平衡方程
图3-22
?Fx?0，FN1?13FN2 2(a) (b)
FN2?FN3?F ?Fy?0，2由图b得变形协调方程为
根据胡克定律，有
Δl1?FN1l1FN1l1FlFlFlFl?， Δl2?N22?N21， Δl3?N33?N31E1A12E1A3E2A2E3A33E2A33E3A3Δl1ctan30??Δl2?Δl3 sin30?(c)
(d)
将式(d)代入式(c)，化简后得补充方程为
15FN1?32FN2?8FN3
(c')
联解方程(a)，(b)和(c’)，并代入数据，得
FN1?22.6kN(压)， FN2?26.1kN（拉）， FN3?146.9kN（拉）
根据强度要求，计算各杆横截面面积如下：
FN122.6?1032A1??m?5.65?10?4m2?565mm2 6[ζ1]40?10FN226.1?1032?422A2??m?4.35?10m?435mm [ζ2]60?106FN3146.9?1032A3??m?1.224?10?3m2?1224mm2 6[ζ3]120?10根据题意要求，最后取
24
A1?A2?2A3?2450mm2
3-23图a所示支架，由刚体ABC并经由铰链A、杆1与杆2固定在墙上，刚体在C点处承受铅垂载荷F作用。杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相同，分别为l=100 mm，A=100 mm2，E=200 GPa。设由千分表测得C点的铅垂位移?y???????mm，试确定载荷F与各杆轴力。
解：1. 求解静不定
题3-23图
在载荷F作用下，刚体ABC将绕节点A沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的变形与受力如图b所示。显然，本问题具有一度静不定。 由平衡方程?MA?0，得
FN1?FN2?F?0 2(a)
由变形图中可以看出，变形协调条件为
根据胡克定律，
Δl1?FN1lFl, Δl2?N2EAEA?l1?2?l2
(b)
(c)
将上述关系式代入式（b），得补充方程为
FN1?2FN2
联立求解平衡方程（a）与上述补充方程，得
FN1?4F2F, FN2?55 (d)
2. 由位移?y确定载荷F与各杆轴力
变形后，C点位移至C’(CC’?AC)（图b），且直线AC与AB具有相同的角位移?，因此，C点的总位移为 又由于 由此得
?l1??y
??CC'?AC?l1?2?l1 AB??2?y
将式（c）与（d）的第一式代入上式，于是得
F?5EA?y4l5(200?109Pa)(100?10?6m2)(0.075?10?3m)??1.875?104N ?34(100?10m) 25
并从而得
FN1?1.5?104N, FN2?7.5?103N
3-24图示钢杆，横截面面积A=2500mm2 ，弹性模量E=210GPa，轴向载荷F=200kN。试在下列两种情况下确定杆端的支反力。
(a) 间隙?=0.6 mm； (b) 间隙?=0.3 mm。
题3-24图
解：当杆右端不存在约束时，在载荷F作用下，杆右端截面的轴向位移为
(200?103N)(1.5m)Fa?F???0.57mm
EA(210?109Pa)(2500?10?6m2) 当间隙?=0.6 mm时，由于?F??，仅在杆C端存在支反力，其值则为
FCx?F?200 kN
当间隙?=0.3 mm时，由于?F??，杆两端将存在支反力，杆的受力如图3-24所示。
杆的平衡方程为 补充方程为 由此得
FBx?F?FBx?FCx?0
图3-24
FaFBx?2a???EAEA
F?EA?22a9?62200?103N(0.0003m)(210?10Pa)(2500?10m) ???47.5 kN22(1.5m)
而C端的支反力则为
FCx?F?FBx?200 kN?47.5 kN?152.5 kN
3-25 图示两端固定的等截面杆AB，杆长为l。在非均匀加热的条件下，距A端x处的温度增量为
?T??TBx2/l2，式中的?TB为杆件
B端的温度增量。材料的弹性模量与线膨胀系数分别为E与?。试求杆件横截
l面上的应力。
26
题3-25图
解：1.求温度增高引起的杆件伸长
此为一度静不定问题。假如将B端约束解除掉，则在x处的杆微段dx就会因温升而有一个微伸长 全杆伸长为
2．求约束反力
设固定端的约束反力为F，杆件因F作用而引起的缩短量为
由变形协调条件 可得
F?EAαlΔTBlEAαlΔTB??l33ΔlF?Δlt
αlΔTBx2d(Δlt)?αlΔTdx?dx 2lΔlt?? lα 0lΔTBx22ldx?αlΔTBl 3ΔlF?FNlFl ?EAEA
3．求杆件横截面上的应力
ζ?FNFEαlΔTB??AA3
3-26 图示桁架，杆BC的实际长度比设计尺寸稍短，误差为?。如使杆端B与节点G强制地连接在一起，试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为EA。
题3-26图
解：此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号1~5。由强制装配容易判断，杆1~3受拉，杆4和5受压。装配后节点G和C的受力图分别示如图3-26a和b。
图3-26
27
根据平衡条件，由图a可得 由图b可得
FN4?FN5 ， FN3?2FN4cos30??3FN4FN1?FN2?FN3
(a)
(b)
变形协调关系为(参看原题图)
依据胡克定律，有
Δli?FNiliEAΔ?Δl1Δl4??Δl3 cos60?cos30?(c)
(i?1~5) (d)
将式(d)代入式(c)，得补充方程
Δ?2FN1l2FN43lFN3l??EAEA3EA (e)
联立求解补充方程(e)、平衡方程(a)与(b)，最后得 即
FN,BC?FN,GD?FN,GE?FN,CD?FN,CE?(9?23)EAΔ （拉） 23lFN3?(9?23)EA(33?2)EAΔ, FN4?Δ 23l23l(33?2)EAΔ （压） 23l3-27图a所示钢螺栓，其外套一长度为l的套管。已知螺栓与套管的横截面面积分别为Ab与At，弹性模量分别为Eb与Et，螺栓的螺距为p。现将螺母旋紧1/5圈，试求螺栓与套管所受之力。螺帽与螺母的变形忽略不计。
题3-27图
解：首先设想套管未套上，而将螺母由距螺帽l处旋转1/5圈，即旋进?=p/5的距离。然后，再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度，故套合后的螺栓将受拉，而套管则受压。
设螺栓所受拉力为FNb，伸长为?lb，套管所受压力为FNt，缩短为?lt，则由图b与c可知，平衡方程为
而变形协调方程则为
?lb??lt??FNb?FNt?0
(a)
利用胡克定律，得补充方程为
FNblFNtl???AbEbAtEt (b)
28
最后，联立求解平衡方程（a）与补充方程（b），得螺栓与套管所受之力即预紧力为 式中，
k?AbEbAtEtFN0?FNb?FNt??AbEbl?1?k?
3-28 图示组合杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜管组成，二者由两个直径为10mm的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高40℃，试计算铆钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为
Es = 200GPa与Ec=100GPa，线膨胀系数分别为?ls=12.5×10-6℃-1与?lc=16×10-6℃-1。
题3-28图
解：设温度升高?T时钢杆和铜管自由伸长量分别为δTs和δTc，由于二者被铆钉连在一起，变形要一致，即变形协调条件为 或写成
Δls?Δlc?δTc?δTs δTs?Δls?δTc?Δlc
这里，伸长量Δls和缩短量Δlc均设为正值。
引入物理关系，得
FNslFNcl??(αlc?αls)lΔTEsAsEcAc
将静力平衡条件FNs?FNc?F代入上式，得
F?EsAsEcAc(αlc?αls)ΔTEsAs?EcAc
注意到每个铆钉有两个剪切面，故其切应力为 由此得
200?109?0.0302?100?109(0.0502?0.0302)(16?12.5)?10?6?40N??2?0.0102[200?109?0.0302?100?109(0.0502?0.0302)]m2 ?5.93?107Pa?59.3MPaη?FSFEsAsEcAc(αlc?αls)ΔT??A2A2A(EsAs?EcAc)
3-29图示结构，杆1与杆2各截面的拉压刚度均为EA，梁BD为刚体，试在下列两种情况下，画变形图，建立补充方程。
(1) 若杆2的实际尺寸比设计尺寸稍短，误差为?； (2) 若杆1的温度升高?T，材料的热膨胀系数为?l。
29
题3-29图
(1)解：如图3-29(1)a所示，当杆2未与刚性杆BD连接时，下端点位于D??，即DD????。
当杆2与刚性杆BD连接后，下端点铅垂位移至D?，同时，杆1的下端点则铅垂位移至C?。过C?作直线C’e垂直于杆1的轴线，显然Ce?Δl1，即代表杆1的弹性变形，同时，D?D???Δl2，即代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(1)b所示。
图3-29(1)
可以看出，
DD??2CC?
即变形协调条件为
??Δl2?2?2Δl1
而补充方程则为
??F2l4F1l??0 EAEA或
F2?4F1?EA??0 l2lΔT。
(2)解：如图3-29(2)a所示，当杆1未与刚性杆BD连接时，由于其温度升高，下端点位于C??，即CC????l当杆1与刚性杆BD连接后，下端点C铅垂位移至C?，而杆2的下端点D则铅垂位移至D?。过C?作直线C’e垂直于直线CC??，显然，eC???Δl1即代表杆1的弹性变形，同时，DD??Δl2，代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(2)b所示。
图3-29(2)
可以看出，
DD??2CC?
故变形协调条件为
30
Δl2?2?2?l2lΔT?Δl1??
而补充方程则为
?F2lF1?2l?? ?22??2lΔT?l??EAEA??或
F2?4F1?4EA?lΔT?0
3-30 图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为A，E与[?]，试确定该桁架的许用载荷[F]。为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计长度l变为l?Δ。试问当?为何值时许用载荷最大，其值[F]max为何。
题3-30图
解:此为一度静不定问题。
节点C处的受力及变形示如图3-30a和b。
图3-30
由图a得平衡方程为
F?N1?FN2， 2FN1cos30?FN3?F
(a)
由图b得变形协调条件为
Δl1?Δl3cos30?
(b)
依据胡克定律,有
Δli?FNiliEA (i?1,2,3) (c)
将式(c)代入式(b)，化简后得补充方程为
F4N3?3FN1
(b’)
将方程(b’)与方程(a)联解，得 F3N1?FN2?4?33F， F4N3?4?33F?FN1
ζFmax?N3A?4F(4?33)A?[ζ] 31
由此得
F?(4?33)[?]A(4?33)[?]A , [F]?44为了提高[F]值，可将杆3做长?，由图b得变形协调条件为
Δl3?Δ?Δl1cos30?
式中，?l3与?l1均为受载后的伸长，依题意，有了?后，应使三根杆同时达到[ζ]，即 由此得
[ζ]l[ζ]l4Δ?(?1)?3E3E[ζ]4[ζ]l?Δ?l E3E
此时，各杆的强度均充分发挥出来，故有
[F]max?2([?]Acos30?)?[?]A?(1?3)[?]A
第四章 扭 转
4-5 一受扭薄壁圆管，外径D = 42mm，内径d = 40mm，扭力偶矩M = 500N?m，切变模量G=75GPa。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力，并计算管表面纵线的倾斜角。 解：该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为
1DdDdR0?(?)?20.5mm， ????1mm
22222于是，该圆管横截面上的扭转切应力为
??T500N??1.894?108Pa?189.4MPa 2222πR0?2π?0.0205?0.001m依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为
η??η?189.4MPa
该圆管表面纵线的倾斜角为
η189.4?106???rad?2.53?10?3rad9G75?10
4-7 试证明，在线弹性范围内，且当R0/?≥10时，薄壁圆管的扭转切应力公式的最大误差不超过4.53%。 解：薄壁圆管的扭转切应力公式为
η?T22πR0δ
(a)
设R0/δ?β，按上述公式计算的扭转切应力为
η?TT?22πR0δ2πβ2δ3按照一般空心圆轴考虑，轴的内、外直径分别为 极惯性矩为 由此得
ηmax?T(2??1)TδT(R0?)?(2R??)? 02Ip2πR0?(4R0??2)π??3(4?2?1)d?2R0?δ， D?2R0?δ
Ip?πRδππ2(D4?d4)?[(2R0?δ)4?(2R0?δ)4]?0(4R0?δ2) 32322(b)
比较式(a)与式(b)，得
32
当??R0?10时，
?ηηmaxπ??3(4?2?1)4?2?1 ???T(2??1)2?(2??1)2π?2?3T
??max4?102?1??0.9548 2?10?(2?10?1)可见，当R0/δ?10时，按薄壁圆管的扭转切应力公式计算η的最大误差不超过4.53％。
4-8 图a所示受扭圆截面轴，材料的???曲线如图b所示，并可用??C?1/m表示，式中的C与m为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式，并画横截面上的切应力分布图。
题4-8图
解：所研究的轴是圆截面轴，平面假设仍然成立。据此，从几何方面可以得到
????d?dx (a)
根据题设，轴横截面上距圆心为ρ处的切应力为
由静力学可知，
ηρ?C(?d?1/m) dx(b)
?A??ρdA?C(d?1/m)?ρ(m?1)/mdA?T Adx(c)
取径向宽度为dρ的环形微面积作为dA，即
将式(d)代入式(c)，得 由此得
(d?1/m(3m?1)T)?ddx2πCm()(3m?1)/m2dA?2πρdρ
(d)
2πC(d?1/md/2(2m?1)/m)?ρdρ?T0dx
(e)
将式(e)代入式(b)，并注意到T=M ，最后得扭转切应力公式为
M?1/m???2πmd(3m?1)/m()3m?12
横截面上的切应力的径向分布图示如图4-8。
图4-8
4-9 在图a所示受扭圆截面轴内，用横截面ABC和DEF与径向纵截面ADFC切出单元体ABCDEF（图b）。试
33
绘各截面上的应力分布图，并说明该单元体是如何平衡的。
题4-9图
解：单元体ABCDEF各截面上的应力分布图如图4-9a所示。
图4-9
根据图a，不难算出截面AOO1D上分布内力的合力为
1?d4TlFx1?ηmax(l)?222πd
同理，得截面OCFO1上分布内力的合力为
方向示如图c。
设Fx与Fx作用线到x轴线的距离为ez，容易求出
121Fx2?4Tl2 πd
2ddez1???323
根据图b，可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为
Fz2??πd/2T00??π8Tcos(?θ)ρdρdθ? Ip23πd同理，左端面上的合力为
方向亦示如图c。
设Fz作用线到水平直径DF的距离为ey（见图b），由
2Fz1?8T 3πd 得
1Fz2ey?TIpd/232πcos(??)d??d??T?0?024π
ey?T3πd3πd???0.295d 48T32同理，Fz作用线到水平直径AC的距离也同此值。
根据图b，还可算出半个右端面DO1E上竖向分布内力的合力为
Fy3??π/2d/2Tρ0?0π4Tsin(?θ)ρdρdθ?Ip23πd
设Fy作用线到竖向半径O1E的距离为ez（见图b），由
32 34
得
Fy3ez2?d/23Tπ/22Tcos?d??d???0Ip?08
ez2?T3πd3πd???0.295d 84T32同理，可算出另半个右端面O1FE以及左端面AOB、OCB上的竖向分布内力的合力为
Fy4?Fy1?Fy2?4T3πd
2方向均示如图c。它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为ez。
由图c可以看得很清楚，该单元体在四对力的作用下处于平衡状态，这四对力构成四个力偶，显然，这是一个空间力偶系的平衡问题。
?Mx?0，Fy4?(2ez2)?Fz2?ey?Fy1?(2ez2)?Fz1?ey?TT??0 22?My?0，Fz?l?Fx1?(2ez1)?2?l?Fy3?l?48Tl8Tl??0 3πd3πd?Mz?0，Fy4Tl4Tl??0 3πd3πd既然是力偶系，力的平衡方程（共三个）自然满足，这是不言而喻的。 上述讨论中，所有的T在数值上均等于M。
4-11 如图所示，圆轴AB与套管CD用刚性突缘E焊接成一体，并在截面A承受扭力偶矩M作用。圆轴的直径d = 56mm，许用切应力[?1]=80MPa，套管的外径D = 80mm，壁厚?= 6mm，许用切应力[?2]= 40MPa。试求扭力偶矩M的许用值。
题4-11图
解：由题图知，圆轴与套管的扭矩均等于M。 1.由圆轴AB求M的许用值
由此得M的许用值为
πd3[?1]π?0.0563?80?106[M1]??N?m?2.76?103N?m?2.76kN?m
1616?max1?M116M1??[?1] Wp1πd32．由套管CD求M的许用值
R0?D??80?6?mm?37mm， δ?6mm?R010 22此管不是薄壁圆管。
由此得M的许用值为
35
???max2?80－6?268??0.85 8080M216M2??[?2] 34Wp2πD(1??)
πD3(1??4)[?2]π?0.0803?(1?0.854)?40?106[M2]??N?m 1616 ?1.922?103N?m?1.922kN?m可见，扭力偶矩M的许用值为
[M]?[M2]?1.922kN?m
4-13 图示阶梯形轴，由AB与BC两段等截面圆轴组成，并承受集度为m的均匀分布的扭力偶矩作用。为使轴的重量最轻，试确定AB与BC段的长度l1与l2以及直径d1与d2。已知轴总长为l，许用切应力为[?]。
题4-13图
解：1.轴的强度条件
在截面A处的扭矩最大，其值为
由该截面的扭转强度条件 得
d1?3Tmax1?ml
?max1?Tmax116ml??[η] Wp1πd1316mlπ[η] (a)
BC段上的最大扭矩在截面B处，其值为
由该截面的扭转强度条件得
2．最轻重量设计 轴的总体积为
Tmax2?ml2
d2?316ml2π[η]
16ml22/3ππ2π16ml2/3V?d12(l?l2)?d2l2?[()(l?l2)?()l2] 444π[η]π[η]根据极值条件
得 由此得 从而得
3l1?l?l2?[1?()3/2]l?0.535l
53l2?()3/2l?0.465l
5?(16ml2/316m2/352/3)?()?l2?0 π[?]π[?]3dV?0 dl2(b)
(c)
36
d2?(16m1/31/331/2316ml)?l2?()?0.775d1 π[?]5π[?](d)
该轴取式(a)~(d)所给尺寸，可使轴的体积最小，重量自然也最轻。
4-14 一圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向压缩载荷F = 1kN作用。设弹簧的平均直径D = 40mm，弹簧丝的直径d = 7mm，许用切应力[?]= 480MPa，试校核弹簧的强度。 解：由于
m?D40??5.71?10 d7故需考虑曲率的影响，此时，
8FD(4m＋2）8?1.00?103?0.040?(4?5.71?2)N?max?3?πd(4m?3)π?0.0073?(4?5.71?3)m2 ?3.72?108Pa?372MPa
结论：?max?[?]，该弹簧满足强度要求。
4-20 图示圆锥形薄壁轴AB，两端承受扭力偶矩M作用。设壁厚为?，横截面A与B的平均直径分别为dA与dB，轴长为l，切变模量为G。试证明截面A和B间的扭转角为
?A/B?2Ml（dA?dB)22πG?dAdB
题4-20图
证明：自左端A向右取坐标x，轴在x处的平均半径为 式中，
截面x的极惯性矩为 依据
d?T(x)4M??dxGIpGπ? (dA?cx)33Ip?2πR0d?dA11R0(x)?(dA?Bx)?(dA?cx)
2l2c?dB?dA l13πδ??2π? [(dA?cx)]?(dA?cx)3 24
得截面A和B间的扭转角为
4M?A/B?πG??
?2Ml112Ml(dA?dB)
?(2?2)?2πGδ (dB ?dA)dBdAπGδd2AdBd(dA?cx)?2M?2l?(d?cx)| 0A 0c(d?cx)3πGδcA l4-21 图示两端固定的圆截面轴，承受扭力偶矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度为已知常数。
37
题4-21图
(a)解：此为静不定轴，但有对称条件可以利用。
设A与B端的支反力偶矩分别为MA和MB，它们的转向与扭力偶矩M相反。由于左右对称，故知
MA?MB
由?Mx?0可得 MA?MB?2MA?2M
即
MA?MB?M
(b)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩MB，示如图4-21b。
图4-21b
变形协调条件为
?B?0
(a)
利用叠加法，得
?(2a)MB?MaMB(3a)GI?GI? (b)
ppGIp将式(b)代入式(a)，可得 M1B?3M
进而求得
M1A?3M（转向与MB相反）
(c)解：此为静不定轴，与(a)类似，利用左右对称条件，容易得到
MA?MB?ma2
MA和MB的转向与m相反。
(d)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩MB，从变形趋势不难判断，反。
变形协调条件为
?B?0
(c)
利用叠加法，得到（x从左端向右取）
38
MB的转向与m相
?B??B,m??B,MB?? am(a?x) 0GIpMB(2a)ma22MBadx???GIp2GIpGIp (d)
将式(d)代入式(c)，可得 进而求得
MA的转向亦与m相反。
MB?ma 4MA?ma?MB?3ma 44-22 图示轴，承受扭力偶矩M1=400N?m与M2=600N?m作用。已知许用切应力[?]=40MPa，单位长度的许用扭转角[?]=0.25(°) / m，切变模量G = 80GPa。试确定轴径。
题4-22图
解：1.内力分析
此为静不定轴，设B端支反力偶矩为MB，该轴的相当系统示如图4-22a。
图4-22
利用叠加法，得
?B?1GI[400?0.500?600?1.250?MB?2.500] p将其代入变形协调条件?B?0，得
?(600?1.250?400?0.500)N?m2MB2.500m?220N?m
该轴的扭矩图示如图4-22b。 2.由扭转强度条件求d 由扭矩图易见，
Tmax?380N?m
将其代入扭转强度条件， ?Tmax?maxW?16Tmax?[?] pπd3由此得
39
16Tmax316?380m3d???0.0364m?36.4mm 6π[?]π?40?1033.由扭转刚度条件求d 将最大扭矩值代入 得
d?4Tmax32Tmax??[?] GIpGπd432TmaxπG[?]?432?380?180m4?0.0577m?57.7mm
π?80?109?0.25π结论：最后确定该轴的直径d?57.7mm。
4-23 图示两端固定阶梯形圆轴AB，承受扭力偶矩M作用。已知许用切应力为[?]，为使轴的重量最轻，试确定轴径d1与d2。
题4-23图
解：1. 求解静不定
设A与B端的支反力偶矩分别为MA与MB，则轴的平衡方程为
?Mx?0, MA?MB?M?0
(a)
AC与CB段的扭矩分别为
代入式（a），得
T1?T2?M?0 T1?MA， T2??MB
(b)
设AC与CB段的扭转角分别为?AC与?CB，则变形协调条件为
?AC??CB?0
(c)
利用扭转角与扭矩间的物理关系，分别有
?AC?T1aGIp1， ?CB?2T2aGIp2
代入式（c），得补充方程为
?d?T1?2?1?T2?0
?d2?4(d)
最后，联立求解平衡方程（b）与补充方程（d），得
2d14MT1?4d2?2d144d2， T2??4M4d2?2d1 (e)
2. 最轻重量设计
从强度方面考虑，要使轴的重量最轻，应使AC与CB段的最大扭转切应力的数值相等，且当扭力偶矩M作用时，最大扭转切应力均等于许用切应力，即要求
40
由此得
将式（e）代入上式，得 并从而得
TT1?[?]， 2?[?] Wp1Wp2T1Wp1?d1?????T2Wp2?d2?3
d2?2d1
T1?M9， T2?? 8M
9 根据圆轴扭转强度条件，于是得轴的直径为
d1?d2316T1316M?? 2π[?]9π[?]4-24 图示二平行圆轴，通过刚性摇臂承受载荷F作用。已知载荷F=750N，轴1和轴2的直径分别为d1=12mm和d2=15mm，轴长均为l=500mm，摇臂长度a =300mm，切变模量G = 80GPa，试求轴端的扭转角。
题4-24图
解：这是一度静不定问题。 变形协调条件为
Δ1?Δ2 或 ?1??2
(a)
这里，??和??分别为刚性摇臂1和2在接触点处的竖向位移。 设二摇臂间的接触力为F2，则轴1和2承受的扭矩分别为
物理关系为
?1?T1lTl， ?2＝2GIp1GIp2aT1?F()?F2a， T2?F2a
2(b)
(c)
将式(c)代入式(a)，并注意到式(b),得 由此得
?2?T2l16Fal16?750?0.300?0.500m??4GIp2πG(d14?d2)π?80?109?(0.0124?0.0154)m4d2FF2?42(d14?d2)
?0.1004 rad?5.75??|?1|4-26 如图所示，圆轴AB与套管CD借刚性突缘E焊接成一体，并在突缘E承受扭力偶矩M作用。圆轴的
41
直径d=38mm，许用切应力[?1]=80MPa，切变模量G1=80GPa；套管的外径D = 76mm，壁厚?= 6mm，许用切应力[?2]= 40MPa，切变模量G2 = 40GPa。试求扭力偶矩M的许用值。
题4-26图
解：1. 解静不定
此为静不定问题。静力学关系和变形协调条件分别为 T1?T2?M
(a)
?1??2
(b)
物理关系为
?1?T1l1I， ?Tl2＝22G (c)
1p1G2Ip2将式(c)代入式(b)，并注意到 ??76?1276?0.8421， IπD44πd4p2?32(1??)， Ip1?32
得
G1Ip1l2GT2d424?384T1?2?4??4)?3T2?3?764(1?0.84214)T2?0.1676T2 (d)
2Ip2l1D(1将方程(a)与(d)联解，得
T2?0.856M， T1?0.144M
2．由圆轴的强度条件定M的许用值
?1max?T1W?16?0.144M?[p3?1] 1πd由此得扭力偶据的许用值为
[M]?πd3[?1]16?0.144?π?0.0383?80?106116?0.144N?m?5.99?103N?m?5.99kN?m
3.由套管的强度条件定M的许用值
?T2max?216?W?0.856MπD3(1??4)?[?2] p2由此得扭力偶据的许用值为 M]πD3(1??4)[?2]π?0.0763?(1?0.84214)?40?106[2?16?0.856?16?0.856N?m
?2.00?103N?m?2.00kN?m
结论：扭力偶矩的许用值为
[M]?[M]2?2.00kN?m
4-27 图示组合轴，由圆截面钢轴与铜圆管并借两端刚性平板连接成一体，并承受扭力偶矩 42
M=100N·m作
用。试校核其强度。设钢与铜的许用切应力分别为[?s]=80MPa与[?c]=20MPa，切变模量分别为Gs=80GPa与
Gc=40GPa，试校核组合轴强度。
题4-27图
解：1. 求解静不定
如图b所示，在钢轴与刚性平板交接处（即横截面B），假想地将组合轴切开，并设钢轴与铜管的扭矩分别为Ts与Tc，则由平衡方程?Mx?0可知，
Ts?Tc
(a)
两个未知扭力矩，一个平衡方程，故为一度静不定问题。 在横截面B处，钢轴与铜管的角位移相同，即
?s??c
(b)
设轴段AB的长度为l，则 ?s?TslG
sIps
?(M?Tc?c)lTl(M?2Tc)lG 2?cG ?
cIpccIpc22GcIpc将上述关系式代入式（b），并注意到Gs/Gc=2，得补充方程为
Ts(M?I?2Tc)(c)
psI pc联立求解平衡方程（a）与补充方程（c），于是得
TIpsMs?Tc?Ipc?2I (d)
ps2．强度校核 Iπ(0.020m)4ps?32?1.571?10?8m4
Ipc?π(0.040m)4?32??1???0.035m?4?0.040m??????1.040?10?7m4 将相关数据代入式（d），得
Ts?Tc?11.6N?m
对于钢轴，
?sW?16(11.6N?m)s,max?T0.020m)3?7.38?106Pa?7.38MPa?[?s] psπ( 43
对于铜管，
?c,max?Tc,maxWpc?16(100N?m?11.6N?m)?1.70?107Pa?17.0MPa?[?c] 4?0.035m??π(0.040m)3?1????????0.040m?4-28 将截面尺寸分别为?100mm×90mm与?90mm×80mm的两钢管相套合，并在内管两端施加扭力偶矩
M0=2kN·m后，将其两端与外管相焊接。试问在去掉扭力偶矩M0后，内、外管横截面上的最大扭转切应力。
解：1. 求解静不定
此为静不定问题。在内管两端施加M0后，产生的扭转角为
?0?M0lGIpi (a)
去掉M0后，有静力学关系
几何关系为
物理关系为
?i?TlTil， ?e?eGIpiGIpeTi?Te
(b)
?i??e??0
(c)
(d)
将式(d)和式(a)代入式(c)，得 或写成 由此得
Te?IpeIpi(M0?Ti)?1.395(M0?Ti) TeM0?Ti?IpeIpiTlMlTil?e?0GIpiGIpeGIpi
(e)
联立求解方程(e)与(b)，得
Ti?Te?0.5825M0?1.165kN?m
2. 计算最大扭转切应力
内、外管横截面上的最大扭转切应力分别为
?i,max?Ti16?1165N??2.17?107Pa?21.7MPa 342Wpiπ?0.090[1?(8/9)]m?e,max?Te16?1165N7??1.725?10Pa?17.25MPa Wpeπ?0.1003?(1?0.94)m24-29 图示二轴，用突缘与螺栓相连接，各螺栓的材料、直径相同，并均匀地排列在直径为D = 100mm的圆周上，突缘的厚度为?=10mm，轴所承受的扭力偶矩为M = 5.0kN·m，螺栓的许用切应力[?]=100MPa，许用挤压应力[?bs]=300MPa。试确定螺栓的直径d。
44
题4-29图
解：1. 求每个螺栓所受的剪力 由 得
Fs?M 3D 6Fs()?M ?Mx?0，2D 2.由螺栓的剪切强度条件求d 由此得
4M4?5.0?103m2d???1.457?10?2m?14.57mm 63πD[?]3π?0.100?100?10Fs4M??[?] A3πDd23.由螺栓的挤压强度条件求d 由此得
M5.0?103md???5.56?10?3m?5.56mm 63D?[?bs]3?0.100?0.010?300?10?bs?FbM??[?bs] ?d3D?d结论：最后确定螺栓的直径d?14.57mm。
4-30图示二轴，用突缘与螺栓相连接，其中六个螺栓均匀排列在直径为D1的圆周上，另外四个螺栓则均匀排列在直径为D2的圆周上。设扭力偶矩为M，各螺栓的材料相同、直径均为d，试计算螺栓剪切面上的切应力。
题4-30图
解：突缘刚度远大于螺栓刚度，因而可将突缘视为刚体。于是可以认为：螺栓i剪切面上的平均切应变
?i与该截面的形心至旋转中心O的距离ri 成正比，即
式中，k为比例常数。
利用剪切胡克定律，得螺栓i剪切面上的切应力为
而剪力则为
45
?i?kri
?i?Gkri
最后，根据平衡方程 得
k?FS,i?GAkri
?D1??4GAk?D2??MM?0, 6GAk?????O?2??2?22
2M8M? 22GA(3D12?2D2)Gπd2(3D12?2D2)于是得外圈与内圈螺栓剪切面上得切应力分别为
?1?4MD12πd2(3D12?2D2)4MD22πd2(3D12?2D2)
?2?4-31图a所示托架，承受铅垂载荷F=9kN作用。铆钉材料均相同，许用切应力[?]=140MPa，直径均为d=10mm。试校核铆钉的剪切强度。
题4-31图
解：由于铆钉均匀排列，而且直径相同，所以，铆钉群剪切面的形心C，位于铆钉2与铆钉3间的中点处（图
b）。将载荷平移至形心C，得集中力F与矩为Fl的附加力偶。
在通过形心C的集中力F作用下，各铆钉剪切面上的切应力相等，其值均为
???FF9?103N?2??2.87?107MPa 2?32πdπdπ(10?10m)44在附加力偶作用下，铆钉1与4剪切面上的切应力最大，其值均为
由图中可以看出， 所以，
πd2πIp?(2r12?2r22)?(10?10?3m)2(602?202)(10?3m)2?6.28?10?7m4
42????Flr1Ip (a)
r1?r4?60?10?3m， r2?r3?20?10?3m
代入式（a），得
(9?103N)(150?10?3m)(60?10?3m)?????1.289?108Pa ?746.28?10m 将上述两种切应力叠加，即得铆钉1与4的总切应力即最大切应力为
?max???2????2?(2.87?107Pa)2?(1.289?108Pa)2 ?1.32?10Pa?132MPa?[?]8
46
4-34 图示半椭圆形闭口薄壁杆，a=200mm，b=160mm，?1=3mm，?2= 4mm，T=6 kN·m，试求最大扭转切应力。
题4-34图
解：截面中心线所围面积为 由此得
Ω?π(0.200?0.0015?0.002)(0.160?0.0042)m?2.41?10?2m2 4Ω?π(a??1?2b??22?2)(4)
于是得最大扭转切应力为
6?103N?max???4.15?107Pa?41.5MPa ?222??min2?2.41?10?0.003mT4-35 一长度为l的薄壁管，两端承受矩为M的扭力偶作用。薄壁管的横截面如图所示，平均半径为R0，上、下半部由两种不同材料制成，切变模量分别为G1与G2，厚度分别为?1与?2，且?1
题4-35图
解：1. 扭转切应力计算
闭口薄壁管扭转切应力的一般公式为 现在
所以，最大扭转切应力为
2. 扭转变形计算
?max?M22πR0?12 Ω?πR0
??T2Ω?
?min??1
用相距dx的两个横截面，与夹角为d?的两个径向纵截面，从管的上部切取一微体，其应变能为
dVε1??122G1??1R0d?dx
由此得整个上半圆管的应变能为
47
Vε1?? l π 0 0?M2l ?1R0d?dx?32G18πG1R0?1?12同理得整个下半圆管的应变能为
根据能量守恒定律， 于是得
??Μl?11???? 3G?G?4πR0?1122?M?M2lM2l??3328πG1R0?18πG2R0?2M2lVε2?38πG2R0?2
4-36 图示三种截面形状的闭口薄壁杆，若截面中心线的长度、壁厚、杆长、材料以及所受扭矩均相同，试计算最大扭转切应力之比和扭转角之比。
题4-36图
解：由于三者中心线的长度相同，故有 2?(2b?b)?4a?πd 由此得
b?πdπd， a?64
据此可求得长方形、正方形及圆形薄壁截面的Ω，其值依次为 依据
?max?T2Ω?minπ2d2Ω1?2b?182
π2d2Ω2?a?162πd2Ω3＝4
可得三种截面薄壁杆的最大扭转切应力之比为 依据
??Tlds4GΩ2???矩max:?方max:?圆max?1.432 :1.273 :1
可得三种截面薄壁杆的扭转角之比为
?矩:?方:?圆?2.05 :1.621: 1
结果表明：在题设条件下，圆形截面薄壁杆的扭转强度及扭转刚度均最佳，正方形截面薄壁杆的次之，长
48
方形截面薄壁杆的最差。一般说来，在制造闭口薄壁杆时，应尽可能加大其中心线所围的面积Ω，这样对强度和刚度均有利。
4-37 图示闭口薄壁杆，承受扭力偶矩M作用，试计算扭力偶矩的许用值。已知许用切应力[?]=60MPa，单位长度的许用扭转角[?]=0.5(°) / m，切变模量G = 80GPa。若在杆上沿杆件母线开一槽，则许用扭力偶矩将减少至何值。
题4-37图
解：1.计算闭口薄壁杆扭力偶矩的许用值 由扭转强度条件 得
T?2Ω?min[?]?2?0.100?0.300?0.003?60?106N?m ?1.080?10N?m?10.80kN?m4?max?T?[?] 2Ω?min
由扭转刚度条件 得
4GΩ2[?]4?80?109?(0.100?0.300)2?8.727?10?3T??N?mds2?(0.300?0.100) ??0.003 ?9.43?103N?m?9.43kN?m??Tds?[?]
4GΩ2?δ
其中用到
比较可知，
[M]?9.43kN?m
[?]?0.5?πrad/m?8.727?10?3rad/m 1802.计算开口薄壁杆扭力偶矩的许用值 由扭转强度条件
?max?3Tδmaxn?[?]
?hi?i3i?1得
[?]?hi?i3i?1n
T?3?max60?106?[2?(0.300?0.100)?0.0033] ?N?m?144.0N?m
3?0.003由扭转刚度条件
??3TG?hi?i3i?1n?[?]
得
49
[?]G?hi?i3n
T? 38.727?10?3?80?109?[2?(0.300?0.100)?0.0033] ?N?m?5.03N?m3i?1比较可知，
[M]开?5.03N?m
第六章 弯曲应力
6-2 如图所示，直径为d、弹性模量为E的金属丝，环绕在直径为D的轮缘上，试求金属丝内的最大弯曲正应变、最大弯曲正应力与弯矩。
题6-2图
解：金属丝的曲率半径为
??D?d2
所以，金属丝的最大弯曲正应变为
最大弯曲正应力为
而弯矩则为
πd3EdEπd4M?Wz?max??
32D?d32(D?d)?max?ymaxd2d? ??2D?dD?d
?max?E?max?EdD?d
6-3 图示带传动装置，胶带的横截面为梯形，截面形心至上、下边缘的距离分别为y1与y2，材料的弹性模量为E。试求胶带内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。
题6-3图
解：由题图可见，胶带中性层的最小曲率半径为 依据
ζ?Eyρρmin?R1
可得胶带内的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力分别为
50