∴该四棱锥的侧面积： S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC ===6+2

．

+

+

+

【点评】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．

19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸： 抽取次序

1

2

3

4

5

6

7

8

零件尺寸 9.95 10.12 9.96 抽取次序

9

10

11

9.96 10.01 9.92 12

13

14

9.98 10.04 15

16

零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 =

xi=9.97，s=

=

≈0.212，

≈18.439，

（xi﹣）（i﹣8.5）=﹣2.78，其中xi为抽取的第i个

零件的尺寸，i=1，2，…，16．

（1）求（xi，i）（i=1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（﹣3s，+3s）之外的零件，就认

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为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

（ⅱ）在（﹣3s，+3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）

附：样本（xi，yi）（i=1，2，…，n）的相关系数r=，

≈0.09．

【分析】（1）代入数据计算，比较|r|与0.25的大小作出结论； （2）（i）计算合格零件尺寸范围，得出结论； （ii）代入公式计算即可．

【解答】解：（1）r===﹣0.18．

∵|r|＜0.25，∴可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．

（2）（i）=9.97，s=0.212，∴合格零件尺寸范围是（9.334，10.606）， 显然第13号零件尺寸不在此范围之内， ∴需要对当天的生产过程进行检查． （ii）剔除离群值后，剩下的数据平均值为

=16×0.2122+16×9.972=1591.134，

∴剔除离群值后样本方差为∴剔除离群值后样本标准差为

（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）=0.008，

≈0.09．

=10.02，

【点评】本题考查了相关系数的计算，样本均值与标准差的计算，属于中档题．

20．（12分）设A，B为曲线C：y=

上两点，A与B的横坐标之和为4．

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（1）求直线AB的斜率；

（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程． 【分析】（1）设A（x1，即可得到所求； （2）设M（m，

），求出y=

的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条），B（x2，

），运用直线的斜率公式，结合条件，

件：斜率相等，可得m，即有M的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得x1，x2的关系式，再由直线AB：y=x+t与y=

联立，运用韦达定理，

即可得到t的方程，解得t的值，即可得到所求直线方程． 【解答】解：（1）设A（x1，

），B（x2，

）为曲线C：y=

上两点，

则直线AB的斜率为k=

=（x1+x2）=×4=1；

，

（2）设直线AB的方程为y=x+t，代入曲线C：y=可得x2﹣4x﹣4t=0，即有x1+x2=4，x1x2=﹣4t， 再由y=

的导数为y′=x，

），可得M处切线的斜率为m，

设M（m，

由C在M处的切线与直线AB平行，可得m=1， 解得m=2，即M（2，1）， 由AM⊥BM可得，kAM?kBM=﹣1，

即为?=﹣1，

化为x1x2+2（x1+x2）+20=0， 即为﹣4t+8+20=0， 解得t=7．

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则直线AB的方程为y=x+7．

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．

21．（12分）已知函数f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性即可判断， （2）根据（1）的结论，分别求出函数的最小值，即可求出a的范围． 【解答】解：（1）f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x=e2x﹣exa﹣a2x， ∴f′（x）=2e2x﹣aex﹣a2=（2ex+a）（ex﹣a）， ①当a=0时，f′（x）＞0恒成立， ∴f（x）在R上单调递增，

②当a＞0时，2ex+a＞0，令f′（x）=0，解得x=lna， 当x＜lna时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减， 当x＞lna时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，

③当a＜0时，ex﹣a＜0，令f′（x）=0，解得x=ln（﹣）， 当x＜ln（﹣）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减， 当x＞ln（﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增， 综上所述，当a=0时，f（x）在R上单调递增，

当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增， 当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣））上单调递减，在（ln（﹣），+∞）上单调递增，

（2）①当a=0时，f（x）=e2x＞0恒成立，

②当a＞0时，由（1）可得f（x）min=f（lna）=﹣a2lna≥0， ∴lna≤0，∴0＜a≤1， ③当a＜0时，由（1）可得：

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