＝?5(x2?4x?2310101040．所以当x＝3时，S取得最大值，最大值为)＝?(x2?6x?5)＝?(x?3)2?333340．此时点E是抛物线的顶点（如图2）．（3）如果平行四边形OEBF是正方形，那么点E在OB的垂35直平分线上，且EO＝EB．当x＝
22235555此时E(,?)．如图3，设EF与OB交于点D，恰好OB＝2DE．所y?(x?1)(x?5)???(?)??．
3322222以△OEB是等腰直角三角形．所以平行四边形OEBF是正方形．
所以当平行四边形OEBF是正方形时，E(,?)、F(,)．
图1 图2 图3图4 图5
52525522考点伸展既然第（3）题正方形OEBF是存在的，命题人为什么不让探究矩形OEBF有几个呢？如图4，如果平行四边形OEBF为矩形，那
2?么∠OEB＝90°．根据EH＝HO·HB，列方程?或?(x?1)(x?5)?x(5?x)．??3??者由DE＝1OB＝5，根据DE2＝25，列方程
2242
2525?2?．这两个方程整理以后都是一元三次方程(x?)2???(x?1)(x?5)??24?3?24x3－28x2
＋53x－20＝0，这个方程对于初中毕业的水平是不好解的．事实上，这个方程可以因式分解，(x?4)(x?5)(x?1)?0．如图3，x＝5；如图4，x＝4；如图5，x222＝1，但此时点E在x轴上方了．这个方程我们也可以用待定系数法解：设方
2程的三个根是5、m、n，那么4x3－28x2＋53x－20＝4(x?5)(x?m)(x?n)．根据恒
22?4m?4n?10?28,?m?4,?等式对应项的系数相等，得方程组?10m?10n?4mn?53,解得??1 n?.??10mn?20.?2?例 25 2014年湖南省益阳市中考第20题
如图1，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝a(x－2)2＋k经过A、B两点，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．（1）求a，k的值；
（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标；
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A、C、M、N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．图文解析（1）由y＝－3x＋3，得A(1, 0)，B(0, 3)．
将A(1, 0)、B(0, 3)分别代入y＝a(x－2)＋k，得?2
?a?k?0,解得a＝1，k＝－1．
?4a?k?3.（2）如图2，抛物线的对称轴为直线x＝2，设点Q的坐标为(2, m)．
已知A(1, 0)、B(0, 3)，根据QA2＝QB2，列方程12＋m2＝22＋(m－3)2． 解得m＝2．所以Q(2, 2)．（3）点A(1, 0)关于直线x＝2的对称点为C(3,
0)，AC＝2．
如图3，如果AC为正方形的边，那么点M、N都不在抛物线或对称轴上． 如图4，当AC为正方形的对角线时，M、N中恰好有一个点是抛物线的顶点(2,－1) ．
因为对角线AC＝2，所以正方形的边长为2．
图1 图2 图3
图4
考点伸展如果把第（3）题中的正方形改为平行四边形，那么符合条件的点M有几个？
①如果AC为对角线，上面的正方形AMCN是符合条件的，M(2,－1)．
②如图5，如果AC为边，那么MN//AC，MN＝AC＝2．所以点M的横坐标为4或0．
此时点M的坐标为(4, 3)或(0, 3)．第（2）题如果没有限制等腰三角形ABQ的底边，那么符合条件的点Q有几个？①如图2，当QA＝QB时，Q(2, 2)．②如图6，当BQ＝BA＝10时，以B为圆心，BA为半径的圆与直线x＝2有两个交点． 根据BQ2＝10，列方程22＋(m－3)2＝10，得m?3?6．此时Q(2,3?6)或(2,3?6)．
③如图7，当AQ＝AB时，以A为圆心，AB为半径的圆与直线x＝2有两个交点，但是点(2,－3)与A、B三点共线，所以Q(2, 3)．
图5 图6 图7
例 26 2014年湖南省邵阳市中考第25题
准备一张矩形纸片（如图1），按如图2操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的点M，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的点N．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．
动感体验请打开几何画板文件名“14邵阳25”，拖动点D可以改变矩形ABCD的形状，可以体验到，当EM与FN在同一条直线上时，四边形BFDE是菱形，此时矩形的直角被三等分．思路点拨1．平行四边形的定义和4个判定定理都可以证明四边形BFDE是平行四边形．2．如果平行四边形BFDE是菱形，那么对角线平分一组对角，或者对角线互相垂直．用这两个性质都可以解答第（2）题．图文解析（1）如图3，因为AB//DC，所以∠ABD＝∠CDB．又因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠1＝∠3．所以BE//FD．又因为ED//BF，所以四边形BFDE是平行四边形．
图1 图2图3 图4图5 图6
（2）如图4，如果四边形BFDE是菱形，那么∠1＝∠5．所以∠1＝∠2＝∠5．
由于∠ABC＝90°，所以∠1＝∠2＝∠5＝30°．所以BD＝2AB＝4，AE＝
232383．所以ME＝．所以S菱形BFDE＝2S△BDE＝BD·ME＝． 333考点伸展第（1）题的解法，我们用平行四边形的定义作为判定的依据，两组对边分别平行的四边形叫平行四边形．还可以这样思考：证明四边形BFDE的两组对边分别相等；
证明ED与BF平行且相等；证明四边形BFDE的两组对角分别相等． 这三种证法，都要证明三角形全等，而全等的前提，要证明∠1＝∠2＝∠3＝∠4．
这样其实就走了弯路，因为由∠1＝∠3，直接得到BE//FD，根据平行四边形的定义来得快．
能不能根据BD与EF互相平分来证明呢？也是可以的：
如图5，设EF与BD交于点O，根据“角角边”证明△EMO≌△FNO，得到EF与MN互相平分．又因为BM＝DN，于是得到EF与BD互相平分．第（2）题的解法，我们用了菱形的性质：对角线平分每组对角，得到30°的角．我们也可以根据菱形的对角线互相垂直平分来解题：如图6，如果四边形BFDE是菱形，那么对角线EF⊥BD，此时垂足M、N重合．因此BD＝2DC．这样就得到了∠5＝30°．事实上，当四边形BFDE是菱形时，矩形ABCD被分割为6个全等的直角三角形．由AB＝2，得AD＝23．矩形ABCD的面积为43．菱形面积占矩形面积的，所以菱形面积为2383． 3§1．5 因动点产生的面积问题
课前导学面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：
第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根． 第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确． 如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．
图1 图2 图3图4 图5 图6
计算面积长用到的策略还有：如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图5，同底三角形的面积比等于高的比．如图6，同高三角形的面积比等于底的比．
例 32 湖南省常德市中考第25题
如图1，已知二次函数的图象过点O(0,0)、A(4，0)、B(2,?433)，M是OA的中
点．
（1）求此二次函数的解析式；（2）设P是抛物线上的一点，过P作x轴的平行线与抛物线交于另一点Q，要使四边形PQAM是菱形，求点P的坐标；（3）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得曲线OB′A（B′为B关于x轴的对称点），在原抛物线x轴的上方部分取一点C，连结CM，CM与翻折后的曲线OB′A交于点D，若△CDA的面积是△MDA面积的2倍，这样的点C是否存在？若存在求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
图文解析（1）因为抛物线与x轴交于O(0,0)、A(4，0)两点，设y＝ax(x－4)．
代入点B(2,?433)，得?433??4a．解得a?3．所以y?3x(x?4)． 33（2）如图2，由A(4，0)，M是OA的中点，可知OA＝4，MA＝2，M(2, 0)．
如果四边形PQAM是菱形，已知PQ//OA，首先要满足PQ＝2，再必须MP＝2． 因为抛物线的对称轴是直线x＝2，P、Q关于x＝2对称，所以点P的横坐标为1，故点P的坐标为(1,?3)．由M(2, 0)、P(1,?3)，可得MP＝2．所以当点
P的坐标为(1,?3)时，四边形PQAM是菱形．（3）如图3，作CE⊥x轴于E，作DF⊥x轴于F．
我们把面积进行两次转换：如果△CDA的面积是△MDA面积的2倍，那么△MCA的面积是△MDA面积的3倍．而△MCA与△MDA是同底三角形，所以高的比CE∶DF＝3∶1，即yC∶yD＝3∶1．因此ME∶MF＝3∶1．设MF＝m，那么ME＝3m．
原抛物线的解析式为
y??3x(x?4)． 3y?3x(x?4)3，所以翻折后的抛物线的解析式为
所以D(2?m,?33(2?m)(2?m?4))，C(2?3m,(2?3m)(2?3m?4))． 33根据yC∶yD＝3∶1，列方程整理，得3m2＝4．解得m??2所以点C的坐标为(2?23,?3?3(2?3m)(2?3m?4)?3??(2?m)(2?m?4)?． 3?3?33．所以2?3m?2?23．
83，或(2?23,83)（如图4）． )（如图3）
33图1 图2 图3 图4 考点伸展第（1）题可以设抛物线的顶点式：由点O(0,0), A(4，0)，B(2,?4的坐标，可知点B是抛物线的顶点．可设y?a(x?2)2?43333)
，代入点O(0,0)，得a?3． 3例 33 2014年湖南省永州市中考第25题
如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A(－1, 0)，B(4, 0)