绥化学院2013届本科生毕业论文
在非完全竞争市场，即垄断市场情况下才会发生的．根据曼昆的经济学原理，当一个垄断者增加一个单位产量时，他就必须降低对所销售的每一个单位产品收取的价格，而且，这种价格下降减少了他已卖出的各单位产品的收益，因此，垄断销售的边际收益小于其价格．
边际收益在经济学中的应用十分广泛，利用边际收益可以预测产品的收益，从而预算出获得最多利益所需要生产产品的数量，根据微分学原理所做的边际收益分析可以使利益达到最大化．
例2 已知某种产品的市场需求量为Q?关系为Q?12x?5，该产品的价格p与其需求量的25?500，试求该产品的边际收益． p12x?5，用Q表示p得 2解 由于该产品的需求量为Q?p?Q?500Q??100． 55因此，根据总收益公式可知
QQ2R(Q)?Q?p?Q??(Q)?Q?(?100)??100Q．
55根据(1.1)可知，边际收益为
Q22R?(Q)?[?100Q]??Q?100．
55 根据以上例题可知当销售量Q?250时，再多生产一个产品，总收益将增加；当销售量Q?250时，再多生产一个产品，总收益将减少；当销售量Q?250时，再多生产一个产品，总收益将不变．
1.3 导数在边际利润中的应用
边际利润是指产品的销售收入与相应的变动成本之间的差额．边际利润在经济学中的作用十分重要，其定义为
定义2 设利润函数L?L(Q)(Q为产量或销售量)，则L(Q)的导数L?(Q)即为边际利润，即
L?(Q)?lim?LL(Q??Q)?L(Q)?lim． (1.2)
?Q?0?Q?Q?0?Q4
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边际利润反映了利润对产量或销量的变化率，其经济意义为L?(Q)近似等于当产量或销售量为Q单位时，再多生产或销售一个单位产品时商品所增加(或减少)的利润．由于总利润等于总收入与总成本之差，即L(Q)?R(Q)?C(Q)，故
L?(Q)?R?(Q)?C?(Q)，
即边际利润等于边际收益与边际成本之差．
例3 某企业对产品进行分析后指出，总收入L(万元)与每月产量x(吨)(t)的函数关系为L(x)?400x?20x2，试确定当每月产量为5t、10t、15t时的边际利润．
解 根据(1.2)可知，边际成本为边际利润函数的导数，即表示产量为x单位时，总利润的变化率．依题可知：L?(x)?400?40x，则当x?5、10、15时，有
L?(5)?400?40?5?200； L?(10)?400?40?10?0；
L?(15)?400?40?15??200．
因此，由上述结果表明，当产量为每月5t时，再增加1t产品，产品的利润将增加200万元；当产量为10t时，再生产1t产品，产品的利润不变；当产量为每月15t时，再增加1t产品，产品的利润将减少200万元．
从以上例子中我们可以看出，当企业投资决策时，利用边际利润对将要投资的项目进行分析，可以避免盲目投资给企业带来的损失，使得企业在未来的发展中拥有更美好的前景．另外，若企业同时从事多种产品的加工生产，也可以通过边际利润进行分析，使得生产转向利润较大的产品，从而提高企业的经济效益．运用以微分理论支撑的边际分析知识对经济学中的问题进行分析，不仅可以减少企业损失、增加企业利润，还可以使得企业的资金流向更加合理，从而提高企业的经济效益．不仅利于企业本身的发展也为整个市场经济的运行提供了保障．
第2节 导数在弹性分析中的应用
在经济学中，与导数有着密切联系的另一个概念是弹性．弹性是定量描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度的函数．在经济学中，弹性主要用于对生产供给、需求问题的研究．弹性在数学中的严格定义为
定义3 设函数y?f(x)在点x?x0处可导，函数的改变量
?yf(x0??x)?f(x0)?y0f(x0)5
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与自变量的相对改变量
?x?0时，
?x之比，称为函数f(x)从x0到x0??x两点的相对变化率．当x0?yy0的极限，即f(x)在x?x0处的相对变化率，称为f(x)在点x0处的弹?xx0性，记作
EyEx
即
或
x?x0
Ef(xo)， Ex?yy0xEy?yx0?lim?lim??f?(x0)?0． Exx?x0?x?0?xx0?x?0?xy0f(x0)在经济学中，弹性的种类有很多，其中价格弹性是最常用的弹性概念之一．本节我们主要讨论需求弹性和供给弹性．
2.1 导数在需求弹性中的应用
需求弹性表示的是某种商品的需求量(因变量)对它的影响因素(自变量，如价格)变动的反应程度[3]．
影响商品需求的重要因素有很多，如价格、消费者的收入等，都是影响商品需求的重要因素，因此需求函数的种类也有很多，其中常用的有三种，即需求价格弹性、收入弹性、交叉弹性，下面主要介绍导数在需求价格弹性中的一些应用．
顾名思义，需求价格弹性指的是某商品的需求量对其价格变动的反应程度．它可以用价格系数来表示．需求弹性的数学定义为
定义4 设人们对某种商品的需求量为Q，其价格为p，则该商品的需求价格弹性为
Ep?pdQ?． (1.3) Qdp一般来说，市场对多数商品的需求量Q是其价格p的减函数，因此Ep一般为负，由
dQdp?Q?p?Ep，?Ep QpQp可知，当价格上升百分之一时，需求量减少百分之Ep．
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例1 设甲、乙两家公司同时生产同种产品，市场上对甲公司产品的需求函数为
Q甲?500?11p甲，对乙公司产品的需求函数为Q乙?200?p乙，两公司的销售价格分210别为p甲?500元，p乙?400元．求甲乙两公司的需求价格弹性，并说明其经济学意义．
解 由p甲?500，p乙?400，得
Q甲?500?Q乙?200?1?500?250， 21?400?160． 10从而市场上对该产品的饱和需求量为Q甲?Q乙?410．
根据导数与需求弹性的公式(1.3)可知，甲公司的需求弹性为E甲?dQ甲p甲???1，dp乙Q甲由于E甲?1，所以当p甲?500，该产品价格上涨1%时，需求量将下降1%．
乙公司的需求价格弹性E乙?dQ乙p乙11???，由于E乙??1，所以当p乙?400，
4dp乙Q乙4该产品价格上涨1%时，需求量将下降0.25%．
2.2 导数在供给弹性中的应用
供给弹性表示一定时期的一种商品的供给量的相对变动对于该商品的价格的相对变动的反应程度[4]．其中，供给弹性是用来表示商品供给量的变动率对于价格的变动率的反应程度的．若供给函数为Q?f(p)，则供给价格弹性记做Es，定义为
Es?pdQf?(p)??p?． (1.4) Qdpf(p)一般地，假设函数Q?f(p)是单调增加的，由于f?(p)?0，p?0，f(p)?0，所以供给价格弹性Es取正值，供给价格弹性简称供给弹性[5]．
例2 市场需求函数为Q需?12?p2，市场供给函数为Q供?p2?4，当市场达到均衡(需求量等于销售量)时，供给弹性是多少？
解 由于供给弹性是供给函数的导数，根据(1.4)及已知条件可知Q供?p2?4，因此，供给弹性为
Es?(p2?4)??2p．
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