x2（15）（本题满分9分）求极限lim2?1?1?xx22x?0?cosx?e?sinx18x，cosx?1?142

解：x?0时，1?x?1?x22x22?122x，ex2?1?x

2所以lim2?1?1?xx22x?0?cosx?e?sinx2?limx?0(?832x2??x)x22112

（16）（本题满分10分）在抛物线y?x2,(0?x?8)上求一点，使得该点的切线与直线y?0与x?8所围

成的三角形面积最大。

解：过抛物线上一点(a,a2)的切线斜率为(x2)'|x?a?2a，于是切线方程为y?a2?2a(x?a)。将y?0代

a22入直线方程得直线与y?0交点的横坐标，类似得到直线与x?8交点的纵坐标16a?a。

于是三角形面积S?12(8?a2)(16a?a)?64a?8a?22a34

先找极值点。S'?0解得a?163，代入得S(163)?151.7

再找端点。S(0)?0,S(8)?128。于是使得三角形面积最大的点为(16256,)39

（17）（本题满分12分）设函数f?x?在闭区间?a,b?上连续，在开区间?a,b?内可导，且f??x??0，若极限limx?af?2x?a??x?a存在，证明：

（1）在?a,b?内f?x??0； （2）在?a,b?内存在?，使

b?aba22?f?x?dx?2?f???；

（3）在?a,b?内存在与（2）中?相异的点?，使

22 f?????b?a??2??f?x?dx??aab

证明：（1）因为limx?af?2x?a??x?a存在，故limf?2x?a??0，由f?x?在?a,b?上连续，从而f?a??0。又

x?a?

f??x??0知f?x?在?a,b?内单调增加，故

f?x??f?a??0,x??a,b? （2）设F?x??x，g?x??2?f?t?dt?a?x?b?

ax 则g??x??f?x??0，故F?x?，g?x?满足柯西中值定理的条件，于是在?a,b?内存在点?，使

F?b??F?a?g?b??g?a??b?abaa22a?f?t?dt??f?t?dt

??x??2?xf?t?dt?????a??x??，

即

b?aba22?f?x?dx?2?f???

（3）因f????f????0?f????f?a?，在?a,??上应用拉格朗日中值定理，知在?a,??内存在一点?，使f????f???????a?，从而由（2）的结论得

b?aba22?f?x?dx?2?f???????a?，

即有 f?????b2?a2??（18）（本题满分10） 设S为椭球面

x22??f?x?dx??aab。

2?y22?z2?1的上半部分，点P?x,y,z??S，?为S在点P处的切平面，??x,y,z?为

原点到?的距离，求??Sz??x,y,z?dS

解：先求出??x,y,z?，设?X,Y,Z?为?上任一点，则?的方程为 x?X?x??y?Y?y??2z?Z?z??0 即

x2X?y2Y?zZ?1?0

0?0?0?1?x??y?2??????z?2??2?22 ??x,y,z???1124?x?y22

由S的方程z?1???x2y2??2?2??，于是

??2 ds?1????z???z?222?4?x?y??x???????y?d??d?

?221??2?xy????2?2?? 这样??z22S??x,y,z?dS?14???4?x?y?d?

D 区域D:x2?y2??2?2

所以 原式?124?2?d???4?r20?rdr30?2?

（19）（本题满分11分）设幂级数在负无穷到正无穷内收敛，其和函数y(x)幂级数为?annxy???2xy??4y?0,y(0)?0,y?(0)?1

（1） 证明：a2ann?2?，n?1n?1,2.3,......

（2） 求y(x)的表达式

??解:(1)由y(x)??a?1nxn,得y?(x)??nanxn,

n?0n?1??y??(x)??n(n?1)an?2nx??(n?2)(n?1)ann?2x n?2n?0代入y???2xy??4y?0,得

????(n?2)(n?1)axn?2x?nan?1nn?2nx?4?anx?0

n?0n?1n?0比较xn的系数可得(n?2)(n?1)an?2?2nan?4an?0 化简即得an?2?2ann?1,n?1,2,3,......

(2)又由y(0)?0,y?(0)?1,可得到a0?0,a1?1

，且和函数

n是奇?0??所以an??1 ,n是偶?(n?1)!??2因此 y(x)?x?x?3x52!?x73!?...?x2n?1n!?...?x(1?x?2x42!?x63!?...?x2nn!?...)?xex2

（20）（本题满分11分）设A?(aij)3?3是实矩阵，满足：

（1）(aij)?(Aij)(i,j?1,2,3)，其中Aij为元素aij的代数余子式； （2）a33??1； （3）A?1

?0???求非齐次线性方程组Ax??0?的解

?1???解：因为(aij)?(Aij)(i,j?1,2,3)，所以有AT?A?， 又A?a31A31?a32A32?a33A33?a31?a32?a33

22即1?a31?a32?1，于是a31?a32?0

222?0???根据A可逆知Ax??0?有唯一解，且

?1????0??0??0??a111???????1?T?x?A0?A0?A0?a21???????A?1??1??1??a???????31a12a22a32a12??0??a31????a230?a32???????a33???1??a33??0?????0 ??????1????（21）（本题满分10）

设有n元实二次型，

f?x1,x2,...,xn???x1?a1x2?2??x2?a2x3??...??xn?1?an?1xn???xn?anx1?，

222其中ai(i?1,2,...,n)为实数。试问：当a1,a2,...,an满足何种条件时，二次型f?x1,x2,...,xn?为正定二次型。 解：由二次型的形式,我们可以作代换