函数的奇偶性和周期性 一、选择题
1．下列函数中，不具有奇偶性的函数是( )
1＋xx－xA．y＝e－e B．y＝lg
1－xC．y＝cos2x D．y＝sinx＋cosx 答案 D
2．(2011·山东临沂)设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) A．f(x)f(－x)是奇函数 B．f(x)|f(－x)|是奇函数 C．f(x)－f(－x)是偶函数 D．f(x)＋f(－x)是偶函数 答案 D
3．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于( ) A．－x(1－x) B．x(1－x) C．－x(1＋x) D．x(1＋x) 答案 B
解析 当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．
232
4．若f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax＋bx＋cx是( ) A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 答案 A
3
解析 由f(x)是偶函数知b＝0，∴g(x)＝ax＋cx是奇函数．
x5．(2010·山东卷)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )
A．3 B．1 C．－1 D．－3 答案 D
－x解析 令x≤0，则－x≥0，所以f(－x)＝2－2x＋b，又因为f(x)在R上是奇函数，
－x所以f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0，即b＝－1，f(x)＝－2＋2x＋1，所以f(－1)＝－2－2＋1＝－3，故选D.
6．(2011·北京海淀区)定义在R上的函数f(x)为奇函数，且f(x＋5)＝f(x)，若f(2)>1，f(3)＝a，则( )
A．a<－3 B．a>3 C．a<－1 D．a>1 答案 C
解析 ∵f(x＋5)＝f(x)，∴f(3)＝f(－2＋5)＝f(－2)，又∵f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，又f(2)>1，∴a<－1，选择C.
3
7．(2010·新课标全国卷)设偶函数f(x)满足f(x)＝x－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( )
A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4} C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2} 答案 B
解析 当x<0时，－x>0，
33
∴f(－x)＝(－x)－8＝－x－8， 又f(x)是偶函数，
3
∴f(x)＝f(－x)＝－x－8，
3??x－8，x≥0
∴f(x)＝?. 3
?－x－8，x<0?
5
??x－2－8，x≥0
∴f(x－2)＝?3
?－x－2－8，x<0???x≥0
???x－23
，
，
－8>0x－23－8>0
解得x>4或x<0.故选B. 二、填空题
8．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝________. 答案 －1
2
解析 f(x)＝x＋(a＋1)x＋a.
∵f(x)为偶函数，∴a＋1＝0，∴a＝－1.
53
9．设f(x)＝ax＋bx＋cx＋7(其中a，b，c为常数，x∈R)，若f(－2011)＝－17，则f(2011)＝________.
答案 31
53
解析 f(2011)＝a·2011＋b·2011＋c·2011＋7 f(－2011)＝a(－2011)5＋b(－2011)3＋c(－2011)＋7 ∴f(2011)＋f(－2011)＝14，∴f(2011)＝14＋17＝31.
3
10．函数f(x)＝x＋sinx＋1的图象关于________点对称． 答案(0,1)
3
解析 f(x)的图象是由y＝x＋sin x的图象向上平移一个单位得到的．
11．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，总有f(x＋2)＝－f(x)成立，则f(19)＝________.
答案 0
解析 依题意得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的函数，因此有f(19)＝f(4×5－1)＝f(－1)＝f(1)，且f(－1＋2)＝－f(－1)，即f(1)＝－f(1)，f(1)＝0，因此f(19)＝0.
12．定义在(－∞，＋∞)上的函数y＝f(x)在(－∞，2)上是增函数，且函数y＝f(x＋
1
2)为偶函数，则f(－1)，f(4)，f(5)的大小关系是__________．
2
1
答案 f(5) 2 解析 ∵y＝f(x＋2)为偶函数 ∴y＝f(x)关于x＝2对称 又y＝f(x)在(－∞，2)上为增函数 ∴y＝f(x)在(2，＋∞)上为减函数，而f(－1)＝f(5) 1 ∴f(5)＜f(－1)＜f(4)． 2 13．(2011·山东潍坊)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断： ①f(x)是周期函数； ②f(x)关于直线x＝1对称； ③f(x)在[0,1]上是增函数； ④f(x)在[1,2]上是减函数； ⑤f(2)＝f(0)， 其中正确的序号是________． 答案 ①②⑤ 解析 由f(x＋1)＝－f(x)得 f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)， ∴f(x)是周期为2的函数，①正确， f(x)关于直线x＝1对称，②正确， 3 ??x<0或???－ 6 f(x)为偶函数，在[－1,0]上是增函数， ∴f(x)在[0,1]上是减函数，[1,2]上为增函数，f(2)＝f(0)．因此③、④错误，⑤正确．综 上，①②⑤正确． 三、解答题 2 14．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x＋x－2，求f(x)、g(x)的解析式． 2 答案 f(x)＝x－2，g(x)＝x 2 解析 ∵f(x)＋g(x)＝x＋x－2.① 2 ∴f(－x)＋g(－x)＝(－x)＋(－x)－2. 又∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数， 2 ∴f(x)－g(x)＝x－x－2.② 2 由①②解得f(x)＝x－2，g(x)＝x. 15．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数f(x)在[0,1)上单调递减，并满足f(2－x)＝f(x)，若方程f(x)＝－1在[0,1)上有实数根，求该方程在区间[－1,3]上的所有实根之和． 答案 2 解析 由f(2－x)＝f(x)可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又因为函数f(x)是奇函数，则f(x)在(－1,1)上单调递减，根据函数f(x)的单调性，方程f(x)＝－1在(－1,1)上有唯一的实根，根据函数f(x)的对称性，方程f(x)＝－1在(1,3)上有唯一的实根，这两个实根关于直线x＝1对称，故两根之和等于2. x－2＋b16．已知定义域为R的函数f(x)＝x＋1是奇函数． 2＋a(Ⅰ)求a，b的值； 22 (Ⅱ)若对任意的t∈R，不等式f(t－2t)＋f(2t－k)<0恒成立，求k的取值范围． 1 答案 (1)a＝2，b＝1 (2)k<－ 3 b－1 解析 (Ⅰ)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即＝0?b＝1 a＋2 x1－2 ∴f(x)＝ a＋2x＋1 11－21－2 又由f(1)＝－f(－1)知＝－?a＝2. a＋4a＋1 x1－2 (Ⅱ)解法一 由(Ⅰ)知f(x)＝易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)x＋1， 2＋222 是奇函数，从而不等式：f(t－2t)＋f(2t－k)<0 222 等价于f(t－2t)<－f(2t－k)＝f(k－2t)，因f(x)为减函数，由上式推得： t2－2t>k－2t2.即对一切t∈R有：3t2－2t－k>0， 1 从而判别式Δ＝4＋12k<0?k<－ 3x1－2 解法二 由(Ⅰ)知f(x)＝x＋1.又由题设条件得： 2＋2 22 1－2t－2t1－22t－k＋<0， 22 2＋2t－2t＋12＋22t－k＋1 2222 即：(22t－k＋1＋2)(1－2t－2t)＋(2t－2t＋1＋2)(1－22t－k)<0， 22 整理得23t－2t－k>1，因底数2>1，故：3t－2t－k>0 1 上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0?k<－ 3 7 1．(2010·上海春季高考)已知函数f(x)＝ax＋2x是奇函数，则实数a＝________. 答案 0 x－x2．(2010·江苏卷)设函数f(x)＝x(e＋ae)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________． 答案 －1 x－x解析 令g(x)＝x，h(x)＝e＋ae，因为函数g(x)＝x是奇函数，则由题意知，函数h(x)＝ex＋ae－x为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，∴h(0)＝0，解得a＝－1. 3．(2011·《高考调研》原创题)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且{x|f(x)＞0}＝{x|1＜x＜3}，则f(π)＋f(－2)与0的大小关系是( ) A．f(π)＋f(－2)＞0 B．f(π)＋f(－2)＝0 C．f(π)＋f(－2)＜0 D．不确定 答案 C 解析 由已知得f(π)<0，f(－2)＝－f(2)＜0，因此f(π)＋f(－2)＜0. 4．如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是( ) A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5 C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5 答案 B 解析 先考查函数f(x)在[－7，－3]上的最值，由已知，当3≤x≤7时，f(x)≥5，则当－7≤x≤－3时，f(－x)＝－f(x)≤－5即f(x)在[－7，－3]上最大值为－5.再考查函数f(x)在[－7，－3]上的单调性，设－7≤x1 5．(08·全国卷Ⅰ)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式fx－f－x<0的解集为________． 2 x答案 (－1,0)∪(0,1) 解析 由f(x)为奇函数，则不等式化为xf(x)<0 法一：(图象法)由，可得－1 12 法二：(特值法)取f(x)＝x－，则x－1<0且x≠0，解得－1 x??1 6．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)＝? ?－1 ? －1 ， 则f(3)＝________. 解析 ∵f(x＋1)＝－f(x)，则f(x)＝－f(x＋1)＝－[－f(x＋2)]＝f(x＋2)，则f(x)的周期为2，f(3)＝f(1)＝－1. 1＋x7．(2011·深圳)设f(x)＝，又记f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1,2，…， 1－x则f2011(x)＝( ) 1 A．－ B．x xC. x－11＋x D. x＋11－x答案 C 1＋x11x－1x－1解析 由题得f2(x)＝f()＝－，f3(x)＝f(－)＝，f4(x)＝f()＝x，f5(x) 1－xxxx＋1x＋1 1＋xx－1＝＝f1(x)，其周期为4，所以f2011(x)＝f3(x)＝. 1－xx＋1 8