数学试卷

y2故存在m?2，使得在其对应的椭圆x??1上，对任意的k?0，

2都有PQ?PH.

y y y H A H N P NPM 2O D x Q O x O Q x

图1

图2 (0?m?1) 第21题解答图

图3 (m?1)

解法2：如图2、3，?x1?(0,1)，设P(x1,y1)，H(x2,y2)，则Q(?x1,?y1)， N(0,y1)，

2222??mx1?y1?m,因为P，H两点在椭圆C上，所以?22 两式相减可得 22??mx2?y2?m,m2(x12?x22)?(y12?y22)?0. ③

依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合， 故(x1?x2)(x1?x2)?0. 于是由③式可得

(y1?y2)(y1?y2)??m2. ④

(x1?x2)(x1?x2)又Q，N，H三点共线，所以kQN?kQH，即于是由④式可得kPQ?kPH2y1y1?y2. ?x1x1?x2y1y1?y21(y1?y2)(y1?y2)m2??????. x1x1?x22(x1?x2)(x1?x2)2而PQ?PH等价于kPQ?kPHm2??1，即???1，又m?0，得m?2，

22y2故存在m?2，使得在其对应的椭圆x??1上，对任意的k?0，都有

2PQ?PH.

【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.

32.【2019高考全国文22】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知抛物线C:y?(x?1)与圆M:(x?1)?(y?)?r(r?0)有一个公共点A，且在点A处两曲线的切线为同一直线l. （Ⅰ）求r；

221222数学试卷

（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离。

【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，并在此基础上求解点到直线的距离。

22解：（1）设A(x0,(x0?1))，对y?x?(x?1)求导得y??2(x?1)，故直线l的斜率

k?2(x0?1)，当x0?1时，不合题意，所心x0?1

圆心为M(1,)，MA的斜率k??12(x0?1)2?x0?112

12??1，解得x?0，故A(0,1)

0由l?MA知kk???1，即2(x0?1)?(x0?1)2?x0?1所以r?|MA|?15(1?0)2?(?1)2? 2221))2为C上一点，则在该点处的切线方程为y?(a?1)?2(a?1)(x?a)即（2）设(a,(a?y?2(a?1)x?a2?1

若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为

5，即21|2(a?1)?1??a2?1|5222，化简可得a(a?4a?6)?0 ?2[2(a?1)]2?(?1)2求解可得a0?0,a1?2?10,a2?2?10 2抛物线C在点(ai,(ai?1))(i?0,1,2)处的切线分别为l,m,n，其方程分别为

y?2x?1① y?2(a1?1)x?a12?1② y?2(a2?1)x?a22?1③

②－③得x?a1?a2?2，将x?2代入②得y??1，故D(2,?1) 2|2?2?(?1)?1|22?(?1)2?65。 5所以D到直线l的距离为d?【点评】该试题出题的角度不同于平常，因为涉及的是两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来，是该试题的创新处。另外对于在第二问中更是难度加大了，出现了另外的两条公共的切线，这样的问题对于我们

数学试卷

以后的学习也是一个需要练习的方向。 33.【2019高考辽宁文20】(本小题满分12分)

222如图，动圆C1:x?y?t,1

x22与椭圆C2：?y?1相交于A，B，C，D四点，点A1,A29分别为C2的左，右顶点。

(Ⅰ)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并

求出其最大面积；

(Ⅱ)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程。

【命题意图】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大。 【解析】(Ⅰ)设A(x0，y0)，则矩形ABCD的面积S=4|x0|y0|，

22x0x022?y0?1得，y0?1?， 由99212929x0∴xy=x(1?)=?(x0?)?，

9924202020当x0?2912，y0?时，Smax=6， 22∴t=5时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6. ……6分 (Ⅱ) 设A?x1,y1?,B?x1,-y1?，又知A1?-3,0?,A2?3,0?，则 直线A1A的方程为 y=直线A2B的方程为

2y1?x+3? ① x1+3-yy=1?x-3? ②

x1-3-y1222由①②得 y=22?x-3? ③

x1-3x12x12?2?由点A?x1,y1?在椭圆C0上，故可得2+y1=1，从而有y1=?1-2?，代入③得 3?3?x22-y=1?x<-3,y<0? 9数学试卷

x22-y=1?x<-3,y<0? ……12分 ∴直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程为9【解析】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大。 34.【2019高考江西文20】（本小题满分13分） 已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x,y）满足

（1）求曲线C的方程；

（2）点Q（x0,y0）(-2

22代入式子可得4x?4(1?y)?2y?2整理得x?4y 22x0x0（2）设Q(x0,)；则S?QAB?2(1?)，kl?y?442x?x0?x0 2222x0x0x0x0?(x?x0)交y轴于点M(0,?)?PM?1? 得：l:y?42442x0x?0(x?x0)联立： lPA:x?y?1?0,lPB:x?y?1?0与l:y?42 可求xD?x0?2x?2,xE?0?xD?xE?2 222x01?S?PDE??xD?xE?PM?1? 24

?SQAB:S?PDE?2

35.【2019高考四川文21】(本小题满分12分)

如图，动点M与两定点A(?1,0)、B(1,0)构成?MAB，且直线MA、MB的斜率之积

yMA为4，设动点M的轨迹为C。（Ⅰ）求轨迹C的方程；

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