量 子 力 学 习 题
第一章 绪论
1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长?m与温度T成反比，即 ?mT=b(常量）；
并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。
1.2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。 1.3 氦原子的动能是E=3kT/2（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。
1.4 利用玻尔－索末菲的量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量；
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
已知外磁场H=10特斯拉，玻尔磁子MB=9×10-24焦耳/特斯拉，试计算动能的量子化间隔?E，并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？
第二章 波函数和薛定谔方程
2.1 由下列两定态波函数计算几率流密度： (1) ?1=eikr/r, (2) ?2=e-ikr/r.
从所得结果说明?1表示向外传播的球面波，?2表示向内（即向原点）传播的球面波。
2.2 一粒子在一维势场
??,?U(x)??0,??,?x?00?x?ax?a
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
2.3 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。 2.4 一粒子在一维势阱
?U0?0,U(x)???0,x?ax?a
2中运动，求束缚态(0 2.5 对于一维无限深势阱(0 力学结果比较。 2.6 粒子在势场 ??,?V(x)???V0,?0,?x?00?x?aa?x 中运动，求存在束缚态(E<0)的条件(?，m，a，V0关系)以及能级方程。 1 2.7 求二维各向同性谐振子[V=2k(x2+y2)]的能级，并讨论各能级的简并度。 2.8 粒子束以动能E=?k222m从左方入射，遇势垒 x?0x?0 ?0,V(x)???V0,求反射系数、透射系数。E ???H?22d222mRd?， ?为旋转角。求能级(En)及归一化本征波函数?n(?)，讨论各能级的简并度。 第三章 基本原理 ?(x)??1e??x222i??t2 3.1 一维谐振子处在基态 U?122?22，求： (1) 势能的平均值 ??x； 2?； (2) 动能的平均值 (3) 动量的几率分布函数。 3.2 设t=0时，粒子的状态为 1T?p2?(x)=A[sin2kx+2coskx]， 求此时粒子的平均动量和平均动能。 3.3 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数 ?(x)=Ax(a-x) 描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。 3.4 证明：如归一化的波函数?(x)是实函数，则 ??，?无关），则 3.5 计算对易式[x, Ly]，[pz, Lx]，并写出类似的下标轮换式(x?y, y?z, z?x)。 3.6 证明算符关系 ?????r?L?L?r?2i?r?????p?L?L?p?2i?p 3.7 设F为非厄米算符(F+?F)，证明F可以表示成A+iB的形式，A、B为厄米算符。求A、B与F、F+之关系。 1 3.8 一维谐振子(V1=2kx2)处于基态。设势场突然变成V2=kx2，即弹性力增大一倍。求粒子在V2场中的能级以及此粒子在新势场的基态中出现的几率。 3.9 有线性算符L、M、K，[L, M]=1，K=LM。K的本征函数、本征值记为?n、?n (n=1, 2, ...)。证明：如函数M?n及 L?n 存在，则它们也是K的本征函数，本征值为(?n?1)。 3.10 证明：如H= ?2?p/2m+V(r)， 则对于任何束缚态<>=0。 ?2p/2m-q?x。设 ?p 3.11 粒子在均匀电场中运动，已知H=求x(t)，px(t)。 3.12 ?B粒子在均匀磁场?pt=0时x=0，px=p0， =(0, 0, B)中运动，已知H= ?p时< ?2p/2m ??Lz，?=qB/2mc。 设t=0时< >=(p0, 0, 0)，求t>0 ?>。 3.13 粒子在势场V(r)中运动，V与粒子质量m无关。证明：如m增大，则束缚态能级下降。 第四章 中心力场 4.1 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 Jer=Je?=0, e?mJe?= ??rsin??nlm2。 4.2 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1) 求一圆周电流的磁矩。 (2) 证明氢原子磁矩为 ??????????me?2?me?(SI)(CGS)M?Mz2?c 原子磁矩与角动量之比为 e????2???e????2?c MLzz(SI)(CGS) 这个比值，称为回转磁比率。 4.3 设氢原子处于状态 ?(r,?,?)?12R21(r)Y10(?,?)?32R21(r)Y1?1(?,?), 求氢原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 4.4 利用测不准关系估计氢原子的基态能量。 4.5 对于类氢离子的基态?100，求概然半径（最可几半径）及r,r2。 4.6 对于类氢离子的?nlm态，证明 1 4.7 对于类氢离子的基态?100，计算?x, ?px，验证不确定关系 ?x??px??2。 4.8 单价原子中价电子（最外层电子）所受原子实（原子核及内层电子）的库仑作用势可以近似表示成 V(r)??e2r??ea0r22,0????1 试求价电子能级。与氢原子能级比较，列出主量子数n的修正数公式。[提示： 22将V(r)中第二项与离心势合并，记成l?(l??1)?/2?r，计算(l??l)之值，...]。 第五章 表象理论 ?的本征态矢，?与 5.1 设??n>，??k>是厄米算符H相应于不同的本征值。算符F?H对易。证明=0。 5.2 质量为?的粒子在势场V(x)中作一维运动，设能级是离散的。证明能量表象中求和规则 ?(Enn?Ek)nei?xk2???222? (?为实数)。 5.3 对于一维谐振子的能量本征态?n>，利用升、降算符计算 ?? 5.4 设J为角动量，n为常矢量，证明 ?????[J,n·J]=i?n×J ??2jmJJ 5.5 对于角动量的态（, Jz共同本征态），计算Jx、Jy、Jx2、Jy2等平 均值，以及?Jx、?Jy。 5.6 ?设n（单位矢量）与 ?z轴的夹角为?，对于角动量J的jm态，计算 ??（即n·J的平均值）。 5.7 以 11,10,lm表示 1?1?2L，Lz共同本征态矢。在l=1子空间中，取基矢为 Lx及Ly的矩阵表示（3阶），并 , ?2建立L，Lz表象。试写出 求其本征值及本征态矢（取?=1）。 *5.8 对于谐振子相干态?(a?=??, ?为实数)，计算n，?n，E，?E， x，?x，p，?p。 第六章 微扰理论 6.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0，电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 6.2 转动惯量为I、电偶极矩为D的空间转子在均匀电场?中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。 ?'的 6.3 设一体系未受微扰作用时只有两个能级E01及E02，现在受到微扰H 作用。微扰矩阵元为H’12=H’21=a, H’11=H’22=b; a, b都是实数。用微扰公式求能 量至二级修正值。 6.4 一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场?作用，设电场沿正x方向： (1) 用微扰法求能量至二级修正； (2) 求能量的准确值，并和(1)所得结果比较。 6.5 设在t=0时，氢原子处于基态，以后由于受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为?sin?t，?及?均为常量；电离后电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻t跃迁到电离态的几率。 6.6 基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即 ??0,t???????e,?0t?0;t?0???0? 求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。 6.7 计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。 6.8 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。 6.9 粒子（质量?）在无限深势阱0 (a) 求跃迁选择定律(?n??n’，n’?n=?)； (b) 利用定态微扰论，求能级En的一级修正。 1 6.10 用变分法求氢原子(V=?e2/r) 或三维各向同性谐振子(V=2??2r2)的基态能量近似值（二者选一）。 (a) 取试探波函数为?(?, r)=Aexp(??r); (b) 取试探波函数为?(?, r)=Bexp(??2r2)。 6.11 质量为?的粒子在势场V(x)=kx4 (k>0)中作一维运动。试用变分法求基态能量近似值。建议取试探波函数?(?, r)=Aexp(??2r2)。 6.12 某量子力学体系处于基态?1(x)。t>0后受到微扰作用，H’(x,t)=F(x)e?t/?，试证明：长时间后(t???)该体系处于激发态?n(x)的几率为 Fn1/[(En?E1)??/?]2222 第七章 自旋 ??? 7.1 证明?x?y?z?i。 7.2 求在自旋态 ?1(sz)2中，Sx和Sy的测不准关系： ????Sx?2???Sy?2??0?Sx???12?求 1???0??Sy???0?及2??i?? 7.3 ?i??0??的本征值和所属的本征函数。 7.4 求自旋角动量在(cos?，cos?，cos?)方向的投影 ??S?cos??S?cos??S?cos?Snxyz 的本征值和所属的本征函数。 在这些本征态中，测量Sz有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？Sz的平均值是多少？ 7.5 设氢原子的状态是 ?1?R21(r)Y11(?,?)???。???23??R21(r)Y10(?,?)???2?? ?? (1) 求轨道角动量z分量Lz和自旋角动量z分量Sz的平均值； (2) 求总磁矩 ????eL??eSM2?? (SI) ??的z分量的平均值（用玻尔磁子表示）。 ?2 7.6 求电子的总角动量算符J，Jz的共同本征函数。 7.7 在Sz表象中，证明 ei??z?ei????00??i??e?。 ??? 7.8 对于电子的L，S，J, 证明（取??1） ???212(2S?L?1)?J?4?????2(??J)(??J?1)?J 7.9 电子的总磁矩算符是 ???L??S?????e2mec??(L?2S) 对于电子角动量的l j j态(mj=j)计算?z的平均值(结果用量子数j表示出来)。 第八章 多粒子体系 8.1 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？ 1 8.2 设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是U(r)=2??2r2。如果 电子之间的库仑能和U(r)相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一个电子处于沿x方向的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。 8.3 某体系由两个全同粒子组成，单粒子自旋量子数为s。求体系总自旋态中对称态与反对称态的数目。 8.4 某体系由三个粒子组成，单粒子状态为??, ??, ??,..., 写出体系波函数的可能类型（忽略粒子间相互作用）。 (a) 全同玻色子；(b) 全同费密子；(c) 不同粒子。