平行四边形的判定

__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

1、理解平行四边形的判定

2、能运用判定方法来证明平行四边形

1.平行四边形的判定方法有：

从边的条件有： ①两组对边__________的四边形是平行四边形；

②两组对边__________的四边形是平行四边形； ③一组对边__________的四边形是平行四边形．

从对角线的条件有：④两条对角线__________的四边形是平行四边形． 从角的条件有： ⑤两组对角______的四边形是平行四边形．

注意：一组对边平行另一组对边相等的四边形______是平行四边形．(填“一定”或“不一定”) 2.易混点：平行四边形的性质和平行四边形的判定的区别. 平行四边形的性质：

①平行四边形的两组对边分别______ ②平行四边形的两组对边分别______. ③平行四边形的两组对角分别______. ○4平行四边形的两条对角线互相_____.

3．注意：平行四边形的定义可以作为判定使用.

参考答案： 1.①分别平行； ②分别相等； ③平行且相等； ④互相平分； ⑤分别相等；不一定；

2.①平行 ②相等 ③相等 ④平分.

1、熟练掌握平行四边形的判定定理，然后再判断平行四边形.

1

【例1】（2015年杭州春蕾中学期中）下列命题中，正确的是( )．

A、有一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形. B、一组对边平行，一组对角平行的四边形是平行四边形. C、对角线互相垂直的平行四边形是矩形.

D、两条对角线互相垂直且平分一组对角的平行四边形是正方形.

解析：A、有一条对角线平分一条对角线的四边形是平行四边形说法错误.

B、一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形. C、对角线互相垂直的四边形是正方形.

D、两条对角线互相垂直且平分一组对角的平行四边形是菱形.

总结：本题考查平行四边形、矩形、正方的判定,关键是掌握它们的定理.

根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得A是错误的.根据两组对角线分别相等的四边形是平行四边形可得B是正确的.根据对角线相等的平行四边形是矩形可得C错误.根据两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形可得D错误.

练1.（2014年东城区月考）已知：四边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，

那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法： ①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形； ②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形； ③如果再加上条件“OA＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形； ④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形． 其中正确的说法是( )．

A、①② B、①③④ C、②③ D、②③④ 答案： C

练2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D．求证：四边形ABCD是平行四边形．

证明：∵多边形ABCD是四边形，

∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°． 又∵∠A=∠C，∠B=∠D，

∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°． ∴AD∥BC，AB∥DC．

∴四边形ABCD是平行四边形．

练3.如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．求证：四边形ABCD是平行四

边形．

证明：∵OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB，

∴△AOD≌△COB． ∴∠OAD=∠OCB． ∴AD∥BC． 同理AB∥DC．

2

∴四边形ABCD是平行四边形．

2．根据图像练习平行四边形的判定

【例2】如图，在平行四边形ABCD中，线段AC和BD交于点O,下面选项不能得出四边形ABCD是平

行四边形的是（ ）

解析：A能推出四边形ABCD是平行四边形,故本选项错误.

B能推出四边形ABCD是平行四边形,故本选项错误. C能推出四边形ABCD是平行四边形,故本选项错误. D不能推出四边形ABCD是平行四边形,故本选项正确.

总结：本题考查的是平行四边形判定的应用,能熟记平行四边形的判定定理是此题的关键,难

度适中．

练4.如图,杨伯家小院子的四棵小树E,F,G,H刚好在其梯形院子ABCD各边的中点上,若在四边形EFGH

内种上小草,试判断四边形EFGH这块草地的形状（ ） A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形

解答： 解：连接AC，BD

利用三角形中位线定理可得EH∥FG ,EH=FG． ∴这块草坪围成的是平行四边形. 故选A

总结： 考查的知识点是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

练5.（2014年江南实验中学期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD,CF⊥BD,垂足为E、

F,AE=CF，求证四边形ABCD是平行四边形。

3

解答： 证明：

∵AE⊥BD,CF⊥BD ∴∠AED＝∠CFB＝90

∵BF＝BE+EF,DE＝DF+EF,BE＝DF ∴BF＝DE ∵AD＝BC

∴△AED≌△CFB （HL） ∴∠ADB＝∠CBD ∴AD∥BC

∴平行四边形ABCD（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．

练6.已知：如图,在 ABCD中，在对角线AC的延长线和反 向延长线上，截取CF=AE，连结BF，FD，

DE，EB.求证：四边形EBFD是平行四边形。

证明：∵四边形ABCD是平行四边形(已知)

∴AB∥CD,AB=CD

(平行四边形的对边互相平行且相等) ∴∠1=∠2 (两直线平行,内错角相等) ∵∠1+∠3=180°,∠2+∠4=180° ∴ ∠3=∠4(等角的补角相等) 在△ABE和△CDF中 AE=CF(已知) ∠3=∠4(已证) AB=CD(已证)

∴△ABE≌△CDF(S.A.S) ∴BE=DF, ∠AEB=∠CFD

(全等三角形的对应边相等,对应角相等) ∴ BE ∥ DF

∴四边形EBFD是平行四边形

(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)

练7.已知：如图,在 ABCD中，分别在对角线AC的延长线和反向延长线上，截取CF=AE，连结BF，

FD，DE，EB.求证：四边形EBFD是平行四边形。

4