2009~2010学年度高三数学（人教版A版）第一轮复习资料
第39讲 排列、组合、二项式定理
一．【课标要求】
1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理
通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；
2．排列与组合
通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；
3．二项式定理
能用计数原理证明二项式定理； 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题
二．【命题走向】
本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。
排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。
考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测2007年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大
三．【要点精讲】
1．排列、组合、二项式知识相互关系表
2．两个基本原理
（1）分类计数原理中的分类； （2）分步计数原理中的分步；
正确地分类与分步是学好这一章的关键。 3．排列
（1）排列定义，排列数 （2）排列数公式：系An =（3）全排列列：An =n!；
（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 4．组合
（1）组合的定义，排列与组合的区别；
nmn!=n·(n－1)…(n－m+1)；
(n?m)!（2）组合数公式：Cnm=（3）组合数的性质
n!n(n-1)?(n-m?1)=；
m!(n?m)!m?(m?1)???2?1r?1rr①Cnm=Cnn-m；②Cn?Cn?Cn?1；③rCnr=n·Cn-1r-1；④Cn0+Cn1+…+Cnn=2n；
⑤Cn0-Cn1+…+(-1)nCnn=0，即 Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1； 5．二项式定理
（1）二项式展开公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn； （2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：Tk+1=Cnkan-kbk； 6．二项式的应用
（1）求某些多项式系数的和； （2）证明一些简单的组合恒等式；
（3）证明整除性。①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题； （4）近似计算。当|x|充分小时，我们常用下列公式估计近似值：
①(1+x)n≈1+nx；②(1+x)n≈1+nx+
n(n?1)2
x；（5）证明不等式。 2四．【典例解析】
题型1：计数原理
例1．完成下列选择题与填空题
（1）有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有 种 A．81 B．64 C．24 D．4 （2）四名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是（ ） A．81 B．64 C．24 D．4 （3）有四位学生参加三项不同的竞赛，
①每位学生必须参加一项竞赛，则有不同的参赛方法有 ； ②每项竞赛只许有一位学生参加，则有不同的参赛方法有 ；
③每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有一位学生参加，则不同的参赛方法有 。
解析：（1）完成一件事是“分步”进行还是“分类”进行，是选用基本原理的关键。将“投四封信”这件事分四步完成，每投一封信作为一步，每步都有投入三个不同信箱的三种方法，因此：N=3×3×3×3=34=81，故答案选A。
本题也可以这样分类完成，①四封信投入一个信箱中，有C31种投法；②四封信投入两个信箱中，有C32（C41·A22+C42·C22）种投法；③四封信投入三个信箱，有两封信在同一
、
信箱中，有C42·A33种投法，故共有C31+C32（C41·A22+C42C22）+C42·A33=81（种）。故选A。
（2）因学生可同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将4名学生看作4个“店”，3项冠军看作“客”，每个“客”都可住进4家“店”中的任意一家，即每个“客”有4种住宿法。由分步计数原理得：N=4×4×4=64。
故答案选B。 （3）①学生可以选择项目，而竞赛项目对学生无条件限制，所以类似（1）可得N=34=81（种）；
②竞赛项目可以挑学生，而学生无选择项目的机会，每一项可以挑4种不同学生，共有N=43=64（种）；
③等价于从4个学生中挑选3个学生去参加三个项目的竞赛，每人参加一项，故共有C43·A33=24（种）。
例2．（06江苏卷）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）
解析：本题考查排列组合的基本知识，由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一
43C52gC3?1260。 个组合问题，共有C9g点评：分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，在高中数学中，只有这两个原理，尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效的将之化简,达到求解的目的 题型2：排列问题
例3．（1）（1.（2009浙江卷理）在二项式(x?)的展开式中，含x的项的系数是( ) 21x54A．?10 B．10 C．?5 D．5 答案 B
解析 对于Tr?1?C5(x)22的项的系数是C5(?1)?10
r25?r1r4对于10?3r?4,?r?2，则x(?)r???1?C5rx10?3r，
x
【点评】：此题重点考察二项展开式中指定项的系数，以及组合思想； 【突破】：利用组合思想写出项，从而求出系数；
（2）．（2009江西卷理）(1?ax?by)展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含
ny的项的系数绝对值的和为32，则a,b,n的值可能为
A．a?2,b??1,n?5 B．a??2,b??1,n?6 C．a??1,b?2,n?6 D．a?1,b?2,n?5
答案 D
解析 (1?b)?243?3，(1?a)?32?2，则可取a?1,b?2,n?5，选D 点评：合理的应用排列的公式处理实际问题，首先应该进入排列问题的情景，想清楚我处理时应该如何去做。
例4．（1）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有 个（用数字作答）；
（2）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.
n5n5解析：（1）可以分情况讨论：① 若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，
33，4，各为1个数字，共可以组成2?A3?12个五位数；② 若末位数字为2，则1与它相2邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有2?A2?4个五位数；③ 若末位数字为4，
则1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为1个数字，且0不是首位数字，则有2?(2?A2)=8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个。
（2）分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种；中间4个为不同的商业广告有A44
种，从而应当填 A22·A44＝48. 从而应填48。
点评：排列问题不可能解决所有问题，对于较复杂的问题都是以排列公式为辅助 题型三：组合问题
例5．（2009全国卷Ⅰ理）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D ) （A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种
2112解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有C5?C3?C6?225种选法;
211 (2) 乙组中选出一名女生有C5?C6?C2?120种选法.故共有345种选法.选D
（2）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）
A．10种 B．20种 C．36种 D．52种 【解析】：
（2）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余3个放入
122号盒子，有C4?4种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有C4?6种
方法；则不同的放球方法有10种，选A。
点评：计数原理是解决较为复杂的排列组合问题的基础，应用计数原理结合 例6．（1）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有 种；
（2）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（ ）
（A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种
34解析：（1）可以分情况讨论，① 甲去，则乙不去，有C6?A4=480种选法；②甲不去，344乙去，有C6?A4=480种选法；③甲、乙都不去，有A6=360种选法；共有1320种不同的选
派方案；