∴∠BED＝∠BAH ∴AH∥ED

∴△CKH∽△CED，∠GAK＝∠GDE ∴

????????

=

????????

=

????????12，即：????10

=

????????

=

2

1

∴KH＝5，CH=CD ∵EM⊥AH，DN⊥AH

∴EM∥DN，∠EMN＝∠DNM＝90° ∵AH∥ED ∴∠EDN＝90° ∴DEMN是矩形， ∴MN＝DE＝10 ∵AK＝EK，EM⊥AK ∴AM＝MK

√

∵AD＝2CD，设CD＝2m，则DH＝m，AD＝4m，AH=√????m，DN=417m，

17∵AD⊥BC，DH⊥AH ∴△DHN∽△AHD ∴

????????

=

????????

=

14

√√√

，即：HN=17m，KN＝5?17m，AM＝MK＝5+17m，AH＝

171717√√√

AM+MN+HN＝5+17m+10+17m＝15+217m

171717∵AD2+DH2＝AH2

√√

∴（4m）2+m2=(????+217??)??，解得：????=?1517（舍去），????=√????

1719∴CD＝2√????，AD＝4√????，

∴AC=√??????+??????=√(??√????)??+(??√????)??=2√????．

【点评】本题考查了直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质，解题关键添加辅助线构造相似三角形． 24．已知抛物线：y＝x2+bx+c

（1）若抛物线过点（2，﹣3），（4，5），求b、c．

（2）若抛物线过（﹣1，m2﹣m），（2，m2+2m），且﹣5≤m≤﹣3，求在m的变化过程中，抛物线最低点的坐标．

yA）ByB）（3）直线y＝2x+n与抛物线y＝x2+bx+c交于A（﹣5，，（﹣3，，把y＝x2+bx+c向右平移t个单位（t＞0）后交直线y＝2x+n于C、D两点，若CD＝2AB，求t的值．

【分析】（1）将点（2，﹣3），（4，5）代入二次函数表达式，即可求解； （2）同理可得：y＝x2+（m﹣1）x+（m2﹣2），函数的对称轴为：x=点处取得最小值，则顶点的坐标为（

1???2

1???

，函数在顶2，

3??2+2???9

4

），即可求解；

（3）将直线y＝2x+n与抛物线y＝x2+bx+c联立并整理得：x2+（b﹣2）x+（c﹣n）＝0，求出b＝10，c﹣n＝15；同理：由x2+（b﹣2）x+（c﹣2t﹣n）＝0，即x2+8x+（15﹣2t）＝0，

则x1+x2＝﹣8，x1x2＝15﹣2t，CD＝2AB，x2﹣x1＝2×（﹣3+5）＝4=√(????+????)?????????????=√???????(?????????)，即可求解．

???=??+????+??

解：（1）将点（2，﹣3），（4，5）代入二次函数表达式得：{，解

???=????+????+??得：{

??=???

，

??=???

故函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；

（2）将（﹣1，m2﹣m），（2，m2+2m）代入二次函数表达式， 同理可得：y＝x2+（m﹣1）x+（m2﹣2），函数的对称轴为：x=函数在顶点处取得最小值，则顶点的坐标为（当﹣5≤m≤﹣3时，

21

设S=3??+2???9，该函数的对称轴为m=?，

1???

， 21???2

，3??2+2???9

4

），

43故函数S在m＝﹣3时取得最小值，即m＝﹣3， 则最低点即函数顶点坐标为（2，3）；

（3）将直线y＝2x+n与抛物线y＝x2+bx+c联立并整理得： x2+（b﹣2）x+（c﹣n）＝0，

由韦达定理得：（﹣3）+（﹣5）＝2﹣b，（﹣3）（﹣5）＝c﹣n， 解得：b＝10，c﹣n＝15；

将直线向左平移t个单位后于抛物线交点的情况和题设中平移的方式交点情况应该相同，即设抛物线不动、直线向左平移t个单位交点于点C′、D′和上述平移的C、D交点情况相同，

直线向左平移t个单位后的表达式为：y＝2（x+t）+n…②，

联立①②并整理得：x2+（b﹣2）x+（c﹣2t﹣n）＝0，即x2+8x+（15﹣2t）＝0，

则x1+x2＝﹣8，x1x2＝15﹣2t，

∵CD＝2AB，∴x2﹣x1＝2×（﹣3+5）＝4=√(????+????)?????????????=√???????(?????????)， 解得：t=．

【点评】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、解不等式，难点在于利用韦达定理处理复杂数据．

3

2