2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数学案新人教A版选修2-2 下载本文

讲一讲

3.(1)若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,

b]上的图象可能是下图中的 ( )

(2)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是( )

[尝试解答] (1)由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随x增大而变大,因此应选A.

(2)从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同,可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小,可明显看出y=f(x)的导函数的值在减小,所以原函数的斜率慢慢变小,排除A.

[答案] (1)A (2)D

导数与函数图象升降的关系

若函数y=f(x)在x=x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零),则函数y=

f(x)在x=x0附近的图象是上升的;若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零),则函数y=f(x)

在x=x0附近的图象是下降的.导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢.

练一练

3.如图,点A(2,1),B(3,0),E(x,0)(x≥0),过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S,则函数S=f(x)的图象为下图中的( )

解析:选D 函数的定义域为(0,+∞),当x∈[0,2]时,在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大,即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大,因此,函数S=f(x)的图象是上升的,且图象是下凸的;

当x∈(2,3)时,在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小,即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小,因此,函数S=f(x)的图象是上升的,且图象是上凸的;

当x∈[3,+∞)时,在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0,即斜率f′(x)在[3, +∞)内为常数0,此时,函数图象为平行于x轴的射线.

—————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————— 1.本节课的重点是求曲线在某一点的切线方程及导数几何意义的应用,难点是求曲线的切线方程.

2.本节课要重点掌握的规律方法 (1)求曲线的切线方程的方法,见讲1; (2)已知曲线的切线求切点坐标,见讲2; (3)导数几何意义的应用,见讲3.

3.利用导数求曲线的切线方程,要注意已知点是否在曲线上,这是本节课的易错点.如果已知点在曲线上,则以该点为切点的曲线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);若已知点不在曲线上,则先设出切点(x0,f(x0)),表示出切线方程,然后求出切点 .

课下能力提升(二)

[学业水平达标练]

题组1 求曲线的切线方程

1.曲线y=x+11在点(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( ) A.-9 B.-3 C.9 D.15

3

∴切线的方程为y-12=3(x-1). 令x=0得y=12-3=9.

1?1?2.求曲线y=在点?,2?的切线方程. x?2?

?1?所以曲线在点?,2?的切线斜率为 ?2?

k=y′|x==-4.

12

?1?故所求切线方程为y-2=-4?x-?,即4x+y-4=0. ?2?

题组2 求切点坐标

3.若曲线y=x+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则( ) A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1

解析:选A ∵点(0,b)在直线x-y+1=0上,∴b=1.

∴过点(0,b)的切线的斜率为y′|x=0=a=1.

4.已知曲线y=2x+4x在点P处的切线斜率为16,则点P坐标为________. 解析:设P(x0,2x0+4x0),

222

又∵f′(x0)=16,

∴4x0+4=16,∴x0=3,∴P(3,30). 答案:(3,30)

5.已知抛物线y=2x+1,请求出分别满足下列条件的切点坐标. (1)切线的倾斜角为45°; (2)切线平行于直线4x-y-2=0; (3)切线垂直于直线x+8y-3=0.

解:设切点坐标为(x0,y0),则Δy=2(x0+Δx)+1-2x0-1=4x0·Δx+2(Δx), ∴

Δy=4x0+2Δx, Δx

(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°, ∴斜率为tan 45°=1, 1

即f′(x0)=4x0=1,得x0=,

4

2

2

2

2

?19?∴切点坐标为?,?. ?48?

(2)∵抛物线的切线平行于直线4x-y-2=0, ∴k=4,即f′(x0)=4x0=4,得x0=1, ∴切点坐标为(1,3).

(3)∵抛物线的切线与直线x+8y-3=0垂直,

?1?∴k·?-?=-1,即k=8.故f′(x0)=4x0=8,得x0=2. ?8?

∴切点坐标为(2,9). 题组3 导数几何意义的应用 6.下面说法正确的是( )

A.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)点(x0,f(x0))处没有切线 B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)必存在

C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在 D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f′(x0)有可能存在

解析:选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0,y0)处有导数,则切线一定存在,但反之不一定成立,故A,B,D错误.

7.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么( ) A.f′(x0)>0 B.f′(x0)<0 C.f′(x0)=0 D.f′(x0)不存在