20世纪80年代以来，为了实行对外开放，便于国际交流，在科技与教育上和国际接轨，在1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB3100-3102-93）《量和单位》（11-29）第311页，规定：自然数包括零。随后，在进行中小学数学教材的修订时，根据上述国家标准进行了修改。数物体时如果一个物体也没有，就用0表示。0也是自然数。

1994年11月国家技术监督局发布的《中华人民共和国国家标准，物理科学和技术中使用的数学符号》中，将自然数集记为N=｛0，1，2，3，?｝。而将原自然数集称为非零自然数集

N+（或N*）=｛1，2，3，?｝

自然数集扩充后，自然数的基数理论以及其他一些与自然数有关的理论问题随之发生变化，如自然数加法与乘法的定义中要去掉原有的“非空”二字，对于与自然数有关的命题的论证，应随自然数扩充后作相应调整。如数学归纳法证明的步骤应是：

1°验证n=0时，命题成立；

2°假设n=k－1时命题成立，证明n=k时命题仍然成立。 从而与G·皮亚诺1891年给出的关于自然数的公理⑤一致。

科学概念的定义，它的内涵与外延的明确界定，本来就是一种人为的规定。它可以随着科学、技术的发展而由权威科学家的群体重新定义。不久前，天文学家对“行星”的重新定义使得冥王星不再是我们这个太阳系的九大行星之一。

【自然数的分类】 规定“0是自然数”后，自然数按约数个数的分类也将发生变化（如图1—3）：

0，1 约数 合数 自然数

质数（有且只有2个约数） 合数（有3个或3个以上的约数） 1（只有1个约数）

0（0以外的任何数都是它的约数）

自然数

参考书

图1-3

高等学校教学用书《算术》，M·K·格列来卡著，商务印书馆，1957年4月5日版

A1—5 “自然数集”、“自然数列”和“扩大的自然数列”有哪些区别和联系？自然数列

有哪些基本性质？

【自然数集】 所有的自然数组成的集合叫做“自然数集”。

【集合概念】与【非集合概念】“自然数”和“自然数集”是两个不同的概念。我们可以说“3是自然数”，但不能说“3是自然数集”。因为“自然数集”是一个集合概念，即从整体上反映一个集合体的概念。“自然数”则是非集合概念。

作为练习，试区分下面的概念中，哪些是集合概念，哪些是非集合概念： （1）到A、B两点距离相等的点； （2）到A、B两点距离相等的点的轨迹； （3）中国数学家； （4）中国数学协会。

【自然数列】 将所有的自然数按照从小到大的顺序排成一列，

0，1，2，3，?

这样的一列数叫做自然数列。“自然数列”和“自然数集”都必须包括所有的自然数，但它们的区别就在于自然数集不讲究所含元素的顺序，而自然数列中所有的自然数都必须按照从小到大的顺序排列。只要有一处违反了这样的顺序，如0，2，1，3，??，它就不是自然数列。当然，少了一个自然数的数集或数列也不再是自然数集或自然数列。

【自然数列的性质】 自然数列有以下性质：

（1）有始。自然数列是从0开始的。0不是任何其它自然数的继数；

（2）有序。每一个自然数都有且只有一个继数；除了0，每个自然数都有且只有一个先行的数； （3）无限。自然数列是一个无限数列。没有最后的（或者说最大的）自然数。

【扩大的自然数列】 这是一个应该消亡的数学名词。当我们认为“0不是自然数”时，把

1，2，3，??

叫做“自然数列”。而将

0，1，2，3，??

称为“扩大的自然数列”。现在，国家标准重新规定“0是自然数”，因此，后者顺理成章地应该称之为“自然数列”。“扩大的自然数列”作为一个数学名词已经不再需要。

A1—6 “计数”、“记数”、“数数”、“写数”、“读数”各指什么？什么是计数的基本原理？为什么我们的计数制和记数制都是十进制？

【计数（count）】【数数】 “计数”就是“数数”。指的是把一些事物与非负自然数列里的数1，2，3，??建立一一对应的过程。

【计数原理（counting principle）】 计数的基本原理如下： 只要不遗漏、不重复，计数的结果与计数的顺序无关。

【十进制计数法】 计数时，可以一个，一个地数，也可以几个、几个地数。如二个、二个地数；五个、五个地数；十个、十个地数等。二、五、十等都是计数单位。用一（个）、十、百、千、万、??等作为计数单位的计数方法叫做十进制计数法。这时，每十个较低的计数单位等于一个较高的单位。

实际运用十进制计数法时，要从尽可能大的计数单位数起。如数一盘草莓，先十个、十个地数，剩下不足十个时，再一个、一个地数。最后弄清这盘草莓的个数是几个十、几个一。（这里的“几”应该是不大于9的自然数。）运用十进制计数法，我们就可以弄清一个自然数N是由几个一、几个十、几个百、几个千、??组成的。这里的“几”都是不大于9的自然数。用符号表示就是

N?a0?10n?a1?10n?1?a2?10n?2???an?1?10?an，

其中，0＜a0≤9，0≤a1，?，an≤9。

【记数】【写数】 “记数”就是“写数”。指的是如何用数字符号将一个数N（或者计数的结果）记录下来。

【十进制记数法】 当我们用十进制计数法弄清了一个数的组成后，就可以按照十进位记数制用数字符号0，1，2，?，9把这个数记录下来。

由于自然数有无限多个，要对每一个自然数都给一个独立的名称和记号是不可能的。现在国际上通用的记数方法是用

0，1，2，?，9

分别表示自然数列里的前十个数。其它自然数则用这些数字按“位值原则”表示出来。即每个数字占有一个位置，叫做“数位”。每个数位表示一种计数单位。同一个（0以外的）数字在所记的数里位置不同，所表示的数值也不同。

在所记的数里，从右向左，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，??。个位的计数单位是一，十位的计数单位是十，百位的计数单位是百，??。如果一个数是由八个百、三个十和五个一组成的。就把它写作835。一般地，如果一个自然数

N?a0?10n?a1?10n?1?a2?10n?2???an?1?10?an，

其中，0＜a0≤9，0≤a1，?，an≤9。则此自然数就写作a0a1a2?an?1an。因为每两个相邻数位的计数单位的进率都是十，所以这种记数的方法叫做十进制记数法。

A1—7 “数”和“数字”的区别和联系是什么？

【数字（numerals）】用来记数的符号叫做“数字”。

数和数字是两个不同的概念。数或为单数、或为双数，或为质数、或为合数。数字或为罗马数字、或为阿拉伯数字，或为手写的数字、或为印刷的数字。事实上，数字并不是数，而是表示数的记号。数是数字所表达的内容而不是数字本身。

中国是世界上的文明古国之一。用文字记数在我国已有悠久的历史。早在三千多年前的商代的甲骨文里，就已经记有数字。其中记载的最大的数是“三万”，最小的数是“一”。一、十、百、千、万各有专名。特别是当时已经采用了十进制的记数方法，这和现在世界通用的“十进制记数法”是一致的。

A1—8 说“43”是数而不是数字对吗？

表示数的符号叫做数字。因为“43”是一个数学符号，在十进制记数法中，用来表示由四个十与三个一组成的自然数，所以它是一个数字。是由数字“4”与“3”排成一列组成的“复合数字”。此外，在许多上下文中，43也确实可以表示一个数，由四个十与三个一组成的数。

另一方面，在一定的语言环境中出现的数字“43”，也可以用来表示一个k进制的自然数，即四个k与三个一组成的数。在这里，因为出现了数字“4”，所以k≥5。

总之，“43”既是一个数，也是一个数字。当它在一个语句中出现时，究竟何所指，要看特定的语言环境。

A1—9 “数的组成”、“数的名称”和“数的读写”有什么联系？