名师精编 优秀教案
第三章 空间向量与立体几何 3.1空间向量及其运算（一）
学习目标：
㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
㈢情感目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会 用联系的观点看待事物．
学习重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 学习难点：应用向量解决立体几何问题． 学习方式：讨论式． 学习过程：
Ⅰ.复习
［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？
［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：
①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．
［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以
将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．
［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：
⒈向量的加法：
⒉向量的减法：
⒊实数与向量的积：
实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|
(2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0.
［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们认真阅读课本P26～P27内容。
Ⅱ.学习新课
［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？
［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表
示同一向量或相等的向量．
［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．
［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？
［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：
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OB?OA?AB=a+b，
（指向被减向量）， AB?OB?OA的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．
平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱． 解：（见课本P27）
说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．
Ⅲ.巩固练习
课本P92 练习 Ⅳ. 小结：
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平
移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．
关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法． Ⅴ.课后作业
预习课本P92～P96，预习提纲： ⑴怎样的向量叫做共线向量？
⑵两个向量共线的充要条件是什么？ ⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？ ⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？ ⑸怎样的向量叫做共面向量？
⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？ ⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？
OP?λa (??R)
［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．
［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：
⑴加法交换律：a + b = b + a；
⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)； ⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb．
［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?A1An
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?AnA1?0．
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．
因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．
例１已知平行六面体ABCD?A'B'C'D'（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
⑴AB?BC；
1⑶AB?AD?CC'⑵AB?AD?AA'；21⑷(AB?AD?AA')． 3
说明：平行四边形ABCD平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成
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空间向量及其运算（2）
一、学习目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．
或对空间任一点O，有OP?OM?xMA?yMB① MP?xMA?yMB上面①式叫做平面MAB的向量表达式．
（三）例题分析：
二、学习重、难点：共线、共面定理及其应用． 三、学习过程：
（一）复习回顾：空间向量的概念及表示； （二）新课学习：
1．共线（平行）向量：
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：a平行于b，记作：a//b． 2．共线向量定理：
对空间任意两个向量a,b(b?0),a//b的充要条件是存在实数?，使a??b（?唯一）． 推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线
l上的充要条件是存在实数t，满足等式OP?OA?tAB①，其中向量a叫做直线l的方向向
量。在l上取AB?a，则①式可化为OP?OA?tAB或OP?(1?t)OA?tOB② la当t?1时，点P是线段AB的中点，此时OP?1(OA?OB)P22③ BA①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB的中点公式．
3．向量与平面平行：
O已知平面?和向量a，作OA?a，如果直线OA平行于?或在?内，那么我们说向量
a平行于平面?，记作：a//?．
a 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 说明：空间任意的两向量都是共面的． 4．共面向量定理：
a ? 如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使
p?xa?yb．
推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使
例1．已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OP?15OA?225OB?5OC， 试判断：点P与A,B,C是否一定共面？ 解：由题意：5OP?OA?2OB?2OC，
∴(OP?OA)?2(OB?OP)?2(OC?OP)， ∴AP?2PB?2PC，即PA??2PB?2PC， 所以，点P与A,B,C共面．
说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的
充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算． 【练习】：对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式OP?xOA?yOB?zOC（其中x?y?z?1）的四点P,A,B,C是否共面？
解：∵OP?(1?z?y)OA?yOB?zOC，
∴OP?OA?y(OB?OA)?z(OC?OA)， ∴AP?yAB?zAC，∴点P与点A,B,C共面．
O 例2．已知
ABCD，从平面AC外一点O引向量
D OE?kOA,OF?KOB,OG?kOC,OH?kOD，
AC B （1）求证：四点E,F,G,H共面； H G
（2）平面AC//平面EG．
E F 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC?AB?AD，
∵EG?OG?OE，
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?k?OC?k?OA?k(OC?OA)?kAC?k(AB?AD)?k(OB?OA?OD?OA)?OF?OE?OH?OE
?EF?EH∴E,F,G,H共面；
（2）∵EF?OF?OE?k(OB?OA)?k?AB，又∵EG?k?AC，
∴EF//AB,EG//AC
所以，平面AC//平面EG．
四、练习：课本第96页练习第1、2、3题．
五、小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；
2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．
七、补充练习：
1．已知两个非零向量e1,e2不共线，如果AB?e1?e2，AC?2e1?8e2，AD?3e1?3e2，
求证：A,B,C,D共面．
2．已知a?3m?2n?4p,b?(x?1)m?8n?2yp，a?0，若a//b，求实数x,y的值。
3．如图，E,F,G,H分别为正方体AC1的棱A1B1,A1D1,B1C1,DC11的中点， 求证：（1）E,F,D,B四点共面；（2）平面AEF//平面BDHG．
4．已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点， （1）用向量法证明：E,F,G,H四点共面； （2）用向量法证明：BD//平面EFGH． D
1HCA 1FAGE H
1EB1 B DG
DCF C
AB