分
∴异面直线PB与DC所成角的大小为arctan
．…………………………………14分
【点评】本题考查四棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
19．（14分）已知各项都不为零的无穷数列{an}满足：an+1an+an+1﹣an＝0； （1）证明
为等差数列，并求a1＝1时数列{an}中的最大项；
（2）若a2018为数列{an}中的最小项，求a1的取值范围． 【分析】（1）推导出最大项为a1＝1． （2）由
，当
时，数列
是正项递增数列，此数列没有最大项，
是递增数列，且a2018是{an}
是等差数列，且公差d＝1，由此能证明数列{an}递减数列，
从而数列{an}中就没有最小项，故的最小项，能求出a1的取值范围． 【
解
答
】
证
；再由数列
明：（1）由
…………2分
∴
是等差数列，且公差d＝1； …………………2分
…………………1分
当a1＝1时，
数列{an}递减数列，最大项为a1＝1…………………1分 解：（2）由（1）知当
时，数列
； …………………1分
是正项递增数列，此数列没有最大项，
；…………………1分
从而数列{an}中就没有最小项，故
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由数列∴从而有又
是递增数列，且a2018是{an}的最小项， 是数列
中的最大负项，…………………2分
…………2分
． …………………2分
∴a1的取值范围是：
【点评】本题考查等数列的证明，考查数列的首项的取值范围的求法，考查等差数列、数列的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 20．（16分）设抛物线y＝4px（p＞0）的准线与x轴的交点为M，过M作直线l交抛物线于A、B两点．
（1）求线段AB中点的轨迹；
（2）若线段AB的垂直平分线交对称轴于N（x0，0），求x0的取值范围；
（3）若直线l的斜率依次取p，p，p，…，p，…时，线段AB的垂直平分线与对称轴的交点依次为N1，N2，N3，…，Nn，…，当0＜p＜1时， 求：
2
2
3
n
2
的值．
【分析】（1）设直线AB：y＝k（x+p），联立y＝4px，利用韦达定理求解AB的中点为P（x，y），求解轨迹方程，得到轨迹为该抛物线位于直线x＝p右方的两段抛物线弧． （2）设AB的中点为P'（x'，y'），求出线段AB的垂直平分线的方程，然后求解x0＞3p． （3）求出AB中点的横坐标通过数列
，求出点Nn的横坐标
为一无穷递缩等比数列，求解所有项的和．
2
，
【解答】解：（1）设直线AB：y＝k（x+p），联立y＝4px， 得：kx+（2pk﹣4p）x+kp＝0，……………（1分） 由k≠0且△＞0得到：0＜k＜1．……（1分）
2
22
2
22
设AB的中点为P（x，y），则，……（1分）
消去k得，y＝2p（x+p）（x＞p）．……（1分）
实际轨迹为该抛物线位于直线x＝p右方的两段抛物线弧．……（1分）
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2
（2）设AB的中点为P'（x'，y'），……（1分） 则线段AB的垂直平分线的方程为：令y＝0，得（2分）
由x'＞p，得x0＞3p．……（1分）
（3）∵x0＝2p+x'，由（1）知AB中点的横坐标分）
则当k＝p时，点Nn的横坐标
n
．……（1分）
，……
，∴．……（1
，……（1分）
同理Nn+1的横坐标
，∴，……（1分）
．……（1分）
∴数列为一无穷递缩等比数列，所有项的和为．……
（2分）
【点评】本题考查数列的应用，数列求和，数列与函数以及解析几何相结合的应用，考查发现问题解决问题的能力． 21．（18分）已知函数
，
（1）分别求f（f（﹣1）），f（f（2018））的值； （2）讨论|f（f（x））|＝m（m∈R）的解的个数；
（3）若对任意给定的t∈[1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））＝2at﹣at，求实数a的取值范围．
【分析】（1）直接由分段函数求得f（f（﹣1）），f（f（2018））的值；
（2）求出函数y＝|f（f（x））|的解析式并作出图象，数形结合可得|f（f（x））|＝m（m∈R）的解的个数；
（3）由题意可得2at﹣at的取值必须大于1，然后根据a的范围分析关于t的二次函数的值域，从而可得实数a的取值范围．
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22
22
﹣1
【解答】解：（1）∵f（﹣1）＝2018，∴f（f（﹣1））＝﹣1． ∵f（2018）＝1，∴f（f（2018））＝0． （2）
画图y＝|f（f（x））|的图象如图，
，
由图可知，当m＜0时，方程|f（f（x））|＝m有0解； 当m＝0时，方程|f（f（x））|＝m有2解； 当0＜m≤1时，方程|f（f（x））|＝m有4解； 当m＞1时，方程|f（f（x））|＝m有3解．
（3）要使对任意给定的t∈[1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））＝2at﹣at， 则2at﹣at的取值必须大于1；
即当t∈[1，+∞）时，2at﹣at的值域包含于（1，+∞）； 当a＝0时，2at﹣at＝0，舍去； 当当
时，时，
； ＜0，舍去； ．
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22
22
综上所述，
【点评】本题主要考查了分段函数的应用，关键是可以把2at﹣at当作是一个数，然后在确定数的大小后再把它作为一个关于t的函数求解，是难题．
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