测量误差、不确定度和数据的处理
一、重点与难点
（一） 重点
1. 直接测量值的标准偏差的计算：直接测量值的A类、B类不确定度的计算。 2. 间接测量值的不确定度的计算。
3. 测量结果的完整表达。
4. 逐差法、最小二乘法的计算方法（在相应的实验中讲授）。 （二）难点
1. 标准偏差及不确定度概念的理解。 2. 不确定度的计算及测量结果的正确表述。 二、计算题 例题一：
用螺旋测微仪测量一钢珠直径6次，测量数据如下表，已知仪器误差△仪=0.004mm，求钢珠直径的测量结果，要求表示成不确定度的完整表达式（置信率取95%）。 测量次数 d (mm) 解： 1 3.302 2 3.304 3 3.301 4 3.302 5 3.301 6 3.300 （1） 钢珠直径的算术平均值
6?did?i?16?3.302?3.304?3.301?3.302?3.301?3.3006?3.302(mm)
（2） 钢珠直径的A类不确定度：根据P=95%及测量次数查出，tp=2.57
n?(d?A?tp?d?tpi?1i?d)2n(n?1)?2.57?(3.302?3.302)?(3.304?3.302)?(3.301?3.302)?(3.302?3.302)?(3.301?3.302)?(3.300?3.302)6?5222222 = 0.0015(mm)
（3） 钢珠直径的B类不确定度： ?B??yi??gu?220.004?0.001?0.0042(mm)22
（4）钢珠直径的总不确定度 ud??A??B?220.0015?0.0042?0.005(mm)(p?95%)
22
例题2
测出一个铅圆柱体的直径d?(2.04?0.01)cm,高度h?(14.2?0m?(519.1?8?3，质量0.c0m1)0.?05)kg10，各值的置信率皆为95%，求铅柱密度?的测量结果。
解：
（一）铅柱密度算术平均值 ?dh??2.04?14.2（二） 密度的不确定度 ??4m2?4?519.182?11.2(g/cm)
3 Ep?(?ln??m1um)?(2?ln??dud)?(2?ln??huh)
2=(mum)?(2122ud)?(uh) dh2?0.012.0422=(0.005519.18)?(2)?(0.0114.20)?0.0098(p?95%) 32u??E????0.0098?11.2?0.2(g/cm)
（三） 密度的完整表达式：
243????u??(11.2?0.2)(g/cm)?(11.2?0.02)?10(kg/m)
例题3
一圆柱体，用50分度游标卡尺分别测量其直径和高度各5次，数据如下表，求其侧面积的测量结果。（窒息率95%） 测量次数 1 d(mm) h(mm)
52 20.34 41.22 3 20.40 41.32 4 20.46 41.28 5 20.44 41.12 20.42 41.20 (1) 计算直径的算术平均值 ?dd?i?1i5?20.42?20.34?20.40?20.46?20.445?20.41(mm)
（2）直径的A类不确定度：根据p=95%及测量次数查出tp?2.78
n?(d?A?tp?d?tpi?1i?d)2n(n?1)
=
(20.42?20.41)?(20.34?20.41)?(20.40?20.41)?(20.46?20.41)?(20.44?20.41)5?422222?0.058(mm)
（3） 直径的B 类不确定度?B?（4） 直径的总不确定度
?yi??gu?220.02?0.02?0.29(mm)
22ud??A??B?220.058?0.029?0.065?0.07(mm)
22（5） 直径的测量结果d?d?ud?(20.41?0.07)mm(P?95%) （6） 计算高度的算术平均值
5?hh?i?1i5?41.20?41.22?41.32?41.28?41.125?41.23(mm)
n?(h（7） 高度的A类不确定度：?A?tp?h?tp222i?h)2i?1n(n?1)?2.78?
22(41.20?41.23)?(41.22?41.23)?(41.32?41.23)?(41.28?41.23)?(41.12?41.23)5?4?0.096(mm)（8）高度的B类不确定度：?B?（9）高度的总不确定度：uh?2?yi??gu?2220.02?0.02?0.028(mm)
2222?A??B?0.096?0.028?0.10(mm)
（10）高度的测量结果h?h?uh?(41.23?0.05)mm(P?95%) （11）计算求侧面积达的算术平均值
s??dh?3.1415926?20.41?41.23?2643.67(mm)
2（12）计算侧面积的不确定度
Es?(?lns?dud)?(2?lns?huh)?2(122ud)?(uh)?dh21(120.41??0.04)?(2141.23?0.05)?0.00232us?Es?s?2643.67?0.0023?6.1(mm)
（13）侧面积的完整表达式
s?s?us?(2643.7?6.1)(mm)( P=95%)
2?7 ?(2.6430.0?061m)m1 0(33)或?(2.644?0.0061)?10(mm)
三、填空题
1．测量就是将（ ）物理量和（ ）物理量进行比较的过程。
2. 能直接从仪器上读出测量值的测量称为（ ）测量。 由直接测量值通过函数关系计算得出待测量称为（ ）测量。
3. 任何物理量所具有的客观真实数值称为该物理量的（ ）。 4. 任何测量的目的都是要测得该物理量的（ ）。 5. 误差是测量值与真值之间存在的（ ）。
6. 误差存在于一切（ ） 中，而且贯穿（ ）过程的始终。
7. 根据误差的（ ）和（ ）可以将误差分为（ ）误差和（ ）误差。
8. 等精度测量是指（ ）测量、（ ）测量、（ ）测量、（ ）测量均不发生改变的测量。
9. 同样条件下多次测量同一物理量时，（ ）和（ ）保持不变，或者按（ ）变化的误差称为系统误差。
10. 系统误差主要来自（ ）、（ ）、（ ）、（ ）四个方面的误差。 11. 发现系统误差的主要方法有：（ ）、（ ）、（ ）三种方法。 12. 同样条件下多次测量同一物理量时，（ ）和（ ）不能确定的误差，称为随机误差。
13. 在等精度多次测量中，随即误差课通过（ ）而减小。
14. 随机误差的分布特点是（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。
15. 表示测量数据相互接近的概念是（ ）度，它是定性评价（ ）误差大小的。 16. 测量数据的3?判据中，?被称为（ ）的标准偏差，其统计意义是落在区间【-3?，+3?】内的概率是（ ）。 17. 精确确度描述了测量数据间的（ ）程度，又表示了测量值与（ ）的接近程度。
18. 准确度描述了测量值与真值间的（ ）程度，反应了测量中（ ）的大小。 19. 测量结果完整表达式包括（ ）、（ ）、（ ）、( ).
20．不确定度可以保留（ ）位，其尾数结尾时采用（ ）的原则，平均值的最末位数应与不确定度（ ）对齐，其尾数取舍时按（ ）规则进行。 21. 测量值有效数字位数不能任意（ ），位数的多少又被测量的（ ）和测量仪器的（ ）共同决定。
22. 仪器误差主要是指仪器的（ ）与被测量值之间的（ ）的绝绝对值。 23. 由仪器的精度级别计算仪器误差的计算公式是（ ）。
24. 一级精度，量程0-125m.m，50分度的游标卡尺其仪器误差为（ ）。 25. 有限次测量的随机误差的t分布中的tp因子与（ ）和（ ）有关。 26. 估计读书的最小读数单位被称为（ ）误差。
27. 不确定度表示了被测物理量（ ）的区间和其在此区间的（ ）。 28. 不确定度的计算分为两类，及（ ）和（ ）。 29. A类不确定度的分量是指可以用（ ）计算的不确定度的分量。
30. 不确定度的均分原理就是将间接量的（ ）均匀分配到（ ）的不确定度中去。
31. 天平砝码不准确产生的误差为（ ）误差，可以用（ ）不确定度来评定。 32. 使用逐差法的条件是：自变量是严格（ ）变化的，因变量与自变量必须是（ ）的关系。
33. 最小二乘法处理数据可以得到物理量间的（ ），其原理是：拟合曲线与各测量值之（ ），在所有拟合曲线中应（ ）。 四、选择题
1 指出下列情况属于随机误差的是
A 读书时视角误差 B 千分尺零位对不齐 C 天平杠杆受气流影响的起伏 D 电表的指针未归零