第1讲 平面向量的概念及线性运算
[基础题组练]
→1→→→
1．(2019·石家庄质量检测(一))在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DA，设CB＝a，CA2→
＝b，则CD＝( )
12A.a＋b 3334C.a＋b 55
21B.a＋b 3343D.a＋b 55
→1→→1→→→→→1→→1→→
解析：选B.因为BD＝DA，所以BD＝BA，所以CD＝CB＋BD＝CB＋BA＝CB＋(CA－CB)＝
23332→1→21
CB＋CA＝a＋b，故选B. 3333
→
2．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若AO→→
＝λAB＋μBC，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于( )
A．1 1C. 3
→→→→1→
解析：选D.由题意易得AD＝AB＋BD＝AB＋BC，
3→→1→→1→1→所以2AO＝AB＋BC，即AO＝AB＋BC.
326112
故λ＋μ＝＋＝.
263
3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( ) A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向
解析：选D.由题意可设c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，(λ－k)a＝(λ＋1)b.因为a，b??λ－k＝0，
不共线，所以?所以k＝λ＝－1，所以c与d反向，故选D.
?λ＋1＝0.?
1
B. 22D. 3
λ→2→→1→→→→
4．如图，在△ABC中，AD＝AC，BP＝BD，若AP＝λAB＋μAC，则的值为( )
33μ
- 1 -
A．－3 C．2
→→→
解析：选B.因为AP＝AB＋BP， →
B．3 D．－2
BP＝BD＝(AD－AB)＝AD－AB＝×AC－AB＝AC－AB，
→→?2→1→?2→2→所以AP＝AB＋?AC－AB?＝AB＋AC；
3?39?922→→→
又AP＝λAB＋μAC，所以λ＝，μ＝；
39
1→1→→
331→1→12→1→
333332→
91→3
λ29
所以＝×＝3.故选B.
μ32
→→→
5．(2019·辽宁丹东五校协作体联考)P是△ABC所在平面上的一点，满足PA＋PB＋PC＝→
2AB，若S△ABC＝6，则△PAB的面积为( )
A．2 C．4
B．3 D．8
→→→→→→→→→→→→
解析：选A.因为PA＋PB＋PC＝2AB＝2(PB－PA)，所以3PA＝PB－PC＝CB，所以PA∥CB，
S△ABCBC|CB|S△ABC且方向相同，所以＝＝＝3，所以S△PAB＝＝2.
S△PABAP→3
|PA|
→→→→→→
6．若|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2，则|AB＋AC|＝________．
→→→→→→
解析：因为|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|AB＋AC→→
|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|AB＋AC|＝23.
答案：23
→→→→→
7．已知O为△ABC内一点，且2AO＝OB＋OC，AD＝tAC，若B，O，D三点共线，则t的值为________．
→→→
解析：设线段BC的中点为M，则OB＋OC＝2OM. →→→→→因为2AO＝OB＋OC，所以AO＝OM，
→1→1→→1?→1→?1→1→则AO＝AM＝(AB＋AC)＝?AB＋AD?＝AB＋AD.
t?4244?4t111
由B，O，D三点共线，得＋＝1，解得t＝.
44t3
- 2 -
→
1答案：
3
→1→→
8．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且AD＝AC＋λAB4(λ∈R)，则AD的长为________．
13
解析：因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，如图，
44→1→→3
过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则AN＝AC，AM＝
44→
AB，经计算得AN＝AM＝3，AD＝33.
答案：33
9.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且
GB＝2GE，设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AD，AG.
→1→→11
解：AD＝(AB＋AC)＝a＋b.
222
2→1→→1→1→11→→→→2→→1→→
AG＝AB＋BG＝AB＋BE＝AB＋(BA＋BC)＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.
33333333→→→→
10．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP＝mOA，OQ＝nOB，m，n∈11
R，求＋的值．
→→→→
nm→→→1
解：设OA＝a，OB＝b，则OG＝(a＋b)，
3→→→
PQ＝OQ－OP＝nb－ma，
→→→1?1?1PG＝OG－OP＝(a＋b)－ma＝?－m?a＋b.
3?3?3→→
由P，G，Q共线得，存在实数λ使得PQ＝λPG，
?1?1
即nb－ma＝λ?－m?a＋λb，
?3?3
?1?－m＝λ?－m?，???3?11
则?消去λ，得＋＝3.
nm1
??n＝3λ，
[综合题组练]
1．(应用型)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为( )
- 3 -
A．1 1
C．1或－
2
1B．－
21
D．－1或－
2
解析：选B.由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋
??λ＝k，
(2λ－1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有?整理
?2λk－k＝1，?
112
得2λ－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－.
22
2．(应用型)(2019·安徽安庆模拟)在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD→→→
的中点，若存在实数λ和μ，使得BM＝λAB＋μAC，则λ＋μ＝( )
1A. 2C．2
1B．－
2D．－2
→→
解析：选B.如图，因为点D在边BC上，所以存在t∈R，使得BD＝tBC＝
t(AC－AB)．因为M是线段AD的中点，所以BM＝(BA＋BD)＝(－AB＋tAC－tAB)＝－(t＋1)·AB＋tAC.
11→→→
又BM＝λAB＋μAC，所以λ＝－(t＋1)，μ＝t，
221
所以λ＋μ＝－.故选B.
2
→→→
3．(创新型)(2019·陕西铜川质检)已知P为△ABC所在平面内一点，AB＋PB＋PC＝0，→→→
|AB|＝|PB|＝|PC|＝2，则△ABC的面积等于( ) →
12
→1→
2
→→
→1→
2
→
12
→→
A.3 C．33
B．23 D．43
→→→→→→
解析：选B.因为AB＋PB＋PC＝0，所以AB＝－(PB＋PC)．
→→→
由平行四边形法则可知，以PB，PC为边组成的平行四边形的一条对角线与AB反向，且长→→→→→
度相等．因为|AB|＝|PB|＝|PC|＝2，所以以PB，PC为边的平行四边形为菱形，且除BC外的11
对角线长为2，所以BC＝23，∠ABC＝90°，所以S△ABC＝AB·BC＝×2×23＝23，故选
22B.
→→
4．(应用型)已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足OP＝OA＋
- 4 -