高中（理科）数学必修3、选修2-1常用公式

一、常用逻辑用语 1．四种命题：（1）原命题：若p则q （2）逆命题： 若q则p

（3）否命题：若?p则?q （4）逆否命题：若?q则?p

（互为逆否关系的两个命题同真假：原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假） 2．如果p?q，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件

注意：（1）小范围?大范围，大范围?小范围，

（2）“p的充分不必要条件是q”?“q是p的充分不必要条件”

?“q?p，p?q” 3．复合命题p?q、p?q、?p的真假性（?p即命题的否定）：

（1）当p和q为一真一假时，p?q为假，p?q为真； （2）p和?p的真假性相反 4．全称命题与特称命题. 若p：?x?M,q(x)成立，则?p：?x0?M,?q(x0)成立

二、圆锥曲线 1．椭圆 定义 动点M到两定点F1,F2的距离之和为2a（F， 1F2?2a）即：MF（c?a） 1?MF2?2a，图形 标准方程 范围 长轴长 短轴长 焦点、焦距 顶点 离心率 准线 焦半径 x2y2?2?1(a?b?0) 2aby2x2?2?1(a?b?0) 2ab?a?x?a，?b?y?b 2a 2b (?c,0)、2c (?a,0)，(0,?b) ?b?x?b，?a?y?a (0,?c)、2c (?b,0)，(0,?a) e?a2x?? cc（0?e?1） aa2y?? cMF1?a?ex0，MF2?a?ex0 S?MF1F2?b2tanMF1?a?ey0，MF2?a?ey0 ?MF1F2 面积公式 通径的长 ?2（其中???F1MF2） 2b2 a1

2．双曲线

定义 动点M到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为2a（F1F2?2a） 即：MF1?MF2?2a（c?a） 图形 标准方程 范围 实轴长 虚轴长 焦点、焦距 顶点 渐近线 离心率 准线 焦半径 x2y2??1 a2b2y2x2??1 a2b2x??a或x?a，y?R 2a 2b (?c,0)、2c (?a,0) x?R，y??a或y?a (0,?c)、2c (0,?a) y??bx ae?c（e?1） ay??ax ba2x?? ca2y?? cMF1?ex0?a，MF2?ex0?a S?MF1F2?b2cotMF1?ey0?a，MF2?ey0?a ?MF1F2 面积公式 通径的长 小秘密 ?2（其中???F1MF2） 2b2 a焦点到渐近线的距离为b 注意：直线与圆锥曲线相交的弦长：AB?1?k?x1?x2?1?k?(x1?x2)?4x1x2 （注意和韦达定理结合使用） 或AB?1?22211?y?y?1??(y1?y2)2?4y1y2 1222kk （k为直线AB的斜率）

2

3．抛物线 定义 标准 方程 动点P到定点F的距离等于到定直线l的距离 即：PF?PP?，（F到l的距离为p） y2?2px(p?0) y2??2px(p?0) x2?2py(p?0) x2??2py(p?0) 图形 范围 对称轴 焦点 准线 准线 方程 离心率 焦半径 焦点弦公式 x?0 x轴 x?0 p,0) 2px? 2y?0 y?0 y轴 (?p(0,) 2py?? 2p(0,?) 2py? 2p?y0 2p(,0) 2px?? 2p?x0 2e?1 PF?PF?p?x0 2PF?p?y0 2PF?AB?p?(x1?x2) AB?p?(x1?x2) AB?p?(y1?y2) AB?p?(y1?y2) 焦点弦的秘密 三、概率

1. 古典概型与几何概型

以抛物线的焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切 （1）古典概型的概率P(A)?m，基本事件有限，每个基本事件出现的可能性相同. nm表示事件A包含的基本事件数，n表示所有基本事件数.

（2）几何概型的概率P(A)??A，基本事件无限，每个基本事件出现的可能性相同. ??A表示事件A发生区域的几何度量，?表示总区域的几何度量（如长度、面积、体积）

2. 互斥事件与对立事件

（1）概念理解：互斥事件——AB??； 对立事件——AB??且P(A)?P(B)?1. （2）关系：对立的两个事件一定互斥，互斥的两个事件不一定对立. （3）概率加法公式：若事件A与B互斥，则P(AB)?P(A)?P(B).

四、统计

??a??bx?用最小二乘法求得的线性回归方程系数公式： 1. 回归直线方程为y3

??b?(x?x)(y?y)?xy?nxyiiiii?1nn?(xi?x)2i?1n=i?1n?xi2?nxi?12? ??y?bx，a2．方差：S?[(x1?x)?(x2?x)?????(xn?x)]； 标准差：S?21n2221[(x1?x)2?(x2?x)2?????(xn?x)2]． n

五、空间向量

1. 空间直角坐标系：已知向量a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)

x1y1z1??（x2,y2,z2?0） x2y2z2 a?b?ab?0?x1x2?y1y2?z1z2?0

（1）空间向量的平行与垂直：a∥b?x12?y12?z12 （3）点(x,y,z)关于x轴对称的点为(x,?y,?z)，关于y轴对称的点为(?x,y,?z)

（2）空间向量的模：a=关于z轴对称的点为(?x,?y,z)，关于原点(0,0)对称的点为(?x,?y,?z) 关于平面xOy对称的点为(x,y,?z)，关于平面yOz对称的点为(?x,y,z)， 关于平面xOz对称的点为(x,?y,z)，

（4）空间两点间的距离公式：AB?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1) 2. 空间的角与空间的距离（向量法）：

设直线a与b的方向向量分别为a,b，平面?与?的法向量分别为n1,n2 （1）异面直线a与b所成的角?：则cos??222a?ba?b，??(0,?2]

（2）直线a与平面?所成的角?：sin??　cos?a,n1?　?（3）二面角??l??的平面角?：cos??a?n1?，??[0,]

2a?n1n1?n2，??[0,?]

n1?n2 注意：二面角的平面角需要根据实际图形，判断“锐角”还是“钝角” （4）点P到平面?的距离：d?PA?n1n1，其中A??

?b?b2?4ac(a?0). 六、补充公式 1. 求根公式：x?2a2. 韦达定理：x1?x2??

bc2，x1x2?，x1?x2?(x1?x2)?4x1x2. aa4