课时作业53 排列与组合
一、选择题
2x－4
1．(2019学年高中数学模块综合检测)方程Cx14＝C14的解集为
( )
A．{4} B．{14} C．{4，6} D．{14，2}
2x－4解析：∵Cx14＝C14，
∴x＝2x－4或x＋2x－4＝14， ∴x＝4或x＝6，
xx－4经检验知x＝4或x＝6符合题意，故方程C14＝C214的解集为{4，
6}．故选C.
答案：C
2．(2019年河北省武邑中学高三下学期期中考试)北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者(编号分别是1，2，…，30号)，现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是 ( )
A．25 B．32 C．60 D．100
解析：6号、15号与24号放在一组，则其余三个编号要么都比6
3
小，要么都比24大，比6 小时，有C5＝10种选法，都比24大时，
有C3合计30种选法，6号、15号与24在选厅时有两种6＝20种选法，选法，所以选取的种数共有(10＋20)×2＝60种，故正确选项为C.
答案：C
3．(2019学年福建省厦门外国语学校高二下学期期中考试)将编号为1，2，3，4的四个小球放入A，B，C三个盒子中，若每个盒子至少放一个球，且1号球和2号球不能放在同一个盒子，则不同的放法种数为 ( )
A．30 B．24 C．48 D．72
解析：由题意知4个小球有2个放在一个盒子里的种数是C24，把
3
这两个作为一个元素同另外两个元素在三个位置排列，有A3种结果，3而①②号小球放在同一个盒子里有A3＝6种结果，所以编号为①②的3小球不放到同一个盒子里的种数是C24A3－6＝30，故选A.
答案：A
4．(2019学年福建省厦门第一中学高二下学期期中考试)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有 ( )
A．10种 B．20种 C．36种 D．52种
解析：由题意得，把4个颜色不相同的球分为两类：一类是：一
13组1个，一组3个，共有C4C3＝4种，按要求放置在两个盒子中，共22
C4C2
有4种不同的放法； 另一类：两组各两个小球，共有A2＝3种不同
22
的放法，按要求放置在两个盒子中，共有3×A2＝6种，所以共有4
＋6＝10种不同的放法，故选A.
答案：A
5．我市正在建设最具幸福感城市，原计划沿渭河修建7个河滩主题公园，为提升城市品位、升级公园功能，打算减少2个河滩主题公园，两端河滩主题公园不在调整计划之列，相邻的两个河滩主题公园
不能同时被调整，则调整方案的种数为 ( )
A．12 B．8 C．6 D．4
解析：从中间5个选2个共有10种方法，去掉相邻的4种方法，共有6种方法，选C.
答案：C
6．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为 ( )
A．150种 B．180种 C．240种 D．540种
解析：先将5个人分成三组， (3，1，1)或(1，2，2)，分组方法有C35＋
22
C15C4C23
再将三组全排列有A故总的方法数有3＝6种，2＝25种，A2
25×6＝150种．
答案：A
7．将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法种数为( )
A．15 B．21 C．18 D．24
解析：将四个小球分成(2，1，1)组，其中2个球分给一个小朋友的分法有(红红)，(红白)，(红黄)，(白黄)四种．若(红红)，(红白)，(红黄)分给其中一个小朋友，则剩下的分给其余两个小朋友，共有
2
3×3×A2＝18种；若(黄白)分给其中的一个小朋友，则剩下的分给其
余两个小朋友，只有一种分法，共有1×3＝3种．由分类计数原理可得所有分法种数为18＋3＝21，应选B.
答案：B
8．旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为 ( )
A．24 B．18 C．16 D．10
解析：第一类，甲在最后一个体验，则有A33种方法；第二类，甲
23
不在最后一个体验，则有A1所以小李旅游的方法共有A3＋2A2种方法，12A2A2＝10种．故选D.
答案：D
9．(2019年湖南师范大学附属中学高三月考)把7个字符a，a，a，b，b，α，β排成一排，要求三个“a”两两不相邻，且两个“b”也不相邻，则这样的排法共有 ( )
A．144种 B．96种 C．30种 D．12种
2
解析：现排列b，b，α，β，若α，β不相邻，有C23A2＝6种，12
若α，β相邻，有C3A2＝6种，共有6＋6＝12种，从所形成的5个空3位中选3个插入a，a，a，共有12×C5＝120种，若b，b相邻时，从3所形成的4个空中选3个插入a，a，a，共有A33C4＝24种，所以三个
“a”两两不相邻，且两个“b”也不相邻，这样的排法共有120－24＝96种，故选B.
答案：B
10．(2019年安徽省宿州市高三上学期第一次教学质量检测)将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为 ( )