第五次 复积分的概念、柯西－古萨定理

一、填空题

1） 设c为沿原点z?0到点z?1?i的直线段，则

2?2zdz?__________。

c_sinzy2dz 。 ?1，则?2）设c是椭圆x?Cz?243）设c是z?e，?从??到?的一周，则

_i??Re(z)dz? 。

c4）设c为正向圆周

z?3，则?cz?zdz＝__________。 z二、沿原点路线计算积分

?3?i0z2dz

（1） 自原点至3+i的直线段；

（2） 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至3+i； （3） 自原点沿虚轴至i，再由i沿水平方向向右至3+i。

三、求积分

?C3z2dz的值，其中C为：

（1）从1?i到3?4i的直线段； （2）圆周

9

z?1?i?1的正向。

四、 试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？C是正向单位圆周

z?1。

（1）

dzdz （2） 2??1z?2z?4ccz?2 （3）

2ze?dz （4）?cdz

ic?z???z?2????2? 五、证明

六、计算积分

sinz?Cz2dz?2?e，其中C是单位圆z?1的一周。

1dz 2?z?1?1z?1?七、设f(z)在原点的某邻域内连续，试证明

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lim?f(rei?)d??2?f(0)

r?002?第六次 复合闭路定理 原函数与不定积分

柯西积分公式

一、填空题：

ez1 设c为负向圆周z?4，则?dz?__________。 5(z??i)c2 设c为正向圆周3 积分4 积分

z?1，则?Ccos2?z__________。

2z2?3z?1??i0zcosz2dz的值为 。

dz= 。

??e?i3?i2z5 设c为正向圆周

z?5，则?C3z?1的值为__________。

z2?2z?3二、沿指定曲线的正向计算下列积各积分

dzez,c:z?a?a; （2） ?5dz,c:z?1. (1)?22z?accz

（3）

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dzsinzdz,c:z?3;,c:z?2i?2; （4） 22????cz(z?1)cz?9三、 计算下列函数沿正向圆周的积分 （1）

2i3??4dz,其中 c:z?1?6 其中c：；（2）z?4?dz,??2??z?2i?cz?1c?z?1四、 计算积分

??zcsin2?4dz,其中C分别为：

?1z11(1)z?1?； (2)z?1?； (3)z?2.

22

五、 计算下列各题 （1）

?cos?ez?)d??? ?六、求积分?dz,从而证明?0ecos(sinzz?1?zsinzdz; （2）?(2?iz)dz

21i01

12