现代信号处理复习题
1. 试说明维纳滤波器和卡尔曼滤波器的主要异同？
2. LMS算法与最陡下降法有何异同？什么叫LMS算法的学习曲线？平均学习曲线和个别学习曲线的不同点是什么？为什么平均学习曲线的稳态值高于维纳滤波时的最小均方误差？
3.为什么不用信号的傅里叶变换而用功率谱描述随机信号的频率特性？周期图
?(?)?1作谱估计时，PXXN?x(n)en?0N?12?j?n 说明为什么可用FFT进行计算？周期图
的谱分辨率较低，且估计的方差也较大，说明造成这两种缺点的原因以及无论选什么样的窗函数，都难以从根本上解决问题的原因。
4.简述人工自适应系统的特点和建立自适应系统一般应该满足的要求。 5. 简述Wold分解定理。
6. 简述自适应滤波的最陡下降法基本思想。 7. 说明LMS算法与RLS算法的代价函数。
118.一个线性时不变因果系统由差分方程y(n)?y(n?1)?x(n)?x(n?1)描述，
42求该系统的频率响应。
1,1?，x(n)??x(0),???,x(3)???1,2,3,4?，则x(n)和h(n)的线9.若h(n)??h(0),h(1)???性卷积y(3)?。
10.已知一IIR数字滤波器的系统函数H(z)?通、高通、带通、带阻）
11.若x[n]是白噪声w[n]通过一个一阶LTI系统H(z)?2?1，求信号x[n]功率谱。 程，已知白噪声的方差σw1，则该滤波器的类型为（低
1?0.8z?11产生的随机过
1?0.25z?112. 描述AR模型的正则方程，即Yuler-Walker方程的矩阵。
13.设x(n)是一个宽平稳随机过程，均值为mx，自相关为rx(k)，若x(n)通过一个单位采样响应为h(n)的稳定线性时不变系统，写出输出随机过程y(n)的均值，自相关函数。
14.设x(n)为AR（1）过程，自相关序列为rx(k)?αk，试设计其最优线性预测器。
m?0,1,2,3 ，15. 设自相关函数为rx(m)??m，其中?为实数，试用Yuler-Walker
方程直接求解，再用Levinson-Durbin递推算法求解AR（3）模型参量。 16. 考虑由如下差分方程描述的二阶AR（2）过程u(n)：
u(n)?u(n?1)?0.5u(n?2)?v(n)
其中，v(n)是零均值、方差为0.5的白噪声。
（1） 写出该随机过程的Yuler-Walker方程
（2） 求u(n)的方差
111，K2?，K3?的三级格型滤波器。（10分） 42318.按照图1推导两个系统的输出互相关函数与输入互相关函数之间的关系。 17画出给定系数K1?x1(n)H1(z)y1(n)x2(n)H2(z)y2(n)
图1
219.设实平稳白噪声x(n)的方差是?x， 均值mx?0，让x(n)通过一个网络，网
络的差分方程为：y(n)?x(n)?ay(n?1)。式中a是实数。求网络输出的功率谱和自相关函数。
20、Wiener滤波器设计。 （1）观测数据
x(n)?d(n)?v(n)
式中，期望信号的相关函数Rd(k)?0.8，并且v(n)是一个均值为0，方差为1的白噪声。
（2）期望信号是一个AR(1)过程： d(n)?0.8d(n?1)?w(n)
2?0.36。式中w(n)是以白噪声，其均值为0，方差为?w期望信号d(n)与噪声x(n)k不相关，噪声x(n)与w(n)不相关，并且观测信号x(n)为实信号。
用Wiener滤波器对x(n)进行滤波，滤波器的输出作为期望信号d(n)的估计
?(n)，求d?(n)的表达式。 d
21、图2所示是一个具有两个权系数的单输入自适应线性组合器的原理图。信号
每个周期有N个取样，N?2，以保证输入取样不全为零。 （1）求性能曲面函数； （2）求性能曲面梯度公式； （3）求最佳权矢量； （4）求最佳均方误差值。
x(n)?sin(2?n)Nz?1w0w1?2?d(n)?2cos(n)N?y(n)???e(n)
图2
22、证明广义平稳随机过程的互相关互协方差函数的下列性质
Cxy(?)?Cyx(??)
Rxy(?)?Ryx(??) Rxy(?)?Rxx(0)Ryy(0)
23、一个简单的滑动平均过程由下式给出：
21 n?1,2,? y(n)?[x(n?1)?x(n)?x(n?1)], 3若x(n)的功率谱密度为Px(f)，求y(n)的功率谱密度。
12?5?7w?，根据特征曲面搜索的最速下降26法和牛顿法，试分别写出其参数w的调整算法。 24、一个滤波器的特性函数为??1?25、设线性组合器yk?w0xk?w1xk?1，画出它的原理图；当输入信号为
2?k2?k，期望输出信号为dk?2cos时，求出自相关矩阵R，互相关矩55阵P，特性函数，梯度和最佳权值。 xk?sin?0.2?0.18z?1?0.4z?2?z?326、已知滤波器的传递函数为H?z??，写出它对应的?1?2?31?0.4z?0.18z?0.2z格型滤波器，作原理图。 27、试给出第一特征函数和第二特征函数的定义，并推导随机变量的特征函数和矩函数之间关系。
28、令?x(t)?和?y(t)?是满足下列差分方程的平稳随机过程：
x(t)??x(t?1)?w(t) ?w(?~t)N0,(σ2)y(t)??y(t?1)?x(t) ?u(t) ?u(?~t)N0,(σ)2
式中??1，且?w(t)?和?u(t)?不相关，求?y(t)?的功率谱。
29、写出Yuler-Walker求AR模型公式，并写出Levinson-Durbin递推算法求解
模型参量过程。
30、一时变系统的状态转移方程和观测方程分别为
?11???x(n?1)??28?x(n)?v1(n)
11??82??和 y(n)?x(n)?v2(n) 式中 E[v1(n)]?0，
??12I n?k， E[v1(n)v1(k)]?? n?k?O T2??2I n?kE[v2(n)v2(k)]??，
n?k?O TTE[v1(n)v2(k)]?O ?n,k，
E[x(n)xT(n)]?I。
O和I分别为零矩阵和单位阵。求x(n)的更新公式。
31.已知输入信号向量u(n)的相关矩阵及与期望信号d(n)的互相关向量分别为
?21?Tp?[5 4]， R????12?且已知期望响应d(n)的平均功率E[d2(n)]?30 （1） 计算维纳滤波器的权向量
（2） 计算误差性能面的表达式和最小均方误差。 （3）