试卷类型：A

2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（理科）

2012.3

本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写

在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的

相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多

涂的，答案无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式V?1?x1?x?n?132Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．

方差s?2????x2?x?2?????xn?x??2x?x2???xn?，其中x?1. ??n一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的． 1．已知复数a?bi?i?1?i?（其中a,b?R，i是虚数单位），则a?b的值为

A．?2 B．?1 C．0 D．2 2．已知全集U?R，函数y?集合?eUA??B?

A．??2,?1? B．??2,?1? C．???,?2? D．??1,??? 3．如果函数f?x??sin??x????????0的相邻两个零点之间的距离为，则?的值为 ???126?1x?1的定义域为集合A，函数y?log2?x?2?的定义域为集合B，则

A．3 B．6 C．12 D．24

22224．已知点P?a，b?（ab?0）是圆O：x?y?r内一点，直线l的方程为ax?by?r?0，那么直

线l与圆O的位置关系是

A．相离 B．相切 C．相交

D．不确定

5．已知函数f?x??2x?1，对于任意正数a，x1?x2?a是f?x1??f?x2??a成立的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知两个非零向量a与b，定义a?b?absin?，其中?为a与b的夹角．若a=??3,4?， b=?0,2?，

则a?b的值为

A．?8 B．?6 C．8 D．6

7．在△ABC中，?ABC?60?，AB?2，BC?6，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的

概率为 A．

16 B．

13 C．

12 D．

23

8．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的

坐标?x,y,z?，若x?y?z是3的倍数，则满足条件的点的个数为

A．252 B．216 C．72 D．42 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）

9．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．

10．已知2≤?212 2 2 2 2 2 ?kx?1?dx≤4，则实数k的取值范围为 ．

2m?62正(主)视图 侧(左)视图

11．已知幂函数y??m?5m?7?x则实数m的值为 ．

在区间?0,???上单调递增，

2 12．已知集合A??x1≤x≤2?，B??xx?a≤1?，若AIB?A，

2 图1 俯视图 则实数a的取值范围为 ．

13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小

石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，

被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1?1，第2个五角形数记作a2?5，第3个五角形数记作

a3?12，第4个五角形数记作a4?22，……，若按此规律继续下去，则a5? ，若an?145，则n? ．

1

5

12

图2

22

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为5cm，点P是弦AB的中点，

OP?3cm，弦CD过点P，且

CPCD?13B C P O D ，则CD的长为 cm．

A 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的

参数方程分别为l：??x?t?2,（s为参数）和C：?（t为参数）， 2?y?1?s?y?t?x?1?s,图3

若l与C相交于A、B两点，则AB? ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?tan?3x??????的值； ?9?????3??????，若，求f??2cos??????2?4?34????的值． ?????． 4?（1）求f?（2）设????, 17．（本小题满分12分）

如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中

的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示． 已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同． （1）求a的值；

（2）求乙组四名同学数学成绩的方差；

（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学

成绩之差的绝对值为X，求随机变量X的分布列和均值（数学期望）．

（温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．） 18．（本小题满分14分）

如图5所示，在三棱锥P?ABC中，AB?BC?AD?1，CD?3，PD?甲组 9 7 6 6

8

乙组 7

3

5

9 a 图4

6，平面PAC?平面ABC，PD?AC于点D，

P3．

（1）证明△PBC为直角三角形；

（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

A

DBC图5

19．（本小题满分14分）

等比数列?an?的各项均为正数，2a4,a3,4a5成等差数列，且a3?2a22． （1）求数列?an?的通项公式； （2）设bn?

20．（本小题满分14分）

已知椭圆x?22n?5?2n?1??2n?3?an，求数列?bn?的前n项和Sn．

y24?1的左，右两个顶点分别为A、B．曲线C是以A、B两点为顶点，离心率为5的双曲线．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T． （1）求曲线C的方程；

（2）设P、T两点的横坐标分别为x1、x2，证明：x1?x2?1；

21．（本小题满分14分）

设函数f(x)?e(e为自然对数的底数)，gn(x)?1?x?（1）证明：f(x)≥g1(x)；

（2）当x?0时，比较f(x)与gn(x)的大小，并说明理由；

?2??2??2??2?*（3）证明：1??????????L??（）． n?N≤g1?e??n??2??3??4??n?1?123nxx22!?x33!?L?xnn!（n?N*）．

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2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几

种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答

未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．

题号 答案

二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分

30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．

9．4331 D 2 B 3 C 4 A 5 B 6 D 7 C 8 A 10．?,2? 11．3 12．?1,2? 13．35，10 14．62

3???2?15．2 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：f?????????tan????………………………………………………1分 9?34?????tan?tan34………………………………………………3分 ???1?tantan34?3?11?3??2?3．…………………………………………………4分

（2）解：因为f????3???3?????tan????…………………………………………5分 ??4?44???tan?????……………………………………………………6分

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?tan??2．…………………………………………………7分

所以

sin?cos??2，即sin??2cos?． ①

因为sin2??cos2??1， ② 由①、②解得cos2????15．……………………………………………………9分

因为????,??5253??，所以，．………………………10分 cos???sin????552????? ……………………………………11分 ?cos?cos?sin?sin?444?所以cos????25???????525?52?2310．…………………12分 ?????210?

17．（本小题满分12分）

（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） （1）解：依题意，得?(87?89?96?96)?4114?(87?90?a?93?95)，………………1

分

解得a?3.……………………………………………………………………2分 （2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为x?92.……………………………3分

所以乙组四名同学数学成绩的方差为s?21??87?92?2??93?92?2??93?92?2??95?92?2??9.

?4?…………5分

（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4?4?16种可能的结

果．……………6分 这两名同学成绩之差的绝对值X的所有情况如下表：

87 93 93 95 X 甲 87 乙 89 2 4 4 6 96 9 3 3 1 96 9 3 3 1 0 6 6 8 所以X的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，

9.…………………………………………………8分

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由表可得P(X?0)?P(X?4)?116216，P(X?1)?，P(X?6)?216316，P(X?2)?，P(X?8)?116116，P(X?3)?，P(X?9)?416216， .

所以随机变量X的分布列为：

X P 0 1161 2161162 1164163 4164 2166 3163168 1169 216 ……………………10分

随机变量X的数学期望为 EX?0??6816116??1?174216?2??3??4?216?6??8?116?9?216………11分

.……………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）

（1）证明1：因为平面PAC?平面ABC，平面PAC?平面ABC?AC， PD?平面

PAC，PD?AC，

所以PD?平面ABC．…………………………………………………………………………………1分

记AC边上的中点为E，在△ABC中，AB?BC，所以BE?AC．

因B?E2为?BA2?2B??6B，2CAC?4，所以

?6?C2．………………CE?23分 ?P因为PD?AC，所以△PCD为直角三角形． 因为PD?所以PC?3，CD?3， PD?CD22??3??2?2?3?23．………4分

2连接BD，在Rt△BDE中，因为BE?所以BD?BE?DE2222，DE?1，

AEDB

?1?2C?3．…………5分

因为PD?平面ABC，BD?平面ABC，所以PD?BD． 在Rt△PBD中，因为PD?所以PB?PD?BD22

3，BD?223， ?6．………………………………6分

??3???3?6，PB?在?PBC中，因为BC?所以BC?PB?PC．

2226，PC?23，

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所以?PBC为直角三角形．……………………………………………………7分

证明2：因为平面PAC?平面ABC，平面PACI平面ABC?AC， PD?平面

PAC，PD?AC，

所以PD?平面ABC．……………………………………………………1分 记AC边上的中点为E，在△ABC中，因为AB?BC，所以BE?AC． 因

B?E2为

?BA2?2B??6B，

2CAC?4，所以

??6C2．………………CE?23分 ?连接BD，在Rt△BDE中，因为?BED?90o，BE?所以BD?BE?DE222，DE?1，

??2?2?1?23．………………………………4分

在△BCD中，因为CD?3，BC?6，BD?3，

所以BC2?BD2?CD2，所以BC?BD．………………………………………5分 因为PD?平面ABC，BC?平面ABC，

所以BC?PD．…………………………………………………………6分 因为BD?PD?D，所以BC?平面PBD．

因为PB?平面PBD，所以BC?PB．

所以?PBC为直角三角形．……………………………………………………7分

（2）解法1：过点A作平面PBC的垂线，垂足为H，连PH，

则?APH为直线AP与平面PBC所成的角．…………………………………8分

由（1）知，△ABC的面积S?ABC?因1312?AC?BE?22．…………………9分

为1?S?B23PD?3，所以

VP????A???C326PD3A2．…………………………10分

BC由（1）知?PBC为直角三角形，BC?所以△PBC的面积S?PBC?126，PB?12?6?6，

6?3．…………………11分

?BC?PB?因为三棱锥A?PBC与三棱锥P?ABC的体积相等，即VA?PBC?VP?ABC，

1263263即?3?AH?3，所以AH?．……………………………………12分

在Rt△PAD中，因为PD?3，AD?1，

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所以AP?PD?AD22???32?1?2．………………………………13分

226因为sin?APH?AHAP?32?63．

所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为

63．…………………………………………………14分

解法2：过点D作DM∥AP，设DM?PC?M， 则DM与平面PBC所成的角等于AP与平面PBC所成的角．……………………………………8分

由（1）知BC?PD，BC?PB，且PD?PB?P， 所以BC?平面PBD． 因为BC?平面PBC，

所以平面PBC?平面PBD．

过点D作DN?PB于点N，连接MN， 则DN?平面PBC．

所以?DMN为直线DM与平面PBC所成的角．……10分 在Rt△PAD中，因为PD?所以AP?PD?AD22PM AN DB C

3，AD?1， ???3?CDCA2?1?2．……………………………………11分因DM2?342为DM∥AP，所以DM?32DMAP，即，所以．………………………………12分 3，PB?3?6由（1）知BD?6，且PD?3623，

所以DN?PD?BDPB??．……………………………………13分

6因为sin?DMN?DNDE?2?6， 332所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为

63．…………………………………………………14分

解法3：延长CB至点G，使得BG?BC，连接AG、PG，……………………………………8分 在△PCG中，PB?BG?BC?

P6，

K AEDC 高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家

所以?CPG?90o，即CP?PG．

在△PAC中，因为PC?23，PA?2，AC?4， 所以PA2?PC2?AC2， 所以CP?PA． 因为PAIPG?P， 所以CP?平面

PAG．…………………………………………………………………………………9分

过点A作AK?PG于点K， 因为AK?平面PAG， 所以CP?AK． 因为PGICP?P，

所以AK?平面PCG．

所以?APK为直线AP与平面PBC所成的

角．……………………………………………………11分 由（1）知，BC?PB， 所以PG?PC?23．

在△CAG中，点E、B分别为边CA、CG的中点，

所以AG?2BE?22．………………………………………………………12分 在△PAG中，PA?2，AG?22，PG?23， 所以PA2?AG2?PG2，即PA?AG．……………………………………………………………13分

因为sin?APK?AGPG?2223?63． 所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为63．…………………………………………………14分

解法4：以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系E?xyz，……………………………………………………………………8分

则A?0,?2,0?，B??2,0,0，C?0,2,0?，P0,?1,3．

???Pz ????????于是AP?0,1,3，PB???????2,1,?3，PC?0,3,?3． ???

AED

Cy

x

B 高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家

设平面PBC的法向量为n??x,y,z?，

??????n?PB?0,则????? ??n?PC?0.??2x?y?3z?0,即? ??3y?3z?0.取y?1，则z?3，x?2．

所以平面PBC的一个法向量为n??2,1,3．………………………………12分

?设直线AP与平面PBC所成的角为?，

????AP?n????46则sin??cos?AP,n?????． ???32?6AP?n63所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为．………………………………14分

若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下： （1）以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系

E?xyz，……………………………………………………………………………z1 分 P 则B?2,0,0，C?0,2,0?，P0,?1,3．

???????????于是BP??2,?1,3，BC??2,2,0．

????????????因为BP?BC??2,?1,3??2,2,0?0，

????AED

Cy

????????所以BP?BC． x

B 所以BP?BC． 所以?PBC为直角三角形．…………………………………………………………7分 （2）由（1）可得，A?0,?2,0?．

????????于是AP?0,1,3，PB????????2,1,?3，PC?0,3,?3．

???设平面PBC的法向量为n??x,y,z?，

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???????n?PB?0,?2x?y?3z?0,则?????即? ??n?PC?0.??3y?3z?0.取y?1，则z?3，x?2．

所以平面PBC的一个法向量为n??2,1,3．…………………………………12分

?设直线AP与平面PBC所成的角为?，

????AP?n????46则sin??cos?AP,n?????． ???32?6AP?n63所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为

19．（本小题满分14分）

．……………………………14分

（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1）解：设等比数列?an?的公比为q，依题意，有

2a4?4a5?a?,??3?a3?a4?2a5,即……………………………………………2分 2??2??a3?2a2.?a?2a2.2?3234??a1q?a1q?2a1q,所以?…………………………………………………………3分

222??a1q?2a1q.?a1???由于a1?0，q?0，解之得??q???1?a?,?12或?2………………………………5分 1?q??1..?2,121又a1?0,q?0，所以a1?12,q?，…………………………………………6分

n?1?*所以数列?an?的通项公式为an???（n?N）．………………………………7分

2??（bn?22n?5）解?an?：2n?5由?12n（1），得

?2n?1??2n?3?所以bn???2?2n?1??2n?3?．………………………………8分

?2n?1??1??n 2n?3?21

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?1(2n?1)2n?1?1(2n?3)2n．………………………………………………10分

所以Sn?b1?b2?L?bn

1?1????35?2??1?11??1 ??L??????2?n?1n?5?27?22n?122n?32??????????13?1?2n?3?2n．

故数列?bn?的前n项和Sn?13?1?2n?3?2n．…………………………………14分

20．（本小题满分14分）

（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）

（1）解：依题意可得A(?1,0)，B(1,0)．……………………………………………1分

yb22设双曲线C的方程为x?2?1?b?0?， 因为双曲线的离心率为5，所以1?b12?5，即b?2．

所以双曲线C的方程为x?2y24?1．……………………………………………3分

（2）证法1：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2），直线AP的斜率为k（k?0）， 则直线AP的方程为y?k(x?1)，………………………………………………4分 ?y?k?x?1?,?2联立方程组?…………………………………………………5分 y2?1.?x??4整理，得?4?k2?x2?2k2x?k2?4?0，

4?k4?k22解得x??1或x?．所以x2?4?k4?k22．……………………………………6分

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同理可得，x1?4?k4?k22．……………………………………………………………7分

所以x1?x2?1．……………………………………………………………………8分

证法2：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2）， 则

kAP?y1x1?1，

kAT?y2x2?1．…………………………………………………………………………4分

因为kAP?kAT，所以

y1x1?1?y2x2?1，即y122?x1?1??y222?x2?1?y142．………………5分

因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上，所以x1?2?1，x2?2y242?1．

即y12?4?x12?1?，y22?4?1?x22?．…………………………………………6分 所以

4?x1?1?2?x1?1?2?4?1?x222??x2?1?，即x1?1x1?1?1?x2x2?1．…………………………………7分

所以x1?x2?1．………………………………………………………………………8分 证法3：设点P(x1,y1)，直线AP的方程为y?y1x1?1(x?1)，……………………4分

y1?y??x?1?,?x1?1?联立方程组?………………………………………………5分

2?2yx??1.??422?x2?2y12x?y12?4(x1?1)2?0， 整理，得?4(x?1)?y11??解

x?4(x1?1)?y14(x1?1)?y122得

222x??1或

2．…………………………………………………………………6分

将y1?4x1?4代入x?4(x1?1)?y14(x1?1)?y12222，得x?1x1，即x2?1x1．

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所以x1?x2?1．……………………………………………………………………8分 （3）解：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2），

????????则PA???1?x1,?y1?，PB??1?x1,?y1?．

????????2因为PA?PB?15，所以??1?x1??1?x1??y1?15，即x12?y12?16．…………9分

因为点P在双曲线上，则x1?2y142?1，所以x1?4x1?4?16，即x1?4．

222因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1?x1?2．………………………10分 因为S1?212|AB||y2|?|y2|，S2?2212|OB||y1|?212|y1|，

22所以S1?S2?y2?分

14y1??4?4x22???x21?1??5?x1?4x2．…………………11

由（2）知，x1?x2?1，即x2?2设t?x1，则1?t?4，

1x1． S1?S2?5?t?4t224t． 4t2设f?t??5?t?，则f??t???1???2?t??2?t?t2，

当1?t?2时，f??t??0，当2?t?4时，f??t??0， 所以函数f?t?在?1,2?上单调递增，在?2,4?上单调递减． 因为f?2??1，f?1??f?4??0，

22所以当t?4，即x1?2时，?S1?S2?min?f?4??0．………………………12分

当t?2，即x1?2时，?S1?S222?max?f?2??1．……………………………13分

22所以S1?S2的取值范围为?0,1?．…………………………………………14分

说明：由S12?S22?5??x12?4x22??5?4x1x2?1，得?S1?S222?max?1，给1分．

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21．（本小题满分14分）

（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）证明：设?1(x)?f(x)?g1(x)?ex?x?1，

所以?1?(x)?ex?1．…………………………………………………………1分 当x?0时，?1?(x)?0，当x?0时，?1?(x)?0，当x?0时，?1?(x)?0． 即函数?1(x)在(??,0)上单调递减，在(0,??)上单调递增，在x?0处取得唯一极小值，………2分

因为?1(0)?0，所以对任意实数x均有 ?1(x)≥?1(0)?0． 即f(x)?g1(x)≥0，

所以f(x)≥g1(x)．……………………………………………………………3分 （2）解：当x?0时，f(x)?gn(x)．……………………………………………4分

用数学归纳法证明如下：

①当n?1时，由（1）知f(x)?g1(x)． ②假设当n?k（k?N*）时，对任意x?0均有f(x)?gk(x)，……………5分 令?k(x)?f(x)?gk(x)，?k?1(x)?f(x)?gk?1(x)，

??1?x??f(x)?gk(x)， 因为对任意的正实数x，?k?1?(x)?f??x??gk由归纳假设知，?k?1?(x)?f(x)?gk(x)?0．……………………………6分 即?k?1(x)?f(x)?gk?1(x)在(0,??)上为增函数，亦即?k?1(x)??k?1(0)， 因为?k?1(0)?0，所以?k?1(x)?0． 从而对任意x?0，有f(x)?gk?1(x)?0． 即对任意x?0，有f(x)?gk?1(x)．

这就是说，当n?k?1时，对任意x?0，也有f(x)?gk?1(x)． 由①、②知，当x?0时，都有f(x)?gn(x)．……………………8分 （3）证明1：先证对任意正整数n，gn?1??e．

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由（2）知，当x?0时，对任意正整数n，都有f(x)?gn(x)． 令x?1，得gn?1??f?1?=e．

所以gn?1??e．……………………………………………………………………9分 再

1证

2对

3任

n意正整数n，

111?2??2??2??2?． ?1?1?????1??????????????g1n???2!3!n!?2??3??4??n?1?1?2?要证明上式，只需证明对任意正整数n，不等式?成立． ??n!?n?1??n?1?即要证明对任意正整数n，不等式n!????2?nn（*）成

立．……………………………………10分

以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）： 方法1（数学归纳法）：

?1?1?①当n?1时，1!???成立，所以不等式（*）成立．

?2?1②假设当n?k（k?N*）时，不等式（*）成立，

?k?1?即k!???．……………………………………………………………………11分

?2?k?k?1??k?1?则?k?1?!??k?1?k!??k?1???2????2??2?kk?1．

为

因?k?2????2??k?1????2?k?1k?1k?1?k?2?????k?1????1???????0k?1?????k?????????，…

12分

?k?1?所以?k?1?!?2???2?k?1?k?2?????2?k?1．………………………………………13分

这说明当n?k?1时，不等式（*）也成立．

由①、②知，对任意正整数n，不等式（*）都成立． 综上可知，对任意正整数

n，不等式

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?2??2??2??2?1???????????????gn?1??e成立． ?2??3??4??n?1?123n………………14分

方法2（基本不等式法）： 因为n?1?n?12，……………………………………………………11分 ?n?1??2?n?12，

……，

1?n?n?12，

将以上n个不等式相乘，得n!??n?1n???．…………………………………13分

?2?所以对任意正整数n，不等式（*）都成立． 综上可

知，

对任意正整数n，不等11??2?223n??????2??g2???2?3?????4????n??n?1?1?成立．?e ?????……………14分

式