度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。
泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。
一、度量空间的进一步例子 1、度量空间
设x是一个集合，若对于x中任意两个元素x,y ,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：
d (x1° , y ) ? 0, d ( x , y ) ? 0 的充要条件为x=y d (x2° , y ) ? d ( x , z ) ? d ( y , z ) 对任意的z都成立，
则称 d(x,y) 是 x,y 之间的距离，称 d(x,y)为度量空间或距离空间。x 中的元素称为点。 2、常见的度量空间 （1）离散的度量空间
?1,ifx?yx,? X设 x是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 y ，令 d(x,y)???0,ifx?y 称 ( X ,d ) 为离散的度量空间。
（2）序列空间S
令S表示实数列（或复数列）的全体，对S中的任意两点
x?(?1,?2,...,?n,...),y?(?1,?2,...,?n,...), ?1|???|令 d ( x , y ) ? ? i i i 称 ( S , d ) 为序列空间。
i?121?|?i??i|
（3）有界函数空间B(A）
设A是一个给定的集合，令B(A)表示A上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两点x,y ，定义 d(x,y)?sup|x(t)?y(t)|t?A（4）可测函数空间
设M(X)为X上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m为勒贝格测度，若 m ( X ) ? ? ，对任意两个可测函数 f (t ) 及 g(t)|f(t)?g(t)|dt) ? g) | ，所以这是X上的可积函数。令 d(f,g)??由于 | f ( t ( t X1?|f(t)?g(t)|?1 1?|f(t)?g(t)|（5）C[a,b]空间
令C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对 C[a,b]中任意两点x,y，定义 d(x,y)?max|x(t)?y(t)|a?t?b
二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间 1、收敛点列 设 { x 是（X，d）中点列，如果存在 x ? X ，使 limd(xn,x)?0}nn??}则称点列 { xn } 是（X，d） 中的收敛点列，x是点列 { x 的极限。 n收敛点列性质：
（1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯一的。
（2）M是闭集的充要条件是M中任何收敛点列的极限都在M中。
2、收敛点列在具体空间中的意义 （1）n 维欧式空间中：
xm?(?1(m),?2(m),...,?nm??(m)),m?1,2,...,(m)为 R n 中的点列， x?(?1,?2,...,?n)?Rn??i,(m??)1?i?nlimd(xm,x)?0??i即： m 依坐标收敛于 { x } 按欧式距离收敛于x 的充要条件是 xm
（2）序列空间S中：
(m)limd(xm,x)?0??i??i(m??), m??
（3）C[a,b]空间 设 { x 及X分别为C[a,b] 中的点列及点， d(x,x)?max|x(t)?x(t)|}nnna?t?b
limd(xn,x)?0?{xn}在[a,b]上一致收敛于 xn??
（4）可测函数空间M(X)
}limd(fn,f)?0?fn(t)?f(t)设 { f n 及 f分别为可测函数空间中的点列及点， n??
3、稠密集，可分空间
（1）设X是度量空间，E和M是X中的两个子集，令 表示M的闭包，如果 E ? M ，那么称集M在集E中稠密。 等价定义：
如果E 中任何一点x 的任何邻域都含有集M中的点，就称M在E中稠密。
? E对任一 x ，有M中的点列 { x n } ，使得 xn?x(n??)（2）当E=X时，称集M为X的一个稠密子集。
（3）如果X有一个可数的稠密子集时，称X为可分空间。
三、连续映射
1、度量空间中的连续性
设 X=(X,d)，Y=（Y，d） 是两个度量空间，T是X到Y中的映射, x0?X,0)?? 如果对于任意给定 ? ? ，存在 ? ? 0，使对X中一切满足 d ( x , x 0
?的x，成立 d ( Tx ,Tx 0 ) ? ? 则称T在 x 0 连续。
我们也可以用集显来定义映射的连续性
连续性的极限定义
设T是度量空间(X,d)到（Y，d） 中的映射，那么T在 x0?X,Txn?Tx0(n??)?x(n??)连续的充要条件为当 x n 0 时，必有
2、连续映射
如果映射T在X的每一点都连续，则称T是X上的连续映射。 称集合 { x | x ? X ,Tx ? M ? Y } 为集合M在映射T下的原像。 定理：
度量空间X到Y的映射T是X上的连续映射的充要条件为Y中任意开集M的原像 T ? 1M 是X中的开集。
xm?(?1(m),?2(m),...,?n(m),...),m?1,2,...,为 S中的点列， x?(?1,?2,...,?n,...)?S
四、柯西点列和完备度量空间 1、柯西点列
设 X=(X,d)是度量空间， { x n } 是X中点列，如果对任何事先给定的 ? ? 0 ，存在正整数 N ? N (? ) ，使当n，m>N时，必有 d (x n , x m ) ? ? 则称 { x 是X中}n的柯西点列或基本点列。
总结：在实数空间当中，柯西点列一定是收敛点列；但是在一般的度量空间当中，柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列一定是柯西点列。 2、完备的度量空间
如果度量空间(X,d)中每一个柯西点列都在(X,d)中收敛，则称(X,d)是完备的度量空间。
子空间完备性定理
完备度量空间X的子空间M，是完备空间的充要条件是：M是X中的闭子空间。
五、度量空间的完备化 1、等距同构映射
设(X,d)，( X? , d? ), 是两个度量空间，如果存在X到 X? 的保距映射T ，即 d ? (Tx , Ty ) ? d ( x , y) ，则称 (X,d) 和 ( X ? , d? ), 等距同构，此时 T称为X 到上的等距同构映射。
六、压缩映射原理及其应用
作为完备度量空间概念的应用，我们介绍巴纳赫的压缩映射原理，它在许多关于存在唯一性的定理（例如微分方程，代数方程，积分方程等）的证明中是一个有力的工具。
在介绍压缩映射原理前，我们来介绍压缩映射以及不动点 1、压缩映射
设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数a ，0 几何意义：压缩映射就是使映射后距离缩短a倍的映射。 2、不动点 设X为一个集合，T是X到X的一个映射，如果 x * ? X ，使得 Tx * ? x * ，则称x*为映射T的不动点。 3、压缩映射定理 设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点。注意： a.完备度量空间中的压缩映射必有唯一的不动点。 b.完备性是保证映射的不动点的存在，至于不动点的唯一性，并不依 赖于X的完备性。 压缩映射具有连续性，即对任何收敛点列 x n ? x 0( n ? ? ) 必有 Txn?Tx0(n??) X ? 八、 赋范线性空间和巴拿赫空间 1、赋范线性空间 设X是实（或复）的线性空间，如果对于每个向量 x ? X ，有一个确定的实数，记为 x 与之对应，并且满足： 1° x ? 0 且 0 等价于x=0 x ? 2° ? x ? ? x 其中 a 为任意实（或复）数； 3° x ? y ? x ? y,x,y?X则称 x 为向量 x 的范数，称X按范数成为赋范线性空间。 注：范数类似于普通向量的长度 2、关于极限的定义（依范数收敛） 设 } 是X中一点列，如果存在 x ? X ，使 ||xn?x||?0(n??){ xn则称 { x n n ? x (n ? ? ) 或 limxn?x} 依范数收敛于 x ，记为 xn?? 3、赋范线性空间的性质 1°赋范线性空间不仅是线性空间，也是一个度量空间。 y ) ? || x ?如果令 d ( x , y ||, (x , y ? X ), 可以验证 的d（x，y） 是X上的 距离。 {xn}依范数收敛于 x 等价于 { x n } 按距离收敛于x 称 d（x，y）为由范数 || x || 导出的距离。 ?d(x?y,0)?d(x,y)度量和线性结构之间的协调性： ??d(?x,0)?|?|d(x,0) 2°范数 || x || 是 x 的连续函数。 4、巴拿赫空间及常用例子 完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。 （1）欧式空间 R n ，对每个 x ? ? R n ，定义 ? ( ? , ? 2 ,...,)1n 22||x||?|?|???|?|1n 欧式空间 R n 按上述范数成Banach空间。 C[a,b ]||x||?max|x(t)|（2）空间，对每个 x ?，定义 a?t?b空间 C[a，b] 按上述范数成Banach空间。 （3）空间 l ?，对每个 x ? 1 , ? 2 ,...) ? l ? ，定义 ||x||?sup|?j|(?j空间 l ? 按上述范数成Banach空间。