第一章 复数与复变函数

本章知识点和基本要求

掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算； 熟悉复平面、模与辐角的概念；

熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念；理解复变函数的概念； 理解复变函数的极限和连续的概念。

一、填空题

1、若等式i(5?7i)?(x?i)(y?i)成立，则x?______, y?_______. 2、设(1?2i)x?(3?5i)y?1?3i，则x? ，y?

12+3i3、若z=-，则z=

i1-i4、若z=(3+i)(2-5i)，则Rez= 2i45、若z?i?2?i，则z? 1?i6、设z?(2?i)(?2?i)，则argz?

7复数z?1?i的三角表示式为 ，指数表示式为 。 8、复数z??12?2i的三角表示式为 _________________，指数表示式为

_________________. 9、设z1?2i,z2i?4?1?i，则Arg(z1z2)= _ _____. 10、设z?2e,则Rez=____________. Im(z)? 。z= 11、.方程z3?27?0的根为_________________________________.

12、一曲线的复数方程是z?i?2，则此曲线的直角坐标方程为 。

13、方程Im(i?z)?3表示的曲线是__________________________. 14、复变函数w?z?2的实部u(x,y)?_________,虚部v(x,y)?_________. z?1- 1 -

15、不等式z?1?z?1?4所表示的区域是曲线 的内部。

316、1=

二、判断题（正确打√，错误打?）

1、复数7?6i?1?3i. ( ) 2、若z为纯虚数，则z?z. ( ) 3、若 a为实常数，则a?a （ ） 4、复数0的辐角为0.

5、f(z)?u?iv在z0?x0?iy0点连续的充分必要条件是u(x,y),v(x,y)在

(x0,y0)点连续。 （ 6、设z1,z2为复数，则z1z2?z1?z2。 （ 7、z1?z2?z1?z2 （ 8、参数方程z?t2?ti （t为实参数）所表示的曲线是抛物线y?x2. (

三、单项选择题

1、下列等式中，对任意复数z都成立的等式是 （ ）

A.z·

z=Re(z·z) B. z·

z=Im(z·z) C. z·

z=arg (z·z)

D. z·

z=|z| 2、方程z3?8 的复根的个数为 （ ）

A. 3个 B. 1个 C. 2个 D. 0个 3、当z?1?i1?i时，z100?z75?z50的值等于 （ ）

A i B ?i C 1 D ?1 4、方程z?2?3i?2所代表的曲线是 （ ）

A 中心为2?3i，半径为2的圆周 B中心为?2?3i，半径为2的圆周 C中心为?2?3i，半径为2的圆周 D中心为2?3i，半径为2的圆周

- 2 -

） ）

)

） 四、计算题

1．求出复数z?(?1?i3)4的模和辐角。

22．设z?x?iy满足Re(z?3)?4,求x与y的关系式

3、将复数z?12?6i化为三角表示式和指数表示式。

4、求复数1-cosj+isinj,(0＃j

- 3 -

p)的三角表示式、指数表示式及幅角主值。

5．将直线方程2x?3y?1化为复数形式。

6、求以下根式的值： （1） ?2?2i

(2)

3i (3) - 4 -

41 第二章 解析函数

本章知识点和基本要求

理解复变函数的导数及复变函数解析的概念； 掌握复变函数解析的C-R条件，并能利用C-R条件判断复变函数的可导性和解析性；

掌握解析函数的基本性质；

了解指数函数、三角函数及对数函数的定义及它们的主要性质。

一、填空题

1、Ln(1?i)的主值为

2、Ln(-i)= ，主值为 3、设ez??3?4i , 则Re(iz)?_________________ 4、3i?_____________________________. 5、(1?i)i?________________________. 6、i1?i? 7、指数函数ez的周期是 8、设f(z)?(1?z)e?z，则f?(z)? 9、设f(z)?x3?y3?ix2y2，则f?(1?i)? 10、已知函数f(z)=(2x+1)y+v(x,y)i解析，则f￠(i)= 11、.函数f(z)?u?iv在z0?x0?iy0点连续是f(z)在该点解析的_________条件。 二、判断题（正确打√，错误打?）

1、.若f?(z)在区域D内处处为零，则f(z)在D内必恒为常数。 （ ）

2、.若f(z)在z0点不解析，则f(z)在z0点必不可导。 （ ） 3、函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0可微等价于u(x,y)和v(x,y)在点

(x0,y0)可微。 （ ）

- 5 -

4、sinz?1.. （ ） 5、函数ez是周期函数。 （ ） 6、设函数f(z)在点z0处可导，则f(z)在点z0处解析。 （ ） 7、对于任意的复数z1,z2，等式Ln(z1.z2)?Lnz1?Lnz2恒成立。 （ ） 8、不等式Re(z)?2 表示的是有界闭区域。 （ ） 9、对于任意的复数z，整数n，等式Lnzn?nLnz恒成立 （ ）

三、单项选择题

1、下列点集是单连域的是 （ ）

A．Re(z)>2 B.1

C.z￡1 D.2＃argZ2+p

2、下列所示区域中是多连域的为 （ ） A.Imz?0 B.Rez?0 C.0?z?1 D.

?4?argz??3

3、函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的 （ ）

A．充分不必要条件 B.必要不充分条件

C. 充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 4、下列说法正确的是 （ ）

A、f(z)在z0可导的充要条件是f(z) 在z0处解析。

B、f(z)在z0可导的充要条件是 u,v在z0处偏导数连续且满足C?R条件。 C、f(z)在z0可导的充要条件是f(z)在z0处连续。

D、f(z)在z0可导的充要条件是u,v在z0处可微且满足C?R条件 5、在复平面上，下列关于正弦函数sinz的命题中，错误的是（ ） A.sinz是周期函数 B.sinz是解析函数 C.|sinz|?1

D.(sinz)??cosz

6、以下说法中，错误的是 （ ）

A．复指数函数ez具有周期 B.幂函数za(a为非零的复常数)是多值函数 C．对数函数Lnz为多值函数 D.在复数域内sinz和cosz都是有界函数 7、设f(z)?sinz，则下列命题中错误的是（

- 6 -

）。

A．f(z)在复平面内处处解析 B．f(z)以2?为周期

eiz?e?izC．f(z)? D．f(z)是无界的

2四、计算题

判断下列函数在何处可导，在何处解析？ (1)f(z)?2x3?3y3i

(2)f(z)?(x?y)2?2(x?y)i

(3) f(z)?xy2?ix2y

- 7 -

第三章 复变函数的积分

本章知识点和基本要求

了解复变函数积分的定义及性质； 会求复变函数的积分；

理解柯西积分定理，掌握柯西积分公式；0 掌握解析函数的高阶导数公式；

了解解析函数无限次可导的性质；会综合利用各定理计算闭路积分。

一、填空题

1、设曲线C是正向圆周z?2，则??C11dz? ，dz? ，?2?(z?1)z?1C??(z?1)Cez2dz? 。

2、设C为从点z1??i到点z2?0的直线段，则?zdz?_______.

C3、若C为正向圆周z?2，则??1dz?________. Cz2z2?z?1dz，??2，3?5)i?__ ___,f(1)? . 4、若f(?)??则f(?z??z?2f?(1)?

ez________ 5、??cz?3dz(c:z?4)的值是

二、单项选择题

1、若f(z)在D内解析，?(z)为f(z)的一个原函数，则（ ） A.f?(z)??(z) C.??(z)?f(z)

B. f??(z)??(z) D. ???(z)?f(z)

2、下列积分中，积分值不为0的是 （ ）

3zA.??(z?2z)dz ，z?1?2 B.??edz ，z?2

Cc - 8 -

C.??csinzcoszdz，z?1 D.?dz，z?2 ?zz?1c三、计算题

1、沿下列路径计算积分?zdz

C(1) 从原点到3?i的直线段

(2) 从原点沿实轴到3，再从3垂直向上到3?i。

2、沿下列路径计算积分?z2dz

C(1)从原点到1?i的直线段

(2)从原点沿实轴到1，再从1垂直向上到1?i。

3、计算?coszdz。 4、计算积分?0i3?i0(2z?3)dz.

5、?(x?y?ix2)dz，其中C是从点0到1?i的直线段。

C

- 9 -

6、设C为从-2到2的上半圆周，计算积分? 7、??

8、计算积分??

9、计算??

- 10 -

C2z?3dz的值。

Cz1dz，C为正向圆周z?2 z2?1dz，其中C为圆周Z?3，且取正向。

C(z?i)(z?4)2z?1?2idz，其中C为正向圆周z?3.

C(z?1)(z?2i)10、求下列积分之值（积分沿闭曲线的正向）

z?1 （1） ??cz(z?2)dz，z?3 （2） ??dzi(z?)(z?2)c，z?1

（3） ??coszcz3dz，

z?1 - 11 -

2(4)

??eizc(z?i)3dz，z?i?1

第七章 傅里叶变换

本章知识点和基本要求

掌握傅氏积分定理、理解傅氏积分公式； 理解傅立叶变换及傅立叶逆变换的概念； 了解?函数的概念、性质及其傅氏变换， 了解傅氏变换的物理意义；

掌握傅氏变换的性质，熟悉常用傅氏变换对。

一、填空题

ì0 ,t<0??1、设f(t)=í-5t，则F[f(t)]= ?e,t30???0, t?02、设f(t)????t，则F[f(t)]?________

e, t?0?3、F[1]?_______ 4、设F[f(t)]?1，则f(t)? ； ??i?5、设f(t)=sin2t，则F[f(t)]= ； 6、设F[f(t)]=F(w)，则F[(t+5)f(t)]= ；

7、设F[f(t)]?F(?)，t0 为实常数，则F[f(t?t0)]? ； 8、F[?(t?t0)]? ；

9、设F[f(t)]=F(w)，则f(1?t)的傅氏变换F[f(1?t)]? ； 10、F[f(t)]?F(?)，则F[?t??f(?)d?]?_______

211、已知f(t)?t，且F[f(t)]???2，则F?1[?2]? 2(??2)二、单项选择题

1、下列变换中，正确的是 ( )

A.F[?(t)]?1 B. F[1]??(?) C. F?1[?(?)]?1 D. F?1[1]?u(t) 2、设F[f(t)]?F(?)，则F[(t?1)f(t)]为 ( )

- 12 -

A. iF?(?)?F(?) B. iF?(?)?F(?) C. ?iF?(?)?F(?) D. ?iF?(?)?F(?) 3、??t?t0?的傅里叶变换F??(t?t0)?为 （ ）

A．1 B。t0 C。e?i?t0 D。ei?t0

4、设F[f(t)]?F(?)，则F[(2t?3)f(t)]? （ ）

A.2iF?(?)?3F(?) B. 2iF?(?)?3F(?) C. ?2iF?(?)?3F(?) D. ?2iF?(?)?3F(?) 5、设F[f(t)]?F(?)，则F[(t?2)f(t)]? （ ）

A.F?(?)?2F(?) B. ?F?(?)?2F(?) C. iF?(?)?2F(?) D. ?iF?(?)?2F(?) 6、设f(t)?cos?0t，则F[f(t)]? （ ）

A.?[?(???0)??(???0)] B. ?[?(???0)??(???0)] C.i?[?(???0)??(???0)] D. i?[?(???0)??(???0)] 7、设f(t)??(2?t)?ei?0t，则F[f(t)]? （ ）

A e?2?i?2??(???0) B e2?i?2??(???0) C e?2?i?2??(???0) D e2?i?2??(???0) 8、设f(t)?sin?0t，则其傅氏变换F[f(t)]? （ ）

A.[?(???0)??(???0)] B. i?[?(???0)??(???0)] C.?[?(???0)??(???0)] D. i?[?(???0)??(???0)]

三、计算题

- 13 -

?0,???t??1?2,?1?t?0?1、已知函数f(t)??，求它的傅里叶变换。

?1,0?t?2??0,2?t???

ì-2,-1

?0,??t?03、求函数f(t)????t（其中??0）的傅氏变换及其积分表达式。

?e?????t?0

?t??t???sin4、求函数 f(t)?? 的傅氏变换，

0???t????并证明?

??0??sin??sin?t?sint,t??； d???221???0,t???- 14 -

5、利用定义或查表求下列函数的傅里叶逆变换

piww（1）F(w)=[d(+w0)-d(-w0)]

555pww（2）F(w)=[d(+w0)+d(-w0)]

555

6、用傅里叶变换求解下面的微分方程

x?(t)?x(t)??(t),???t???

7、设F[f(t)]?F(?)，列表给出下列函数的付里叶变换：

f'(t),f\t),tf(t),tf(t),f(t?t0),f(t?t0)，?2t??f(?)d?,?f(at)

,t?0?0?? 1,?(t),?(t?t0),?(t?t0),? f(t)????t?e?,?t?0并证明付里叶变换的微分性质和位移性质。

- 15 -

第八章 拉普拉斯变换

本章知识点和基本要求

理解拉普拉斯变换及拉普拉斯逆变换的概念； 了解拉普拉斯变换存在定理； 掌握拉普拉斯变换的性质；

掌握用留数求拉氏逆变换的方法； 了解拉氏变换卷积概念及卷积定理；

应用拉氏变换求解常微分方程及常微分方程组。

一、填空题

1、设F(S)=1，则L-1[e?SF(S)]= 2S2、L[(sin3t)￠]= 3、L[etsint]?

4、设f(t)?u(3t?5)，L[e?3tf(t)]? 5、L[etcost]? 6、设L[f(t)]?2, 则 L[e?3tf(t)]? 2s?47、设f(t)?(t?1)2et，L[f(t)]? 8、设 F(s)?1，则L?1[F(s)]? 22(s?1)9、设L[f1(t)]?F1(S), F[f2(t)]?F2(S)，则L[f1(t)*f2(t)]? 10、设 F(s)?s?2，则L?1[F(s)]? 2s?16二、单项选择题

1、下列变换中，不正确的是 ( )

A.F[?(t)]?1 B.L[?(t)]?1 C. L[1]??(t) D. F[1]?2??(?) 2、设L[f(t)]?F(s)，其中正确的是（ ）

- 16 -

A．L[f?(t)]?sF(s) B。L[eatf(t)]?F(s?a) C．L[f(at)]?1F(s) D。L[eatf(t)]?F(s?a) a3、f(t)?teat(a?0) 的拉氏变换为 （ ） A.

1?11?1 B. C. D. 22S?as?a(s?a)(s?a)4、若F(S)?1?S?1e，则L[F(S)]? （ ） 2S?1A.sin(t?1) B.u(t?1)sint C. u(t)sin(t?1) D.u(t?1)sin(t?1) 5、设f(t)?e?2tcos3t 则L[f(t)]? （ ） A.

3S?2 B.

(S?2)2?9(S?2)2?93S3(S?2) D. 22(S?2)?9(S?2)?9 C.

s26、函数F(s)?2 的拉氏逆变换为 （ ）

s?1 A.?(t)cost B.?(t)?cost C.?(t)(1?sint) D.?(t)?sint

e?S7、设F(s)?，则L?1[F(S)]? （ ）

S(S?2)A e?2(t?1)u(t?1) B u(t?1)?e?2(t?1)u(t?1) C

11[1?e?2(t?1)]u(t?1) D [u(t)?e?2(t?1)u(t?1)] 22三、计算题

1、利用定义或查表求下列函数的拉普拉斯变换。

t(1) f(t)=eatsin2t （2）f(t)=cos2

5

- 17 -

(3)f(t)=2sinat-tsinat (4) f(t)=e2t+3e5t

(5)f(t)?e2t?5?(t) (6)f(t)?e2t?tet

(7)f(t)?eatsint

（9） f(t)?tcosat

（11）f(t)?sint?u(t?2)

（8）f(t)?sin22t （10）f(t)?(t?2)2et （12）f(t)?sin(t?2)?? - 18 -

（13）f(t)?te?tsin2t （14）f(t)?sin(t?2)?u(t?2)

ì0 t < ,0?2、已知f1(t)=?，f2(t)=í???sint ,t30f1(t)*f2(t).

ì0 ,t<0??，求f1(t)与f2(t)的卷积í???cost ,t30

3、用定义或查表求下列函数的拉普拉斯逆变换。

1e-5S (1) F(S)= (2) F(S)=2

S(S+1)S+1

(3) F(S)=

b1 (4)F(S)?

(S-a)(S-b)S(S?1) - 19 -

S2S?3(5)F(S)? (6)F(S)?2

(S?2)(S?3)

(7)F(s)?2s?3s2?9

(9)F(s)?s2?2s?1s(s?1)2

4、用拉普拉斯变换求解下列微分方程。 (1)yⅱ-3yⅱ+2y=6e-t,y(0)=0,y(0)=0

（2）y??y?e2t?1，y(0)?0

- 20 -

S?1(8)F(s)?4(s?4)(s?2) (3)y￠+y=et , y(0)=0

(4)y\t)?2y(t)?2y?2etcost满足初始条件：y(0)?0??y'(0)?0的特解。

(5)y\t)?3y'(t)?2y?2e?t 满足初始条件：y(o)?2,?y'(0)??1的特解。

5、用拉普拉斯变换求解微分方程组。

ìx￠+x-y=et? , x(0)=y(0)=1 (1)?ít?￠??y+4x-2y=11e

- 21 -

ì-y +x=1?2xⅱ(2)?,x(0)=0,x￠(0)=0,y(0)=0 í???x￠-y=0

t??x??x?y?e,x(0)?y(0)?1 (3)?t??y??3x?2y?2e

?2x?y?y'?4(1?e?t)?(4)? （x(0)?0,y(0)?0） ?2t??2x'?y?2(1?3e)

- 22 -

参考答案

第一章 复数与复变函数

一、填空题

1、x?1,y?6 2、x??451713,y? 3、?i 4、? 11112225???i?i1i??5?5?4?? 6、5、? 7、2(cos?isin)，2e 8、4(cos?isin)，4e6 2244669、2k???333333,k?Z 10、1,1,1?i 11、? 12、x2?(y?1)2?4 i, ?3, ??42222x2y2x2?y2?2?x2y??1 13、y?2 14、 15、, 222243(x?1)?y(x?1)?y16、1,?1313?i,??i 2222二、判断题（正确打√，错误打?）

1、? 2、 ? 3、 √ 4、 ? 5、√ 6、√ 7、 ? 8、?

三、单项选择题

1、 A 2、 A 3、 B 4、 C

四、计算题

6;Agrz！、z?1k2?2?k?,Z?3?i????? 2、x?y?1 3、43?cos?isin?;43e3

33???224、2sin???cos2????2?isin??????2?; 2sine2??i???2；argz????2

5、z(t)?3t???2t?i 6、（略）。

?1?3第二章 解析函数

一、填空题

1、ln2??1???i 2、?2k????i, ?i 3、?Arg??3?4i? 42?2?- 23 -

4、eiln3?2k? 5、e???iln2???2k???4? 6、e?????2k????1?i??2? 7、2?i 8、e?z(z?2)

9、3?2i 10、2?i 11、必要条件

二、判断题（正确打√，错误打?）

1、√ 2、? 3、? 4? 5、√ 6、? 7、√ 8、 ? 9、? 三、单项选择题

A C B D C D C

四、计算题

1、仅在直线y??6x上可导。函数在复平面上处处不解析 32、仅在直线y?x?1上的点处可导，函数在复平面上处处不解析。 对于直线y?x?1上任意点z

3、仅在(0,0)点处可导。函数在复平面上处处不解析。

第三章 复变函数的积分

一、填空题

1、2?i，0, 2?ei 2、

13 3、0 4、0, 8?i, 10?i 5、2?ei 2二、单项选择题

1、C 2、D

三、计算题

1122(3?i)2，4?3i 2、(1?i)3，??i 3、sini 2333?1?i4、?1?3i 5、 6、3?i?8 7、0

32?i4??16?i?i8、 9、4?i 10、2?i，，??i，?

4?i17e1、

第七章 傅里叶变换

一、填空题

111、 2、 3、2??(?) 4、f(t)=5?i???i?

- 24 -

ì0 ,t<0?? í-2t???e,t301????2??????2??5、????????? 6、iF?????5F??? 2?17、e?i?t0F??? 8、e?i?t0 9、e?i?F???? 10、F??? 11、e2itt

i?二、单项选择题

A B C A C A A B

三、计算题

1、1iw4(1-cosw)?2isin??7?3(e-e-2iw-1) 2、F(?)? 3、见课本P例。 4、 1732iwiw1???0, t?05、（1）f(t)=sin5w0t （2）f(t)=cos5w0t 6、x(t)???t 7、（略）

e,t?0?第八章 拉普拉斯变换

一、填空题

?S?3?3S1?51S?13e1、(t?1)u?t?1? 2、2 3、 4、 5、 22S?9S?3?S?1??1?S?1??16、

2?S?3?2?4 7、

2?S?1?3?2?S?1?2?11 8、?sint?tcost?

2S?1cos4t?9、F1?S??F2?S? 10、

1sin4t 2二、单项选择题

C D C D B D C

三、计算题

2a2aS1?1S?a?1?125S???1、⑴ ? ⑵ ⑶ ????2222222??S?a?S?a?2?S?a?S?a??4?2?S25S?4? ⑷

131111??5 ⑹ ⑸ ⑺ ?22S?2S?5S?2S?2?S?1??S?a??1S2?a21?1S?244⑻ ??2 ⑼ ⑽ ???322222?SS?16?S?1?S?1??S?1??S?a?4?S?1?cos2?Ssin2?2Scos2?Ssin2e?2Se ⑿ ⑾ ⒀ ⒁2 22S2?1S2?1S?1??S?1??4??? - 25 -

2、

1tsint 2?t3、⑴ 1?e ⑵ sin(t?1)u(t?1) ⑶ ⑹

b1eat?ebt? ⑷ et?1 ⑸??e?2t?6e3t? ?a?b5??t??sint ⑺ 2cos3t?sin3t ⑻ 2?e?2t?e?4t? ⑼ 4tet?et?2

?tt2tt2t4、⑴ e?3e?2e ⑵ 1?2e?e ⑶ ⑷ Y?S??1t?t?e?e? 21?t72tttyt?e?4e?e ⑸ , y(t)?tesint??2233?S?2S?2?2?S?1?5、⑴ x?t??2et?e3t,y?t??3et?4e3t ⑵ x?t??1?cost,y?t??sint

⑶ x?t??y?t??e ⑷ x?t??3?2e?et?t?2t,y?t??2?4e?t?2e?2t

- 26 -