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第二讲 比和比例

教学目标： 1、比例的基本性质

2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题

3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化； 4、单位“1”变化的比例问题 5、方程解比例应用题 知识点拨：

比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考

试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：

一、比和比例的性质

性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d； 性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；

性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数) 性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比； 反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．

二、主要比例转化实例

xaabybxy ① ? ? ?； ?； ?；

ybxyxaabxamxaxma② ? ? (其中m?0)； ?； ?ybmybymbxaxax?ya?bx?ya?b③ ? ? ； ； ；L ???ybx?ya?bx?ya?bxaxaycxac④ ?，? ? ?；x:y:z?ac:bc:bd；

ybzdzbdcdadbc⑤ x的等于y的，则x是y的，y是x的．

abbcad三、按比例分配与和差关系 ⑴按比例分配

例如：将x个物体按照a:b的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与xaxbx的比分别为a:?a?b?和b:?a?b?，所以甲分配到个，乙分配到个.

a?ba?b⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题

ax例如：两个类别A、B，元素的数量比为a:b(这里a?b)，数量差为x，那么A的元素数量为，B的元

a?bbx素数量为，所以解题的关键是求出?a?b?与a或b的比值．

a?b四、比例题目常用解题方式和思路

解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点：

1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。 2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。

3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成

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反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。

4. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。 5. 赋值解比例问题 例题精讲： 模块一、比例转化

11【例 1】 已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的，乙等于甲、丙两数和的，丙等于甲、乙两数

325和的，求甲:乙:丙.

711111【解析】 由甲等于乙、丙两数和的，得到甲等于三个数和的同样的乙等于甲、丙两数和的?，?，

33+142+1355115同样的丙等于甲、乙两个数和的? ，所以甲:乙:丙?::?3:4:5．

7?512431222【例 2】 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的，那么甲的、乙的2倍、丙的一半

33这三个数的比为多少？

2【解析】 甲的一半、乙的2倍、丙的这三个数的比为1:1:1，所以甲、乙、丙这三个数的比为

3132?1??2?即，化简为，那么甲的、乙的2倍、丙的一半这三个数的比1?:1?2:1?4:1:32::??????223?2??3?2?3??1?8为?4??:?1?2?:?3??即:2:，化简为16:12:9.

3?2??2?34【例 3】 如下图所示，圆B与圆C的面积之和等于圆A面积的，且圆A中的阴影部分面积占圆A面积的

5111，圆B的阴影部分面积占圆B面积的，圆C的阴影部分面积占圆C面积的．求圆A、圆B、653圆C的面积之比．

ABC

【解析】 设A与B的共同部分的面积为x，A与C的共同部分的面积为y，则根据题意有5BC?5BC?B?C??6?x?y?，x?，y?，于是得到?B?C??6????，这条式子可化简为

4453?53?5B?15C，所以A??B?C??20C.最后得到A:B:C?20:15:1.

4【例 4】 某俱乐部男、女会员的人数之比是3:2，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组的人数比是10:8:7，

A?甲组中男、女会员的人数之比是3:1，乙组中男、女会员的人数之比是5:3．求丙组中男、女会员人数之比．

【解析】 以总人数为1，则甲组男会员人数为

1033311，女会员为??，乙组男会员为??10?8?73?110103103?31?1851133?????；丙组男会员为，女会员为??，女会员为??3+2?105?1010?8?75?3555252?13?919?????；所以，丙组中男、女会员人数之比为:?5:9． 3+2?1025?501050一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的

【巩固】

一段时间后，分别剩下60%、已知两个工程队的工作效率(建设速度)之比3:1，40%的任务没有完成，

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求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比.

【解析】 (法一)甲工程队以3倍乙工程队建设速度，仅完成了40%的承包任务，而乙工程队完成了60%，所

以甲工程队承包任务的40%等于乙工程队承包任务的60%?3?180%，所以甲工程队的承包的任务是乙工程队承包任务的180%?40%?450%，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为

450%:1?9:2．

(法二)两个工程队完成的工程任务(修建公路长度)之比等于工作效率之比，等于3:1，而他们分别完成了各自

任务的40%和60%，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为?3?40%?:?1?60%??9:2．

【例 5】 某团体有100名会员，男女会员人数之比是14:11，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之

和一样多，各组男女会员人数之比依次为12:13、5:3、2:1，那么丙组有多少名男会员？

【解析】 会员总人数100人，男女比例为14:11，则可知男、女会员人数分别为56人、44人；又已知甲组人

数与乙、丙两组人数之和一样多，则可知甲组人数为50人，乙、丙人数之和为50人，可设丙组人数为x人，则乙组人数为?50?x?人，又已知甲组男、女会员比为12:13，则甲组男、女会员人数分别

52为24人、26人，又已知乙、丙两组男、女会员比例，则可得：24?(50?x)?x?56，解得x?18．即

832丙组会员人数为18人，又已知男、女比例，可得丙组男会员人数为18??12人．

3【例 6】 (2007年华杯赛总决赛)A、B、由甲、乙、丙三队分别承担．三C三项工程的工作量之比为1:2:3，

个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？

【解析】 根据题意，如果把A工程的工作量看作1，则B工程的工作量就是2，C工程的工作量就是3． 设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为x、y、z.经过k天，则：

?2kx?2?kyLL? ?3ky?3?kzLL?kz?1?kxLL? 将⑶代入⑵，得ky??1??2? ?3?2?kxLL?4?， 32?kx4将⑷代入⑴，得2kx?2?，x?，

37k463将x?代入⑴，得y?．代入⑶，得z?．

7k7k7k463 甲、乙、丙三队的．工作效率的连比是::?4:6:3．

7k7k7k【巩固】 某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一等奖

的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？

【解析】 由①、②可知甲、乙两校获奖总人数的比为6:5，不妨设甲校有60人获奖，则乙校有50人获奖．由

③知两校获二等奖的共有(60?50)?20%?22人；由⑤知甲校获二等奖的有22?(4.5?1)?4.5?18人；由④知甲校获一等奖的有60?60?50%?18?12人，那么乙校获一等奖的也有12人，从而所求百分数为12?50?100%?24%．

【例 7】 ①某校毕业生共有9个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多

1；③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕业生中男、

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女生人数比是多少？

【解析】 如下表所示，由②知，一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多1；由③知，四至九班的男生

总数比四、五、六班总人数少1． 加上 加上 一班男生 二、三班男生 一、二、三班男生 七、八、九班男生 四、五、六班男生 四、五、六、七、八、九班男生 比 比 比 比 二、三班女生 二、三班男生 二、三班总人数 四、五、六班女生 四、五、六班男生 四、五、六班总人数 多1人 多1人 少1人 少1人 因此，一至九班的男生总数是二、三、四、五、六共五个班的人数之和，由于每班人数均相等，则女生总数等于四个班的人数之和．所以，男、女生人数之比是5:4．

模块二、按比例分配与和差关系 （一）量倍对应

【例 8】 一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的人数比为13:11，

求一共有多少个苹果？

【解析】 一共有16??13?11???13?11??192个苹果. 【巩固】

小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3:4:6，三人一共藏书52本，求他们三人各自的藏书数量.

346、、，所

3?4?63?4?63?4?634以小新拥有的藏书数量为52??12本，小志拥有的藏书数量为52??16本，小刚拥

3?4?63?4?66有的藏书数量为52??24本.

3?4?6【巩固】 在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资【解析】 根据题意可知，他们三人各自的藏书数量分别占三人藏书总量的

的和与乙、丙所捐资的和之比是10:7，则甲捐 元，乙捐 元，丙捐 元．

【解析】 由于甲比丙多捐18元，所以甲、乙所捐资的和比乙、丙所捐资的和多18元，那么甲、乙所捐资的

和为：18?(10?7)?10?60(元)，乙、丙所捐资的和为60?18?42元．所以，甲捐了80?42?38(元)，

乙捐了60?38?22(元)，丙捐了38?18?20(元)．

11【巩固】 有120个皮球，分给两个班使用，一班分到的与二班分到的相等，求两个班各分到多少皮球？

32113【解析】 根据题意可知一班与二班分到的球数比:?3:2，所以一班分到皮球120??72个，二班分到

233?2皮球120?72?48个． 【例 9】 一班和二班的人数之比是8:7，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为

4:5．求原来两班的人数．

【解析】 原来一班的人数为两班总人数的

班人数的比值为

8844?，调班后一班的人数是两班人数的?，调班前后一8?7154?5984:?6:5，所以一班原来的人数为8??6?5??6?48人，二班原来的人数为15948?8?7?42人.

【例 10】 幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班男生数与女生数的比为5:3，中班男生数

与女生数的比为2:1，那么大班有女生多少名？

【解析】 由于男、女生人数有比例关系，而且知道总数，所以可以用鸡兔同笼的方法．假设18名女生全部是

大班，则大班男生数：女生数?5:3?30:18，即男生应有30人，实际上男生有32人，相差2个人；

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