一、填空题(本大题共14小题||，每小题5分||，共70分||，请把答案填在题中横线上)

1.若空间三点A(1||，5||，－2)||，B(2||，4||，1)||，C(p||，3||，q＋2)共线||，则p＝________||，q＝________．

→→→→→

解析：A、B、C三点共线||，则有AB与AC共线||，即AB＝λAC||，又AB＝(1||，－1||，3)||，→

AC＝(p－1||，－2||，q＋4)||，

1

???

∴?－1＝－2λ，解得?p＝3， ?3＝λ（q＋4），??q＝2.

1＝λ（p－1），

λ＝2，

答案：3 2

→→→2.已知空间四边形ABCD中||，OA＝a||，OB＝b||，OC＝c||，点M在OA上||，且OM＝→

3MA||，N为BC中点||，则MN＝________.(用a||，b||，c表示)

3→→→→1→→

解析：显然MN＝ON－OM＝(OB＋OC)－OA.

24

311

答案：－a＋b＋c

422

3.在下列条件中||，使M与A||，B||，C一定共面的是________(填序号)． →→→→→1→1→1→①OM＝3OA－OB－OC；②OM＝OA＋OB＋OC；

532

→→→→→→→

③MA＋MB＋MC＝0；④OM＋OA＋OB＋OC＝0.

→→→→

解析：①对||，空间的四点M||，A||，B||，C共面只需满足OM＝xOA＋yOB＋zOC||，且x＋y＋z＝1即可．根据空间向量共面定理可知③也能使M与A||，B||，C共面．

答案：①③

4.已知向量a＝(2||，－3||，0)||，b＝(k||，0||，3)||，若a||，b成120°的角||，则k＝________．

a·b2k1

解析：cos〈a||，b〉＝＝＝－<0||， 2|a||b|213×9＋k

∴k<0||，∴k＝－39. 答案：－39 5.已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′中||，AB＝4||，AD＝3||，AA′＝5||，∠BAD＝90°||，∠BAA′＝∠DAA′＝60°||，则AC′等于________．

→→→→→

解析：只需将AC′＝AB＋AD＋AA′||，运用向量运算|AC′|＝答案：85 →→6.已知A(－1||，－2||，6)||，B(1||，2||，－6)||，O为坐标原点||，则向量OA与OB的夹角是________．

→→

OA||，·OB→→

解析：利用cos〈OA||，OB〉＝＝－1.

→→|OA||OB|

→

|AC′||，|2即可．

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→→

即向量OA与OB的夹角是π. 答案：π

→→→→→→7.设A||，B||，C||，D是空间不共面的四点||，且满足AB·AC＝0||，AC·AD＝0||，AB·AD＝0||，则△BCD是________三角形．

解析：过点A的棱两两垂直||，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形． 答案：锐角

8.已知A(1||，1||，1)||，B(2||，2||，2)||，C(3||，2||，4)||，则△ABC的面积为________．

→→→→

解析：应用向量的运算||，计算出cos〈AB||，AC〉||，再计算sin〈AB||，AC〉||，从而得1→→6→→

S＝|ABAC|·sin〈AB||，AC〉＝. 22

6

答案：

2

9.下列命题：

①若n1||，n2分别是平面α||，β的法向量||，则n1∥n2?α∥β； ②若n1||，n2分别是平面α||，β的法向量||，则α⊥β?n1·n2＝0； ③若n是平面α的法向量||，a与α共面||，则n·a＝0；

④若两个平面的法向量不垂直||，则这两个平面一定不垂直； 其中正确的个数为________．

解析：①中平面α||，β可能平行||，也可能重合||，结合平面法向量的概念||，易知②③④正确．

答案：3

10.在空间直角坐标系O－xyz中||，i||，j||，k分别是x轴、y轴、z轴的方向向量||，设a为非零向量||，且〈a||，i〉＝45°||，〈a||，j〉＝60°||，则〈a||，k〉＝________．

解析：如图所示||，设|a|＝m(m＞0)||，

→

a＝OP||，PA⊥平面xOy||，

2→→

则在Rt△PBO中||，|PB|＝|OP|·cos〈a||，i〉＝m||，

2m→→

在Rt△PCO中||，|OC|＝|OP|·cos〈a||，j〉＝||，

2

→m

∴|AB|＝||，在Rt△PAB中||，

2

22m2m22

PA＝ PB－AB＝ m－＝||，

442

m

∴OD＝||，在Rt△PDO中||，

2

OD1

cos〈a||，k〉＝＝||，

OP2

又0°≤〈a||，k〉≤180°||，∴〈a||，k〉＝60°. 答案：60°

→11.在正方体ABCD－A1B1C1D1中||，M、N分别为棱AA1和BB1的中点||，则sin〈CM||，→

D1N〉的值为________．

解析：设正方体棱长为2||，以D为坐标原点||，DA||，DC||，DD1||，所在的直线为x轴、

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→→

y轴、z轴建立空间直角坐标系||，如图||，可知CM＝(2||，－2||，1)||，D1N＝(2||，2||，－1)||，

1→→

所以cos〈CM||，D1N〉＝－||，

945→→

故 sin〈CM||，D1N〉＝. 9

45答案：

9

→3→1→2→12.点P是棱长为1的正方体ABCD–A1B1C1D1内一点||，且满足AP＝AB＋AD＋AA1

423

||，则点P到棱AB的距离为________．

解析：如图所示||，过P作PQ⊥平面ABCD于Q||，过Q作QE⊥AB于E||，连结PE. →3→1→2→∵AP＝AB＋AD＋AA1||，

42321

∴PQ＝||，EQ＝||，

32

∴点P到棱AB的距离为

5

PE＝ PQ2＋EQ2＝.

6

5答案： 6

13.在直三棱柱ABC－A1B1C1中||，底面是等腰直角三角形||，∠ACB＝90°||，侧棱AA1

＝2||，D||，E分别是CC1||，A1B的中点||，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G||，则A1B与平面ABD所成角的余弦值为________．

解析：以C为坐标原点||，CA所在直线为x轴||，CB所在直线为y轴||，CC1所在直线为z轴||，建立如图所示的空间直角坐标系||，

设CA＝CB＝a||，

则A(a||，0||，0)||，B(0||，a||，0)||，A1(a||，0||，2)||，D(0||，0||，1)．

aaaa1∴E(||，||，1)||，G(||，||，)||，

22333→aa2→

∴GE＝(||，||，)||，BD＝(0||，－a||，1)||，

663

∵点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G||， ∴GE⊥平面ABD||， →→

∴GE·BD＝0||，解得a＝2. →112→

∴GE＝(||，||，)||，BA1＝(2||，－2||，2)．

333→→

∵GE⊥平面ABD||，∴GE为平面ABD的一个法向量||，

4

→→GE||，·BA132→→

那么cos〈GE||，BA1〉＝＝＝||，

3→→6|GE||BA1|×233

∴A1B与平面ABD所成角的余弦值为答案：

1－（

227）＝. 33

7

3

14.在空间直角坐标系中||，定义：平面α的一般方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0(A||，B||，C||，

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|Ax0＋By0＋Cz0＋D|

D∈R||，且A||，B||，C不同时为零)||，点P(x0||，y0||，z0)到平面α的距离为：d＝

A2＋B2＋C2||，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中||，底面中心O到侧面的距离等于________．

解析：如图||，以底面中心O为原点建立空间直角坐标系O－xyz||，

则A(1||，1||，0)||，B(－1||，1||，0)||，P(0||，0||，2)||，设平面PAB的方程为Ax＋By＋Cz

1

＋D＝0||，将以上3个坐标代入计算得A＝0||，B＝－D||，C＝－D||，

2

1

所以－Dy－Dz＋D＝0||，即2y＋z－2＝0||，

2

|2×0＋0－2|25则d＝＝. 252＋125答案：

5

二、解答题(本大题共6小题||，共90分||，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分14分)在正方体ABCD–A1B1C1D1中||，P为DD1的中点||，M为四边形ABCD的中心．求证：对A1B1上任一点N||，都有MN⊥AP.

证明：建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz||，设正方体的棱长为1||，

1

0，0，?||， 则A(1||，0||，0)||，P?2??

11?M??2，2，0?||，N(1||，y||，1)．

1→

－1，0，?||， ∴AP＝?2??11→

，y－，1?. MN＝?2??2

1→→?y－1?＋1×1＝0||， ∴AP·MN＝(－1)×＋0×?2?22

→→∴AP⊥MN||，

即A1B1上任意一点N都有MN⊥AP.

→→→→→→5→16.(本小题满分14分)已知空间向量AB||，AC||，AD满足|AC|＝5||，|AB|＝8||，AD＝DB

11

→→

||，且CD·AB＝0.

→→(1)求|AB－AC|；

π4

(2)设∠BAC＝θ||，且已知cos(θ＋x)＝||，－π

54

→→→→→16→→11→→5→5→

解：(1)由已知得AB＝DB－DA＝DB＋AD＝DB||，所以DB＝AB||，AD＝DB＝AB11161116

||，

5→5→→11

则|AD|＝|AB|＝||，|DB|＝||，

1622→→

因为CD·AB＝0||，所以CD⊥AB||， 在Rt△BCD中||，BC2＝BD2＋CD2||，

→→→

又CD2＝AC2－AD2||，所以BC2＝BD2＋AC2－AD2＝49||，所以|AB－AC|＝|CB|＝7.

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