数学试卷

第十二章 全等三角形知识点归类

1、全等三角形的判定与性质： 项目 一般三角形（4种） 直角三角形（5种） 判定方法 SSS SAS AAS ASA SSS SAS AAS ASA HL 性质 对应边相等，对应角相等，周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应(7个相等) 边上的高线相等，对应角平分线相等。 1、判定两个三角形全等至少有一组对应边相等。 关键点 2.、ASA和AAS能够互换，是因为三角形的内角和等于180度，有两组角对应相等，第三组角也相等。互换书写时注意边角关系。 2、根据已知条件，寻找条件，选择判定方法： 已知条件 寻找条件 选择的判定方法 两角 夹边或任一边 ASA 或AAS 两边 夹角或另一边或直角 SAS 或SSS或HL 一角及其对边 任一角 AAS 一角及其邻边 角的另一邻边或边的另一邻角或边的对角 SAS或ASA 或AAS 3、角平分线问题： 项 目 内 容 条件和结论表示方法 图形 角平分线从一个角的顶点出发把一∵∠ABD=∠DBC （数量关系） 的定义 个角分成两个相等的角的∴BD是∠ABC的角平分线（位置关系） A 一条射线。 D 角平分线角平分线上的一点到角两∵∠ABD=∠DBC（或BD是∠ABC的角平分的性质 边的距离相等。 线）DA⊥AB DC⊥BC（位置关系） ∴AD=DC（数量关系） B C 判定1：到角两边的距离相判定1：∵AD=DC DA⊥AB DC⊥BC ∴BD角平分线等的点在角的平分线上。 是∠ABC的角平分线 的判定 判定2：定义 ∴∠ABD=∠DBC 判定2：∵∠ABD=∠DBC ∴BD是∠ABC的角平分线 4、三角形的角平分线的规律： ①、三角形的三条角平分线相P1

交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。这一点叫三角形的内心（P）。 ②、三角形的两个外角的平分线交于一点，这一点到三角形三边所在直线的距离相等。 ③、三角形外角平分线交点共P 有3个(P1P2P3)，到三角形三边所P2 在直线的距离相等的点共有4个P3

(P、P1、P2、P3)。 ④、三角形的外角平分线的交点，在三角形的内角平分线上。

七年级数学考试试卷5、证明线段相等的方法：

①、角平分线上的一点到角两边的距离相等。 ②、全等三角形的对应边相等。 ③、线段的中点把线段分成相等的两条线段。 ④、平行线间的距离处处相等。

⑤、三角形的内心到三角形三边的距离相等。三角形的两个外角的平分线交于一点，这一点到三角形三边所在直线的距离也相等。

⑥、等边三角形的三边相等，等腰三角形的两腰相等。

⑦、线段垂直平分线上的一点到这条线段两个端点的距离相等。

⑧、正多边形的各边相等。 ⑨、轴对称图形的对应线段相等。 ⑩、三角形的三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等。 6、证明两个角相等的方法：

①、全等三角形的对应角相等。 ②、角平分线把角分成相等的两个角。

③、等角（或同角）的余角或补角相等。 ④、两直线平行线，同位角相等，内错角相等。 ⑤、对顶角相等。 ⑥、正多边形的各内角相等，各外角相等。 ⑦、等边三角形的三角相等，等腰三角形的底角相等。

⑧、垂线的定义，两条直线互相垂直，构成的四个角互相相等。 ⑨、轴对称图形的对应角相等。 7、证明三角之和之差问题：

把不同位置上的角转化到一个三角形中，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和来解决。

如：在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2=∠1+∠C 解：延长AD交BC于点F ∵AD⊥BE A ∴∠ADB=∠BDF=90

0

在△ABC和△FDB

2 1 ∠ADB=∠BDF=900

E BD=BD D ∠ABE=∠EBC △ ABC≌△FDB B C

∴∠2=∠AFB

F ∴∠2=∠1+∠C

8、证明两个角互余互补的问题：

把不同位置上的两个角移到一起，使它达到互余互补；

或者三角形中找等量关系。

E 如图∠1=∠2，P为BN上的一点，且PD⊥BC于D, A AB+BC=2BD求证：∠BAP+∠BCP=1800

P N 解：过点P作PE⊥BA交BA的延长线交点E

∵∠2=∠1 PD⊥BC PE⊥BA

1 ∴PE=PD ∠PEA=∠PDC=900 2

B

在RT△BPE和RT△BPD中

D C PE=PD BP=BP ∴RT△BPE≌RT△BPD ∴BE=BD ∵AB+AE=BE BC=BD+DC ∴AB+BC=BE-AE+BD+DC ∵AB+BC=2BD ∴2BD= BD-AE+BD+DC ∴AE=CD 在RT△APE和RT△CPD中 PE=PD ∠PEA=∠PDC=900 AE=CD

∴RT△APE≌RT△CPD ∵∠PCD=∠PAE ∵∠BAP+∠PAE=1800∴∠BAP+∠BCP=1800

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9、截长补短法（解决线段和差问题）。

如：在△ABC中，BE是角平分线，AB＞AC，∠2=∠1,P为AD上任意一点，求证：AB-AC＞PB-PC

解1：用截长法证明：

在AB上截取AN=AC 连接PN 在△ANP和△ACP 中 A

AN=AC

1 2 ∠2=∠1

E AP=AP

P ∴△ANP≌△ACP ∴NP=PC C

A.150° B.40° C.80° D.90°

图1 图2

③.如图2，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，

那么这两个三角形完全一样的依据是（ D ）A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA ∵BN＞PB-PN BN=AB-AC ∴AB-AC＞PB-PC

N 解2：用补短法证明：延长AC到M使AM=AB B D M 在△ABP和△AMP 中

AB=AM

∠2=∠1

AP=AP

∴△ABP≌△AMP ∴PB=PM ∵CM＞PM-PC CM=AB-AC∴AB-AC＞PB-PC

10、动态几何问题：

动态几何题指图形中的某一个（或几个）元素的运动变化，导致问题的结论或者改变或者保持不变的几何问题。

解决动态问题的关键：是弄清哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化，原来的等角等线段还是否存在是解决问题的关键；几种变化得到的图形之间存在必然的联系。

A 图

1 BD=DE+CE 图2 BD=DE-CE D A

图3 BD=DE-CE

1 2 E

D

如图所示，在△ABC中，∠B BAC=900

，AB=AC，AE是过点A上的C

一条直线且点B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D,CE⊥AE于E，①求证

B C E

A

BD=DE+CE ②若直线AE绕A点旋转到图2D

E

的位置时（BD ＜CE），其余条件不变，1

2

则BD、DE和CE得关系如何？③若直线AE绕A点旋转到图3的位置时（BD ＞CE），其余条件不变，则BD、DE和CE得关系如何？（不需要证明）

①解：∵BD⊥AE CE⊥AE

∴∠BDA=∠AEC=900 ∵∠BAC=900

∴

∠BAD+∠DAC=90

0 B C ∵∠ACE+∠DAC=900 ∴∠BAD=∠ACE

在△ABD和△CAE中

∠BDA=∠AEC

∠BAD=∠AEC AB=AC

∴△ABD≌△CAE ∴BD=AE ∵AE=AD+DE ∴ BD=DE+CE

②解：∵BD⊥AE CE⊥AE ∴∠BDA=∠AEC=900 ∵∠BAC=900 ∴∠1+∠2=90

0

∵∠2+∠3=900 ∴∠1=∠3

在△ADB和△CEA中

∠1=∠2

∠ADB=∠CEA AB=AC

∴△ADB≌△CEA ∴AD=CE DB=EA ∵DE =AD+ AE ∴ BD=DE-CE

11、题型如下：

①5.如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是

（ D ）A.相等 B.不相等 C.互余或相等 D.互补或相等

②如图1，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F在DB上两点且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF＝ （ D ）

A D 七年级数学考试试卷F D A′ ④、将一张长方形纸片按如图3所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为（ c ） A．60°B．75° C．90°D．95° ⑤如图4中，△ABF≌△CDE,图中相等的线段有（4）组。分别是（AB=CD BF=DE AF=CE AE=CF）

_B A _ _B

_A _D _C A _

_E 0 __1 B _ _A _C 2 _ _ _F D _ ED _

_D _D _C E _ C _

B _

图4 图5 图6 图7

⑥、如图5所示，已知正方形ABCD,连接正方形的对角线，可以得到（12）组全等三角形。因为如下：△AB0≌△

BCO≌△DCO≌△DAO 有6组，△ABC≌△ADC≌△ABD≌△CBD有6组，共12组。

⑦、如图6△ABE≌△DBC,图中相等的角有（4）组。分别是（∠1=∠2∠A=∠D∠C=∠E∠ABE=∠DBC） ⑧、如图7所示，BD是∠ABC的角平分线，∠C=90°,AC=CB,DE⊥AB于点E，若AB=5cm，则△ADE 的周长是（5cm）。作辅助线题⑨⑩：

⑨、在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，

如图8，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是（35°） DC

A _ D _ A _ A _ B _ E E _ C _ D _ F _

G _ C _

ABB _ F _ _C B _ E _ D _

图8 图9

E _ 图10

图11

⑩、图9所示，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠FAE求证：AF=AD+CF (提示作EG⊥AF连接EF证明)

测量画图题⑾⑿：

⑾、如图10所示，有一池塘，要测量于池塘两边的A、B的距离，可先在平地上任取一个可以直接到达A和B点的点C，连接AC并延长到D，使AC=CD，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量的DE的长就是AB两点的距离。（用三角形全等判断）

⑿、要测量河两岸相对的两点A、B的距离，如图11所示，可先在AB的垂线BF上任取两点C、D使BC=CD，在过点D作BF的垂线ED，连接AC并延长交DE于点E，那么量的DE的长就是AB两点的距离。

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