（3）求证：CD·AE=DE·BC；
（4）以点A为圆心，AB长为半径画弧交边BC于点F，联结AF。
2
求证：AF=CE·CA。
【评析】（1）因为AD∥BC，所以∠DAE=∠ACB，又因为∠ADE=∠BAC，所以△ADE∽△CAB，因此又因为AB=CD，所以
，所以CD·AE=DE·BC。
，
（2）因为△ADE∽△CAB，所以∠AED=∠B，因为梯形ABCD是等腰梯形，所以∠B=∠DCB，即∠AED=∠DCB，又因为∠DCB+∠CDA=180°,∠AED+∠CED=180°，所以∠CDA=∠CED，又因为∠DCA=∠EDC，所以△CDA∽△CED，所以【解答】证明同上
，即CD=CE·CA，又因为半径为AB，所以AF=AB，即AF=CD，所以AF=CE·CA
2
2
静安区
23．证明：（1）∵AD＝BD ，AD⊥DB，∴∠A＝∠DBA =45°………………………（1分） 又∵DC∥AB ，∴∠CDB =∠DBA＝45°, ∴∠CDB =∠A, ………………………（2分） ∵∠EBC＝45°，∴∠EBC=∠DBA， ……………………………………………（1分） ∴∠EBC－∠DBE =∠DBA－∠DBE，即∠DBC =∠ABE ………………………（1分） ∴△ABE∽△DBC ……………………………………………………………………（1分） （2）∵△ABE∽△DBC, ∴
DBCB?………………………………………………（2分） ABEB
EBCB?，且∠EBC=∠DBA，∴△BCE∽△BDA ………………………………（2分） ABDBSBC225BC5?，∴?BCE?(又∵． ……………………………………………（2分） )?BD6S?BDABD36闵行区
∴
23．证明：（1）∵AD平分∠BAD，∴∠BAD=∠CAD．
∵∠BAC=2∠B，∴∠BAD=∠CAD=∠B．……………………………（1分） ∵DF∥BE，∴∠BAD=∠ADF．…………………………………………（1分） ∴∠ADF=∠B．……………………………………………………………（1分） ∴△ABD∽△ADF．………………………………………………………（1分）
∴
AFAD．……………………………………………………………（1分） ?ADAB∴AD2?AF?AB．………………………………………………………（1分） （2）∵∠CAD=∠B，∠C=∠C，
∴△CDA∽△CAB．……………………………………………………（1分） CDAD．……………………………………………………………（1分） ?CAAB∵∠BAD=∠B， …………………………………………………………（1分） ∴AD=AB．
又∵∠CAD=∠B，∠E=∠C，
∴△CAD≌△EBD．………………………………………………………（1分） ∴DE=DC，BE=AC．
∴
∴
DEAD．……………………………………………………………（1分） ?BEAB∴AD?BE?DE?AB．……………………………………………………（1分）
23．证明：（1）∵ EF?FC?FB?DF，
EFFB. ………………………（1分） ?A DFFC∵ ∠EFB=∠DFC， …………………（1分）
E ∴ △EFB∽△DFC. …………………（1分） D ∴ ∠FEB=∠FDC. ………………… （1分） F ∵ CE⊥AB，
∴ ∠FEB= 90°.……………………… （1分） B ∴ ∠FDC= 90°. （第23题图） ∴ BD⊥AC. ………………………… （1分） （2）∵ △EFB∽△DFC，
∴ ∠ABD =∠ACE. …………………………………………… （1分）
∵ CE⊥AB，
∴ ∠FEB= ∠AEC= 90°.
∴ △AEC∽△FEB. ……………………………………………（1分）
AEEC ∴ .……………………………………………………（1分） ?FEEB∴
C
AEFE. …………………………………………………（1分） ?ECEB∵ ∠AEC=∠FEB= 90°，
∴ △AEF∽△CEB.………………………………………………（1分）
AFEF ∴ ，∴ AF?BE?BC?EF. ………………………（1分） ?CBEB ∴ 22．证明：
（1）∵DC2?DE?DB，∴
CDDB?． ···································································· （1分） DECD又∵?EDC??CDB，∴△CDE∽△BDC． ·················································· （1分） ∴?ECD??CBD． ···························································································· （1分） ∵AD?DC，∴?ECD??EAD． ································································ （1分） ∴?EBC??EAD．····························································································· （1分） 又∵?AED??BEC，∴△BCE∽△ADE． ··················································· （1分）
（2）∵△BCE∽△ADE，∴
∴
BECE． ··································································· （1分） ?AEDEBEAE． ········································································································· （1分） ?CEDE∵?AEB??DEC，∴△AEB∽△DEC． ························································ （1分） ∵△CDE∽△BDC，∴△AEB∽△DCB． ···················································· （1分） ∴
ABBE． ········································································································· （1分） ?BDBCCECA?， ………………………………………（1分） CDCB∴AB?BC?BD?BE． ····························································································· （1分） 23．（1）证明：∵CD?CA?CE?CB，∴
∵∠ECA＝∠DCB，……………………………………………………………………（1分） ∴△CAE∽△CBD，……………………………………………………………………（1分） ∴∠CAE＝∠CBD．……………………………………………………………………（1分） （2）证明：过点C作CG//AB，交AE的延长线于点G．
∴EC?CG，…………………………………………………………………………（1分） ∵EC?AC，∴CG?AC，……………………………………………………………（1分） ∴CG=CA， ……………………………………………………………………………（1分） ∴∠G＝∠CAG，………………………………………………………………………（1分） ∵∠G＝∠BAG，∴∠CAG＝∠BAG．………………………………………………（1分） ∵∠CAE＝∠CBD，∠AFD＝∠BFE，∴∠ADF＝∠BEF．…………………………（1分）
BEABABABBEAB
∴△ADF∽△AEB，……………………………………………………………………（1分） ∴
ADAF?，∴AB?AD?AF?AE．…………………………………………………（1分） AEAB23.证明（1）∵BD2?AD?BC ∴
BDBC?……………………………2分 ADBDA D 又 ∵∠BAD=∠BDC=90°
∴△ADB∽△DBC……………………2分 ∴?ADB??DBC ……………………1分 ∴AD∥BC…………………………………1分 (2)∵AD∥BC, ∠BAD =90°，
?∴?EBA??BAD?90 又 ∵∠BDC=90°
?∴?EBA??BDC?90…………………1分 ∵AE∥CD ∴?AEB??C……………………………1分 ∴△ABE∽△BDC………………………1分
B （第23题图）
E
C BEAE? CDBC∴CD?AE?BE?BC……………………1分
∴
又 ∵AD∥BC AE∥CD
∴四边形ADCE是平行四边形
∴AE=CD……………………………………1分
2∴CD?BE?BC…………………………1分
徐汇区
23.在△ABC中，∵∠EAD=∠BAD，∠ADE=∠B，
∴
?ADE:VABD ……………………………………………………（2分）
∴AD2?AE?AB…………………………………………………………（1分） 同理有?ADF:VADC,AD2?AF?AC ………………………………（1分） ∴AE?AB?AF?AC，∴AE=AF． ……………………………………（1分）
（2）∵ AB=AC，AE=AF，∴
AEAF，∴EF∥BC．………………………………（1分） ?ABACDFAD，………………………………………（1分） ?DCAC 由（1）?ADF:VADC有
BDABDEDFCDDF∴，即 ………………………………………………（1分） ??BDDCBDDECDCFDFCF∵，∴， ………………………………………………（1分） ??BDAEDEAECDCF∵AE?AF，∴， ……………………………………………………（1分） ?BDAF
?ADE:VABD有DE?AD， 且AB?AC； ……………………………（1分）