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反演变换的概念及其几个性质

作者：罗文科

来源：《学校教育研究》2018年第08期

反演变换是几何变换的一种，在几何变换中具有一定的地位。了解反演变换的知识也是学习几何知识时所应该做的。作为学习数学的学生应该多了解数学的知识，特别是数学的一些基础知识。再则可多了解一种方法，这样更有利于扩大解题思路，找到更多的解题方法。 （一）反演变换的概念

平面上，设已知一个以O点为圆心，R为半径的圆O。平面上任一异于点O的点A，在OA或OA的延长线上取一点A1（如图1 ），使得 OA·OA1=R2 ① 或OA1=R2/OA ②

我们称点A1是点A关于圆O的反演点，圆O称为反演圆或基圆，点O 称为反演中心或反演极，R称为反演半径或反演幂。

由②式可见，如果点A在反演圆O内，即OAR。所以反演点A1位于圆O外。 反之若点A位于圆O外，则点A1位于圆O内。而当点A位于圆O上时，因为OA=R，所以OA1=R，即点A1也在圆O上且与点A重合，是反演的二重点，也叫不变点。

显然，如果点A1是点A关于圆O的反演点，则点A也是点A1关于圆O的反演点。也就是，A、A1关于圆O互为反演点，有时也简称为互逆点。

在反演变换下，如果图形F变为图形F1，则F1称为图形F关于圆O的反形。而由上面可知F也是F1关于圆O的反形。 这说明，反演变换具有互逆性。 （二）无穷远点

由反演变换的定义，我们可以看到反演中心O没有反演对应点，即没有反演点，因此反演变换不是一一变换，为了后面反演变换性质的讲述和作图中的讨论，我们在下面引入“无穷远点”。

首先考虑两条直线，一条固定，另一条绕它的一个点（不是两条直线的交点）旋转，当它们趋近平行线的位置时，交点越移越远，当两直线成为真正平行时，交点消失。因此产生了熟悉的说法“平行线相交于无穷远点”。