专题复习：中考函数与几何综合压轴题 ——唯一性、存在性的开放性问题（方法与技能学习）

一、教学目标

（一）知识与技能目标

1．掌握根据图中几何信息求解二次函数的解析式； 2．掌握三角形、四边形的综合几何证明； 3．掌握利用全等变换进行拼图． （二）过程与方法目标

1．经历比较不同数学问题的过程，逐步形成同中求异、异中求同的思维品质；

2．经历不同数学问题的思考方法渗透，逐步养成学生按“四六步骤”进行思考的思维习惯，提高学生思考问题的能力；

3．经历全等变换拼图的过程，渗透存在性问题中的拼图分类思想． （三）情感、态度与价值观目标

1．进一步培养学生严谨的科学态度：分类标准要统一，且不重复、不遗漏；推理中要言之有理落笔有据；

2．进一步培养学生不畏艰难，勇于探索的思想品质；

3．通过透视压轴题，让学生感受成功的可能，从而相信自已是最棒的； 4．以数学问题为载体，帮助学生形成解决问题的经验，体现数学的价值． 二、教学重点与难点

重点：形成解答新编函数与几何综合的唯一性、存在性开放性问题的方法； 难点：养成联想转化、试一试的习惯、分类拼图的不遗漏及相关计算的正确． 三、学生对象：中考优生 四、教学过程

A（一）基础自查（压轴题分解点） 具体活动：

F1．师出示两个压轴问题的分解问题（为压轴题第一问和第三E问服务），请同学们看屏幕，独立完成这两个问题，同时请两位学生上黑板展示（大约3分钟）；

CB问题1．（05北京市中考题改编，基础层次）如图，一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开，移动△AEF可以拼出不同形状的

四边形，请画草图示意所拼不同的特殊四边形，并标明相应的名称．

问题2．（原函数压轴题1问改编，基础层次）在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系．然后将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，使点B落在y轴的E点上，则C和D点依次落在第二象限的F点上和x轴的G点上（如图）．求经过B、E、G三点的二次函数解析式．

2．公布答案；

问题1答案：如下图所示：

FFEE ACAyFED54321C1234-3-2-1GAB5xAEF矩形BC教案 第 1 页 共 9 页 2009-5-25

平行四边形BC等腰梯形B

问题2答案：y??12x?x?4． 23．反馈正确率及错误所在，以便详略得当的讲评．

公布答案，同桌同学交换批改，举手统计学生完成情况． （二）考点梳理：从知识、方法、易错点三个维度思考 具体活动：

1．结合自查中学生的错误或解答方法的不同，引出思考方法、解答思路、逐步形成数学思想方法；

问题1：估计个别同学拼不全．分析为什么，引出思考方法．（或者：问如何知道答案只有这三种呢？从面引出思考方法）

思考方法：联想转化、试一试

根据问题信息，联想拼图方法：平移、旋转、翻折；联想特殊四边形概念：所拼图形只有四条边，可以是平行四边形、矩形、正方形、菱形、梯形．从而将问题转化为：利用全等变换将相等边重合．由于相等边不只一种情况，因此需按相等边重合分类讨论．针对每类情况，拼图试一试即可得结论。

解答思路：分类讨论、全等变换试一试．

（1）AF与FB重合：将△AEF绕F点顺时针旋转180?，则得一个矩形（如图）； （2）AF与BF重合：图形不变（如图）

（3）AE与CE重合：将△AEF绕E点顺时针旋转180?，则得平行四边形（如图）； （4）AE与EC重合：将△AEF沿AE翻转后，再沿EC平移，使AE与EC重合，则得等腰梯形再继续将△AEF翻转，使，则得等腰梯形（如图）；

（5）EF与EC重合：此类情形与（2）（3）相同； （6）EF与BC由于不相等，不可能重合，所以不考虑．

（说明：每种情形所作变换方法不唯一，只要能得到答案均可，简便方法最好）． 数学思想方法：分类讨论、全等变换．

问题2：根据设解析式为一般式、顶点式、两点式的不同，引出思考方法． 思考方法：联想转化、试一试

根据问题信息，联想解析式概念：y?ax?bx?c(a?0)、y?a(x?x1)(x?x2)、

2b24ac?b2y?a(x?)?，从而将问题转化为求待定系数的值．要求待定系数的值，联

2a4a想求值的经验，将问题转化为：建立方程．为了使运算简便，根据题中信息选择最易解答的途经：设解析式为交点y?a(x?x1)(x?x2)试一试）

解答思路：（与解应用题类似，但又有不同） （1）设：解析式（三种，选择其中易算的一种）；

（2）列：方程组（根据图中信息，确定点的坐标，代坐标满足解析式）； （3）解：方程（组）； （4）答：（可以写答，也可以写所以）．

数学思想方法：待定系数，数形结合，方程思想． 2．结合以上讨论梳理并板书：

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?1.特殊四边形;?;?2.平移、旋转、翻折三种全等变换知识：?

?3.拼图;?4.求解析式;??思考方法:联相转化、试一试;方法：?

.?思想方法:全等变换、分类讨论、待定系数、数形结合、方程思想易错点：分类标准不统一、遗漏；计算粗心或畏难．

（三）例题精析（压轴题分解点及新编压轴题）

问题3（中档，06中考命题自编证明题改编，压轴题中的唯一性问题） 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC边上的点，AH⊥DE于点H，且BE=EH．试探究AD=DE成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（分析并解答）

变式1：问题3的条件不变，探究变为：连接HC，若DH=HC，

ADH1则Cos∠ADH的值为成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说

2明理由.（说思路，解答作为作业）

BEC变式2：问题3的条件不变，探究变为：若△HDC是等腰△，则Cos∠ADH的值为立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（作为作业）

具体活动：

1．师：出示压轴题分解问题（中档）； 2．生：独立思考，寻找思路；

3．师：思考方法引导，板书方法──联想转化、试一试；

4．生：经历联想、转化、试一试的过程，从而找到解答思路，感受成功喜悦； 5．师：板书解答思路； 6．生：具体完成解答过程．（独立完成，同桌相互检查，集体反馈） 7．变式训练：（变式1说思考方法及解答思路，变式2作为作业） 问题3分析：

1．思考方法：联想转化、顺藤摸瓜、逆向追朔试一试

1成2联想转化：根据题中问题信息，首先将探究AD=DE是否成立，转化为求证：AD=DE成立或不成立．一般是根据成立联想转化，从而得出结论．根据成立联想概念、性质判定、公式法则及解决相关问题的经验，从而将问题转化．

（1）联想概念，将问题转化为：通过计算来证明：求线段长，比较大小，得出结论； （2）联想性质判定，将问题转化为：证一个三角形中，角等，从而所对的边等；或证两个三角形全等，从而对应边相等．（还有吗？请说出）

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顺藤摸瓜、逆向追朔试一试：根据题中信息选择最愿意试的途径（证两个三角形全等，为什么？）

师强调：当选择的第一途径试不通时，一定要另选途径．

2．解答思路：顺藤摸瓜、逆向追朔试一试（（1）证△ABE≌△AHE；（2）证△AHD≌△DCE；（3）得结论）．

3．解：成立．证明如下： 如图，（1）连结AE．

∵四边形ABCD是矩形，AH⊥DE，∴∠B=∠AHE=90?. 又∵BE=EH，AE=AE，∴△ABE≌△AHE．∴AH=AB=DC． ∵AD∥BC，∴∠ADH=∠DEC.

又∵∠AHD=∠DCE=90?，∴△AHD≌△DCE．∴AD=DE．

变式1分析：

1．思考方法：联想转化、顺藤摸瓜、逆向追朔试一试 联想转化：根据问题，进行联想转化

（1）联想定义，将问题转化为求某直角三角形中两条线段长之比，进一步转化为分别求两线段的长；

（2）联想法则，已知特殊角度数可以直接求值，将问题转化为求∠ADH的度数．根据求度数的经验，需建立角度大小的方程．根据直角三角形两锐角和为90?可以建立方程．由于一个等式两未知数不能求解，因此问题进一步转化为探索∠CEH与∠HDC的数量关系）

顺藤摸瓜、逆向追朔试一试：根据题中信息选择最愿意试的途径（求∠ADH的度数，为什么？）．

2．解答思路：设、列（探索等量关系）、解、答（与自查2类似，但有所不同）．

3．解：成立．证明如下： ∵△AHD≌△DCE ，∴HD=EC=HC. ∴∠CEH=∠CHE，∠HDC=∠HCD. ∴∠CEH=2∠HDC．

∴在Rt△DCE中，∠HEC=60?．∴∠ADH=60?． 所以Cos∠ADH?Cos60??BEHADBECHADC1． 2y小结：这种形式的问题叫唯一性开放性问题． 问题4：（压轴题，较难，09自编，第2问是唯一性、第3问是存在性问题）

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，?BCD?90?，且AB?1，BC?2，tan?ADC?2．E是梯形内一点，F是梯形外一点，且?EDC??FBC，DE?BF．现以DC所在直线

-1A2BQE1FD01C2x为x轴，过点A的直线为y轴建立如图所示的坐标系．

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