专题一 直角三角形的存在性问题

【考题研究】

这类问题主要是已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求解第三点。这类问题主要是和动点问题结合在一起，主要在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力，也是近几年来各市地对学生能力提高方面的一个考查。

【解题攻略】

解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．

如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．

在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．

怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．

【解题类型及其思路】

当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究：（1）当动点在直线上运动时，常用的方法是①（2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下，第一当已知点处k1?k2??1 ，②三角形相似，③勾股定理；

作直角的方法①k1?k2??1 ，②三角形相似，③勾股定理；第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角

【典例指引】

类型一 【确定三角形的形状】

典例指引1．

1

（2019·辽宁中考模拟）已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线

y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；

（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．

?123?t?t(0＜t＜3)??2S??2y?x2?2x?3；【答案】（1）（2）C（3，0），D（1，﹣4），△BCD是直角三角形；（3） 132?t?t(t＜0或t＞3)?2?2【解析】

试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）先解方程求出抛物线与x轴的交点，再判断出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，从而得到结论； （3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P在点M上方和下方，分别计算即可．

试题解析：解（1）∵x2+4x?3?0，∴x1??1，x2??3，∵m，n是一元二次方程x2+4x?3?0的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线y?x?2x?3的图象经过点A（m，0），B（0，n），

2 2

1?b?c?0b??22{{∴，∴，∴抛物线解析式为y?x?2x?3； c??3c??322（2）令y=0，则x2?2x?3?0，∴x1??1，x2?3，∴C（3，0），∵y?x?2x?3=(x?1)?4，∴

顶点坐标D（1，﹣4），过点D作DE⊥y轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD是直角三角形；

（3）如图，∵B（0，﹣3），C（3，0），∴直线BC解析式为y=x﹣3，∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，∴点M的横坐标为t，∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，∴P（t，t﹣3），M（t，t2?2t?3），过点Q作QF⊥PM，∴△PQF是等腰直角三角形，∵PQ=2，∴QF=1．

①当点P在点M上方时，即0＜t＜3时，PM=t﹣3﹣（t2?2t?3）=?t2?3t，∴S=

22QF=(?t?3t)=?t?1PM×23t，②如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t＞3时，PM=t2?2t?3﹣211123（t﹣3）=t2?3t，∴S=PM×QF=（t2?3t）=t?t．

2222121213?t2?t (0?t?3)22综上所述，S={．

123t?t (t0或t3)22

【举一反三】

（2019·淮滨县王店乡教育管理站中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于

A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

3

（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；

（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）； （3）符合条件的点P的坐标为（【解析】

分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；

（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；

（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-

7201013，）或（，﹣）， 393911x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-x+3，再解方程组33?y＝?x2?2x?3?得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求?1?y＝?x?33?出此时P点坐标．

详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

4