1.1.1 正弦定理(一)
学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．
知识点一 正弦定理的推导
思考1 如图，在Rt△ABC中，、、各自等于什么？
sin Asin Bsin Cabc
答案
＝＝＝c. sin Asin Bsin C＝＝还成立吗？课本是如何说明的？ sin Asin Bsin Cabc思考2 在一般的△ABC中，
abc答案 在一般的△ABC中，＝＝仍然成立，课本采用边AB上的高CD＝bsin Asin Asin Bsin C＝asin B来证明．
梳理 任意△ABC中，都有＝＝，证明方法除课本提供的方法外，还可借助
sin Asin Bsin C三角形面积公式，外接圆或向量来证明． 知识点二 正弦定理的呈现形式 1.
＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)； sin Asin Bsin Cabcabcabc2．a＝
bsin Acsin A＝＝2Rsin A； sin Bsin Cabc3．sin A＝，sin B＝，sin C＝.
2R2R2R知识点三 解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
类型一 定理证明
例1 在钝角△ABC中，证明正弦定理．
证明 如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，
根据正弦函数的定义知：
CDCD＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sin A，＝sin B. ba∴CD＝bsin A＝asin B．∴
＝.
sin Asin Bab同理，＝.故＝＝.
sin Bsin Csin Asin Bsin C反思与感悟 (1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．
(2)要证＝，只需证asin B＝bsin A，而asin B，bsin A都对应CD.初看是神来
sin Asin B之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力． 跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明＝2R.
sin Abcabcaba
证明 连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C， 则圆周角∠A′＝∠A.
∵A′B为直径，长度为2R， ∴∠A′CB＝90°， ∴sin A′＝a，
A′B2R＝
BC 2
∴sin A＝，即＝2R.
2Rsin A类型二 用正弦定理解三角形
例2 在△ABC中，已知A＝32.0°，B＝81.8°，a＝42.9 cm，解三角形．
解 根据三角形内角和定理，C＝180°－(A＋B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°. 根据正弦定理，得b＝根据正弦定理，得c＝aaasin B42.9sin 81.8°
＝≈80.1(cm)； sin Asin 32.0°asin C42.9sin 66.2°
＝≈74.1(cm)． sin Asin 32.0°
abbcac反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，sin Asin Bsin Bsin Csin Asin C每个等式涉及四个元素，
所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． (2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理： ①已知三角形的任意两角与一边；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角．
跟踪训练2 在△ABC中，已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值． 解 根据三角形内角和定理，
A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
根据正弦定理，得b＝类型三 边角互化 命题角度1 化简证明问题
例3 在任意△ABC中，求证：a(sin B－sin C)＋b(sin C－sin A)＋c(sin A－sin B)＝0. 证明 由正弦定理，令a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，k>0.代入得：
左边＝k(sin Asin B－sin Asin C＋sin Bsin C－sin Bsin A＋sin Csin A－sin Csin B)＝0＝右边， 所以等式成立．
命题角度2 运算求解问题
π
例4 在△ABC中，A＝，BC＝3，求△ABC周长的最大值．
3解 设AB＝c，BC＝a，CA＝b.
asin B18sin 60°
＝＝96. sin Asin 45°
abc3
由正弦定理，得＝＝＝＝23.
sin Asin Bsin Cπ
sin
3
∴b＝23sin B，c＝23sin C，
3
a＋b＋c＝3＋23sin B＋23sin C
＝3＋23sin B＋23sin?＝3＋23sin B＋23?
?2π－B?
?
?3?
1?3?cos B＋sin B?
2?2?
?π?＝3＋33sin B＋3cos B＝3＋6sin?B＋?，
6??
π
∴当B＝时，△ABC的周长有最大值9.
3
反思与感悟 利用＝＝＝2R或正弦定理的变形公式a＝ksin A，b＝ksin B，
sin Asin Bsin Cabcc＝ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化．
跟踪训练3 在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值．
解 ∵A＋B＋C＝π，A∶B∶C＝1∶2∶3， πππ∴A＝，B＝，C＝，
632
13
∴sin A＝，sin B＝，sin C＝1.
22设
＝＝＝k(k>0)，则
sin Asin Bsin C2
2
abck3
a＝ksin A＝，b＝ksin B＝k，c＝ksin C＝k，
13
∴a∶b∶c＝∶∶1＝1∶3∶2.
22
1. 在△ABC中，一定成立的等式是( ) A．asin A＝bsin B C．asin B＝bsin A 答案 C
解析 由正弦定理＝，
sin Asin B得asin B＝bsin A，故选C.
2．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是( ) A．直角三角形
B．等腰三角形 B．acos A＝bcos B D．acos B＝bcos A
ab 4