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练 习 题

第一次作业

1、设A={x| x?R, |x|?5},B={x|x?R, -6?x<0}.求A?B,A?B,A?B,B?A。 2、设A,B是U的子集,规定A+B=(A?B)?(B?A)。证明: (1) A+B=B+A (2) A+?=A (3) A+A=?。

3、求下列集合的所有子集: (1) A={a, b, ?} (2) B={?} (3) C={1}

4、设f:A?B和g:B?C是映射,证明: (1) 如果f和g是单射,则gf是单射 (2) 如果f和g是满射,则gf是满射 (3) 如果gf是单射,则f是单射 (4) 如果gf是满射,则g是满射.

5、对于下面给出的整数集Z到整数集Z的映射f, g ,h: f: x?3x g: x?3x+1 h: x?3x+2 (1) 计算fg, gf, gh, hg, fgh (2) 分别求f, g, h的一个左逆映射 (3) 求f, g, h的一个共同的左逆映射

(4) 求f, g的一个共同的左逆映射,但不是h的左逆映射。 6、设R是实数集合,在R?R上规定二元关系“~”为:

(a, b)~ (c, d)?a+d=b+c

证明“~”是R上的一个等价关系。

7、设A={a, b, c, d, e}, S={{a},{b},{c, d, e}},求A上的一个等价关系R,使A在R下的分类恰为S。

8、设A={1,2,3,4},在幂集2中规定二元关系“~”:

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A

S~T?S与T所含元素个数相同

证明“~”是2上的一个等价关系,并写出商集2/~。

第二次作业

1、设G={(a, b)| a, b?R, a?0}, 规定G中元素运算:

(a, b)(c, d)=(ac, bc+d)

证明:G是一个群,但不是交换群。

2、设G={a, b, c},G的乘法表如下:

a b c a a b c b a b c c a b c

证明:(G,?)是一个半群。

A

A

3、设G是群,证明:

(1) 如果G的每一个元素a的逆元还是a本身,则G是交换群,举例说

明反之不对。

(2) 如果G是非交换群,则存在元素a、b?G, a?b,并且它们均非单位

元,使得ab=ba.

4、在对称群S5中计算:

(1 2 4 3)(3 5 4), (2 1 4 3)(1 3 2 4), (1 2 3 4 5)(1 2 3 4 5) 5、设?=(1 2 3 4 5 6),计算?,?,?。

6、将对称群S8中如下元素表示成不相连的循环置换乘积和对换乘积

?1?2?3?12345678??? 57614823??7、设?,??Sn, 如果?=(i1 i2?is),证明:

?

???1=(?(i1)?(i2)??(is))

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8、在S4中,求(1 2 4)生成的子群H的所有元素。

9、设G是群,C(G)={x| x?G, ?y?G, xy = yx}, 证明:C(G)是G的子群。

(称C(G)是群G的中心)。

10、设H={(1),(234),(243)},证明:H是4次对称群S4的子群。H是否为

不变子群?

11、设A,B是群G的子群,证明AB是G的子群的充分且必要条件是AB=BA。

12、证明有理数加群Q关于Z的商群(环群。

13、设p, q是两个不同的素数,问:pq阶循环群的生成元有几个?求25

阶循环群的所有生成元。

14、设G=(R-{0},?),证明:f:G?G:x?x是群同态,但g:G?G:x?2x不是群同态。

15、设f:G?G?是群满同态,H是G的不变子群,并且Ker(f)?H, 证

明: f (H)是G?的不变子群,并且

2Q,+)的任意有限子群都是循ZGH?G?f(H)

16、设G和H都是有限群,|G|与|H|互素,证明G到H并且H到G的群

同态都是唯一的。 17、证明:Z6?Z2?Z3。

18、设A,B是群G的两个不变子群,并且G=AB,证明:

G(A?B)H?A(A?B)?B(A?B)

19、证明群G在左商集G即如果f:G?E(G最大不变子群。

上的作用的核是含在H中G的最大不变子群。

H) 使f(a)(xH)=axH, 则Ker(f)是含在H中的G的

20、设G是群,A是G的一个非空子集,记NG(A)={x | x?G, xA=Ax},证

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明:

(1) NG(A)是G的子群。

(2) 如果NG(A)=G,则A是G的不变子群吗?

第三次作业

1、 设R是交换环,证明:

(1) R中任意两个幂零元的和仍然是幂零元。 (2) R中任意元素与幂零元的乘积是幂零元。 (3) R中可逆元与幂零元的和是可逆元。

2、 设R是一个元素个数大于1的有限集,证明:关于数的加法和乘法,

R不能构成环。

3、 在Z6中计算下面两个多项式的加法运算和乘法运算:

f(x)=3x?4x?2, g(x)=2x?4x?5x?5 4、 求出Z4[x]中次数不超过2的所有可逆多项式。 5、 在环Z29中,求元素18。

6、 在整数环Z中,求生成元a, b使得=<24>+<36>, =<24>?<36>. 7、 设I1、I2、I3、?都是环R的理想,如果

?1232I1?I2?I3??

证明这些理想的并集

?Ik?1?k是R的理想。

8、 设f:R ?R?是环的满同态,证明:

(1) 如果R是交换环,则R?也是交换环。

(2) 举例说明:R?是交换环,但R未必是交换环。

9、 证明整数环Z到其自身的环同态只能是零同态或是恒等同态。 10、 设R是有单位元1的环,证明R[x]是多项式环R[x]的真子环(即

不等于R[x]的子环),并且有环同构:R[x]?R[x]。 11、 设Z[i]={a+bi | a, b?Z},i??1,证明:

(1) 按复数的通常运算,Z[i]是一个整环。(通常称Z[i]是高斯整环)

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222(2) 如果p是一个素数,证明

Z[i]?p??Z[x]?p,x2?1?。

12 、R是无单位元的环,A是R的理想,如果Z?R是R的有单位元的典

范扩张环,则0?A是Z?R的理想,并求商环Z?R0?A。

(1) 讨论有理数域Q上关于加法群的自同态环End(Q,?) 。 (2) 在有理系数多项式环Q[x]中,证明: 是极大理想,也是素理想。

13、设p是素数,在偶数环2Z中,证明主理想<2p>是极大理想,但<2p>

是素理想的充分且必要条件:p是不等于2的素数。 14、 设R={a+3bi | a, b?Z},i??1

(1) 按通常数的运算,证明:R是整环。 (2) 求R的所有可逆元。

15、 高斯整环Z[i]中,证明3是素元,但2不是素元。

16、证明高斯整环Z[i]是欧氏环。 17、证明域都是欧氏环。

18、在高斯整环Z[i]中将元素15进行既约元因子分解。 19、将下列多项式分解为既约多项式的乘积:

(1) Z2[x]中多项式 x?1 (2) Z5[x]中多项式x?1

20、证明:按数的通常运算,Q[i]={a + bi | a, b?Q} 是一个域。(i??1)

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