大学物理(上)课后习题答案 下载本文

第6章 机械波

6.8 已知波源在原点的一列平面简谐波,波动方程为y=Acos(Bt?Cx),其中A,B,C为正值恒量。求:

⑴ 波的振幅、波速、频率、周期与波长;

⑵ 写出传播方向上距离波源为l处一点的振动方程;

⑶ 任一时刻,在波的传播方向上相距为d的两点的位相差。

解:⑴ 已知平面简谐波的波动方程:y?Acos(Bt?Cx) (x?0) 将上式与波动方程的标准形式:y?Acos(2??t?2?x?)比较,可知:

波振幅为A,频率??B22?,波长???C,波速u????BC,

波动周期T?12???B。

⑵ 将x?l代入波动方程即可得到该点的振动方程:y?Acos(Bt?Cl)

⑶ 因任一时刻t同一波线上两点之间的位相差为:???2?(x2?x1)

将x??2?x1?d,及??2C代入上式,即得:???Cd。 6.9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y=0.05cos(10?t?4?x),式中

x,y以米计,t以秒计。求:

⑴ 绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度;

⑵ 求x=0.2m处质点在t=1s时的位相,它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在t=1.25s时刻到达哪一点? 解:⑴ 将题给方程与标准式y?Acos(?t?2??x)相比,得:

振幅A?0.05m,圆频率??10?,波长??0.5m,

波速u??????2??2.5ms。

绳上各点的最大振速,最大加速度分别为:

vmax??A?10??0.05?0.5?m?s?1

amax??2A?(10?)2?0.05?5?2m?s?2

⑵x?0.2 m处的振动比原点落后的时间为:

x0.2u?2.5?0.08s 故x?0.2m,t?1s时的位相就是原点(x?0),在t0?1?0.08?0.92s时的位相,即:??9.2π。

设这一位相所代表的运动状态在t?1.25s时刻到达x点,则,

x?x1?u(t?t1)?0.2?2.5(1.25?1.0)?0.825m

6.11 一列平面余弦波沿x轴正向传播,波速为5 m/s,波长为2m,原点处质

点的振动曲线如题6.11图所示。 ⑴ 写出波动方程;⑵作出t=0时的波形图及距离波源0.5m处质点的振动曲线。解: ⑴ 由题6.11(a)图知,A?0.1 m,且

t?0时,y3?0?0 , v0?0,∴?0?2, 又??u?5?2?2.5Hz,则??2???5? 取y?Acos[?(t?xu)??0],则波动方程为:y?0.1cos[5?(t?x5)?3?2]m

⑵ t?0时的波形如题6.11(b)图

x?0.5m代入波动方程,得该点处的振动方程为:

y?0.1cos[5?t?5??0.53?5?2]?0.1cos(5?t??)m

如题6.11(c)图所示。

6.12 如题6.12图所示,已知t=0时和t=0.5s时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b),周期T>0.5s,波沿x轴正向传播,试根据图中绘出的条件求:

⑴ 波动方程;⑵P点的振动方程。 解:⑴ 由题6.12图可知,A?0.1m,??4m,

又,t?0时,y0?0,v0?0,

∴??0?2,

而u??x?t?10.5?2 m?s-1,??u??24?0.5Hz,∴??2????

故波动方程为:y?0.1cos[?(t?x?2)?2]m

⑵ 将xP?1m代入上式,即得P点振动方程为:

y?0.1cos[(?t??2??2)]?0.1cos?t m

6.13 一列机械波沿x轴正向传播,t=0时的波形如题6.13图所示,已知波速为10 m/s1,波长为2m,求: ⑴波动方程;

⑵ P点的振动方程及振动曲线; ⑶ P点的坐标;

⑷ P点回到平衡位置所需的最短时间。 解:由题6.13图可知A?0.1m,

t?0时,y0?A,v??0?0,∴0?,由题知??2m,u?10m?s-123,则??u10??2?5Hz,∴??2???10?

⑴ 波动方程为:y?0.1cos[10?(t?x?10)?3]m

⑵ 由图知,t?0时,yA?4?P??2,vP?0,∴?P?3 (P点的位相应落

后于0点,故取负值)

∴P点振动方程为y4p?0.1cos(10?t?3?) ⑶ 由10?(t?x10)??3|45t?0??3?解得:x?3?1.67m ⑷ 根据⑵的结果可作出旋转矢量图如题6.13图(a),

则由P点回到平衡位置应经历的位相角

????3??2?56? ∴所属最短时间为:?t???5?/6??10??112s 6.14 如题6.14图所示,有一平面简谐波在空间传播,已知P点的振动方程为

yP=A cos(?t??0)。

⑴ 分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程;

⑵ 写出距P点距离为b的Q点的振动方程。

解:⑴ 如题6.14图(a),则波动方程为:y?Acos[?(t?lu?xu)??0] 如图(b),则波动方程为:y?Acos[?(t?xu)??0]

⑵ 如题6.14图(a),则Q点的振动方程为:AbQ?Acos[?(t?u)??0] 如题6.14图(b),则Q点的振动方程为:AbQ?Acos[?(t?u)??0] 6.17 一平面余弦波,沿直径为14cm的圆柱形管传播,波的强度为18.0×10-3J/(m2·s),频率为300 Hz,波速为300m/s,求波的平均能量密度和最大能量密度.

解: ∵I?wu, ∴ w?I10?3u?18.0?300?6?10?5J?m?3, w?4?3max?2w?1.2?10 J?m

6.18 如题6.18图所示,S1和S2为两相干波源,振幅均为A1,相距?4,S1较S2位相超前?2,求:

⑴ S1外侧各点的合振幅和强度;⑵ S2外侧各点的合振幅和强度

解:(1)在S1外侧,距离S1为r1的点,S1S2传到该P点引起的位相差为:?????????r??2?21?(r1?4)????,∴ A?A1?A1?0,I?A2?0 (2)在S2外侧.距离S2为r1的点,S1S2传到该点引起的位相差:

????2?2??(r2??4?r2)?0,∴ A?A221?A1?2A1,I?A?4A1

6.20 一平面简谐波沿x轴正向传播,如题6.20图所示。已知振幅为A,频率为?,波速为u。

⑴ 若t=0时,原点O处质元正好由平衡位置向位移正方向运动,写出此波的波动方程;

⑵ 若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等,试写出反射波的波动方程,并求x轴上 因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置。

解: ⑴ ∵t?0时,y0?0,v0?0, ∴?0???x?2,故波动方程为:y?Acos[2??(t?u)?2]m

⑵ 入射波传到反射面时的振动位相为(即将x?34?代入)?2???34???2,再考虑到波由波疏入射而在波密界面上反射,存在半波损失,所以反射波在

界面处的位相为:?2???34???2????? 若仍以O点为原点,则反射波在O点处的位相为?2???34?????52?,因只考虑2?以内的位相角,∴反射波在O点的位相为??2,故反射波的

波动方程为:y?Acos[2??(t?xu)??反2]

y?Acos[2??(t?x)??]?Acos[2x?此时驻波方程为:u2??(t?u)?2] ?2Acos2??x?

ucos(2??t?2)故波节位置为:2??x?u?2??x?(2k?1)?2

故 x?(2k?1)4 (k?0,?1,?2,…)

根据题意,k只能取0,1,即x?14?,34? 6.23 两列波在一根很长的细绳上传播,它们的波动方程分别为

y1=0.06cos(?x?4?t)(SI), y2=0.06cos(?x?4?t)(SI)。

⑴ 试证明绳子将作驻波式振动,并求波节、波腹的位置; ⑵ 波腹处的振幅多大?x=1.2m处振幅多大? 解:⑴ 它们的合成波为:

y?0.06cos(?x?4?t)?0.06cos(?x?4?t)?0.12cos?xcos4?t

出现了变量的分离,符合驻波方程特征,故绳子在作驻波振动。 令?x?k?,则x?k,k=0,±1,±2…此即波腹的位置;

令?x?(2k?1)?,则x?(2k?1)122,k?0,?1,?2,…,此即波节的位置。

⑵波腹处振幅最大,即为0.12m;x?1.2 m处的振幅由下式决定,即:

A驻?0.12cos(??1.2)?0.097m

第7章 气体动理论基础 P218

7.20 设有N个粒子的系统,其速率分布如题7.20图所示。求 ⑴ 分布函数f(?)的表达式; ⑵ a与?0之间的关系; ⑶ 速度在1.5?0到2.0?0之间的粒子数。 ⑷ 粒子的平均速率。 (5) 0.5?0到?0区间内粒子平均速率。 解:⑴从图上可得分布函数表达式: Nf(?) ??Nf(?)?a?/?0(0????0)a ??Nf(?)?a(?0???2?0), ?Nf(?)?0(??2?0)? ?a?/N??O ?0

2?0

0(0???0)f(?)???a/N(题7.20图

??0???2?0)

?0(??2?0)⑵ f(?)满足归一化条件,但这里纵坐标是N f(?)而不是f(?),故曲线下的总面

积为N. 由归一化条件:??0a?0N?d??Na?2N0?2?0?ad??N,可得03? 0⑶ 可通过面积计算

?N?a?(2?10?1.5?0)?3N

⑷N个粒子平均速率:

?????f(?)d??1?0N?0?Nf(?)d????0a?20?d??0?2?0?a?d?0 ?11

N(3a?232110?2a?0)?9?0(5) 0.5?0到?0区间内粒子数:N11?2(a?0.5a)(?)?3N0?0.5?08a?0?4 0.5?0到?0区间内粒子平均速率:

?0???0.5??dN0?dNN?N?01N?N?0?f(?)d?1?0.5?0NN1?0.5? 0??N?1?30a?20a?21a?0av31720N?d??d??(?)?a?0 10.5?0N?0N1?0.5?0?0N13?024?0N124??7a?207?N?069

7.21 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于?p-?p/100与?p+?p/100之间的分子数占总分子数的百分比。 解:令u??dN?,则麦克斯韦速率分布函数可表示为:

?4u2e?u2du PN?因为u=1,?u=0.02 由

?N?4?u2e?u2?u,得 ?N4N???1?e?1N?0.02?1.66% 7.22 容器中储有氧气,其压强为P=0.1MPa(即1atm)温度为27℃求: ⑴ 单位体积中的分子数n;⑵ 氧分子的质量m;⑶ 气体密度ρ;⑷ 分子间的平均距离e;(5) 平均速率?;(6)方根速率?2;(7)分子的平均动能?。 解:⑴ 由气体状态方程p?nkT得:

?pkT?0.1?1.013?105n1.38?10?23?300?2.45?1024m-3

⑵ 氧分子的质量:m?Mmol0.032N?.02?1023?5.32?1026 Kg 06⑶ 由气体状态方程pV?MMRT,得: mol??Mmolp0.032?0.1?1.013RT??1058.31?300?0.13kg?m?3

⑷ 分子间的平均距离可近似计算

e?13n?132.45?1024?7.42?10?9 m

(5) 平均速率:??1.60RT?1.608.31?300?446.58m?s?1M mol0.032