第三章 力系的平衡习题解
[习题3－1] 三铰拱受铅直力F作用，如拱的重量不计，求A、B处支座反力。 [解]:
（1）画受力图如图所示。 （2）因为BC平衡，所以
①
?Fix?0
RCcos450?RBsin??0
lsin??29l22?1?l10
443lcos??29l2l2?310
4?4R1C?2RBsin??5?RB?
②
?Fiy?0
R0Csin45?RBcos??FP?0
R1C2?310RB?FP
1R135B2?10RB?FP
R10B?4FP?0.79FP R1C?5?0.79FP?0.35FP
1
R'CCRAABOF?lP2C450RC?lRB（3）由AC的平衡可知：RA?RC?'15?0.79FP?0.35FP
[习题3－2] 弧形闸门自重W＝150ｋＮ，试求提起闸门所需的拉力F和铰支座处的反力。
O
FRA
? BAC
W
解：
?MA(Fi)?0
?Fcos600?2?Fsin600?8?W?6?0
?F?0.866F?8?150?6?0 7.928F?900
F?113.522(kN)
?Fix?0
Fcos600?RAx?0
RAx?113.522?0.5?56.761(kN) （←）
?Fiy?0
Fsin600?RAy?W?0
RAx?W?Fsin600?150?113.522?0.866?51.690(kN) （↑）
RA?56.7612?51.692?76.77(kN)
??arctan51.69?42.3230
56.761[习题3－3] 已知F＝10ｋＮ，杆AC、BC及滑轮重均不计，试用作图法求杆AC、BC对轮的约束力。
2
解： 作力三角形图如图所示。 RB?TRARBCFRBFT2?10?14.142(kN)，RA?0
[习题3－4] 直径相等的两均质混凝土圆柱放在斜面与之间，柱重W1?W2?40kN。设圆柱与斜面接触处是光滑的，试用作图法求圆柱对斜面D、E、G处的压力。
606003000NG N 12W2GW2300NGN12
解：（1）以上柱为研究对象，其受力图与力三角形图如图所示。由力三角形图上读得：
1NG?W2?0.5?40?20(kN)，方向如图所示。
2 N12?W2cos30?40?0.866?34.64(kN)
（2）以下柱为研究对象，其受力图与力多边形如图所示。
NE' N12N12
300600600G
W1ND NEW2ND
300
3
0ND?W2cos300?N12?40?0.866?34.64?69.28(kN)
[习题3－5] 图示一履带式起重机，起吊重量W＝100ｋＮ，在图示位置平衡。如不计吊臂AB 自重及滑轮半径和摩擦，求吊臂AB及缆绳AC所受的力。
解：以轮A为研究对象，其受力图如图所示。由轮A的平衡条件可得：
yAxTAC200W300450WRAB?Fix?0
RABcos450?Wcos300?TACcos200?0
0.7071RAB?0.9397TAC?86.6………………………..(1)
?Fiy?0
RABsin450?Wsin300?TACsin200?W?0
0.7071RAB?0.342TAC?150………………………..(2)
(2)-(1)得：
0.5977TAC?63.4 TAC?106.073(kN)
RAB?86.6?0.9397TAC86.6?0.9397?106.073??263.438(kN)
0.70710.7071
[习题3－6] 压路机碾子重W＝20ｋＮ，半径R＝400ｍｍ，若用水平力F拉碾子越过高ｈ＝80ｍｍ的石坎，问F应多大?若要使F为最小，力F与水平线的夹角α应为多大?此时F等于多少?
4
解：碾子走越过石坎时，F(R?h)?WR2?(R?h)2
F?4002?3202?20?15(kN)
320当F倾斜时，
Fcos??(R?h)?Fsin??R2?(R?h)2?WR2?(R?h)2
320Fcos??240Fsin??4800 4Fcos??3Fsin??60 F?令
60
4cos??3sin?dF0?60(?4sin??3cos?)??0，得： d?(4cos??3sin?)24sin??3cos? tan??0.75
??arctan0.75?370，此时， Fmin?60?12(kN) 004cos37?3sin37[习题3－7] 长２l的杆AB，重Ｗ，搁置在宽α的槽内。A、D接触处都是光滑的，试求平衡时杆AB与水平线所成的角?。设l?a。
5
WxB?Cl?NDyADl?NAa解：以AB杆为研究对象，其受力图如图所示。
?MA(Fi)?0
yW?aND??W?lcos??0
cos?lND?Wcos2?
al?BC?Fix?0
NAx?NDsin??0
lAD?NAxNDxaNAylNAx?NDsin??Wcos2?sin?
a?FNAyiy?0
NANAy?NDcos??W?0
?ND?Wll?W?NDcos??W?Wcos3??W(1?cos3?)
aa实际上，AB杆在A处所受到的约束是光滑面接触约束，约束反力的方向沿着接触面的公法线方向，即水平方向，指向AB杆，故
lNAy?W(1?cos3?)?0
aacos3??
ll??arccos()3
a[习题3－8] 图示结构上作用一水平力F，试求A、C、E三处的支座反力。
1
解：
6
aR'B BRD2a??RBDB??
A C RRCA(a) (b)
（a） 图：
?Fiy?0
?RAcos??RBcos??0 RA?RB
?Fix?0
?RAsin??RBsin??F?0 RFFA?RB?sin??a?5Fa2?(2a)2 2RA?5F
R5A?2F?RB （b）图：
?Fix?0
?Rsin??R'DBsin??0 R'5D?RB?RB?2F ?Fiy?0
R'C?RDcos??RBcos??0
7
RHHGRG(c)F
RC?2RDcos??2?52aF??2F 25a（c）图：由作用与反作用公理及（C）图的平衡条件可知：RE?RC?2F。
[习题3－9] AB、AC、AD三连杆支承一重物如图所示。已知W＝10ｋＮ，AB＝４ｍ，AC＝３ｍ，且ABEC在同一水平面内，试求三连杆所受的力。
解：以结点A为研究对象，其受力图如图所示。由结点A平衡条件可知：
zEBNAB4m300?C3mNACAWDxNADy?Fiz?0
0 NADcos30?W?0
NAD?W/cos300?10/0.866?11.547(kN)
?Fix?0
NADsin300cos??NAC?0
NAC?NADsin300cos??11.547?0.5?3?3.464(kN) 5?Fiy?0
NADsin300sin??NAB?0
NAB?NADsin300sin??11.547?0.5?4?3.619(kN) 5[习题3－10] 立柱AB用三根绳索固定，已知一根绳索在铅直平面ABE内，其张力FT＝100ｋＮ，立柱自重W＝20ｋＮ，求另外两根绳索AC、AD的张力及立柱在B处受到的约束力。
8
解：以结点A为研究对象，其受力图如图所示。 由定滑轮的性质可知，TAE?FT?100kN
由结点A的平衡条件可知， ①
AFTRAzTADTACTAED?MCD(Fi)?0
00By?RA?3?FTsin30?3?FTcos30?4?0
xEC?3RA?150?346.4?0 RA?165.47(kN)
②
?Fix?0
32?32?2322?TAD???0 2234TAC?42?32?32TAC?TAD
?Fiz?0
434?TAE?434441?TAD??FT??0 5234434?50?0
RA?TAC?165.47?TAC?434?80?TAD?434TAC??TAD??35.47
TAC?TAD?51.7
9
2TAC?51.7
A'RAzTAC?25.85(kN)?TAD
以主柱AB为研究对象，其受力图如图所示。
W?Fiz0?
'ByRB?W?RA?20?165.47?185.47(kN)
xRB[习题3－11] 连杆AB、AC、AD铰接如图。杆AB水平。绳AEG上悬挂重物W＝10ｋＮ。 图示位置，系统保持平衡，求G处绳的张力FT及AB、AC、AD三杆的约束力。ｘｙ平面为水平面。
解：以结点E为研究对象，其受力图如图所示。
TEAFT?Fiy?0
E300TEAsin300?W?0
TEA?2W?2?10?20(kN)
W?Fix?0
TEAcos300?FT?0
FT?TEAcos300?20?0.866?17.32(kN)
10
zANAENACNAB900BNADx300C450600OE450Dy?Fiz?0
NACsin450sin600?NADsin450sin600?NAEsin300?0
NAC?23231??NAD???NAE??0 2222261?NAE??0 22NAC?6NAC?NAE?0
NAC?NAE/6?20/6?8.16(kN)
?Fiy?0
NACcos450?NADcos450?0
NAD?NAC?8.16(kN)
?Fix?0
NACsin450cos600?NADsin450cos600?NAEcos300?NAB?0
NAC?23?NAE??NAB?0 2223?20??NAB?0 22NAC?0.707NAC?17.32?NAB?0
NAB?0.707NAC?17.32?0.707?8.16?17.32?23.1(kN)
11
[习题3－12] 水平圆轮的直径AD上作用着垂直于直径AD、大小均为100Ｎ的四个力，该四力与作用于E、H的力F、F′成平衡，已知F＝－F′，求F与′的大小。 解：
?M?0
F?0.4cos300?100?0.2?100?0.4?0 F?60/(0.4?0.866)?173(N) F'?F?173N
[习题3－13] 滑道摇杆机构受两力偶作用，在图示位置平衡。已知OO1＝OA＝０.２ｍ，M1＝200Ｎ·ｍ，求另一力偶矩M2及O、O1两处的约束力（摩擦不计）。
解：以OA为研究对象，其受力图如图所示。
?MA(Fi)?0
R0x?0.1?R0y?0.2cos30?M1?0
0.1R0x?0.1732R0y?200?0 R0x?1.732R0y?2000…………(1)
以O1A为研究对象，其受力图如图所示。
0ROxOM1300ARAyROyO1A?0.2cos300?2?0.346(m) O1B?0.346cos600?0.173(m) AB?0.346sin600?0.3(m)
12
?MA(Fi)?0
AM2RO1x'RAy'RAxR01x?0.3?R01y?0.173?M2?0 0.3R01x?0.173R01y?M2?0……..(2)
以整体为研究对象，其受力图如图所示。
?F?Fix?0
600O1BRO1x?ROx?0……..(3)
iyRO1y?0
ROxROyORO1y?ROy?0………(4)
M1A300?MO1(Fi)?0
?ROx?0.2?200?M2?0 M2?0.2ROx?200……..(5)
（1）~（5）联立，解得：
M2RO1x300O1RO1yR0y?0
RO1y?0
R0x?2000（N） RO1x??2000（N）
M2?0.2ROx?200?0.2?2000?200?600(Ｎ·ｍ)
[习题3－14] 一力与一力偶的作用位置如图所示。已知F＝200Ｎ，Ｍ＝100Ｎ·ｍ，在C点加一个力使F与M成平衡，求该力及ｘ的值。
13
解：根据力偶只能由力偶平衡的性质， 必须在C点力上一个力F，与原力F构 成一力偶。所加上的力的大小为F=200N， 方向如图所示。设力偶臂为d,则：
x1m300C030F300FMFd?M
d?M/F?100/200?0.5(m)
x?(1?0.50)cot30?0.732(m) 0cos30[习题3－15] 杆件AB固定在物体D上，二板钳水平地夹住AB，并受铅直力F、F′作用。设
F＝F′＝200Ｎ，试求D对杆AB的约束力。重量不计。
zMByyMBxDBMF'xF
M'A解：用力的平移定理，把F与F′平移至AB杆上。以AB杆为研究对象，其受力图如图所示。M?M?200?0.12?24(N?m)
'?Mx(Fi)?0
' MBx?M?M?0
MBx?2M?2?24?48(N?m)
?My(Fi)?0
?MBy?200?0.18?0
MBy?200?0.18?36(N?m)
14
约束力偶矩的大小：MB?MBx?MBy?482?362?60(N?m)
22约束力偶矩矢的方向：??arctanMByMBx?arctan?36??36.870（在第四象限） 48[习题3－16] 起重机如图所示。已知AD＝DB＝１ｍ，CD＝1.5ｍ，CM＝１ｍ；机身与平衡锤E共重W1?100kN，重力作用线在平面，到机身轴线的距离为0.5ｍ；起重量
W2?30kN。求当平面LMN平行于AB时，车轮对轨道的压力。
解：因为起重机平衡，所以：
NANBNC?MAB(Fi)?0
?NC?1.5?W1?0.5?W2?0.5?0
NC?(100?0.5?30?0.5)/1.5?43.333(kN)
?MCD(Fi)?0
NB?1?NA?1?W1?0.5?W2?4?0 NB?NA?70………………(1)
?Fiz?0
NA?NB?NC?W1?W2?0
NA?NB?43.333?100?30?0
15
NA?NB?86.667………………(2)
(1)+(2)得：
2NA?156.667 NA?78.334(kN)
NB?86.667?NA?86.667?78.334?8.333(kN)
[习题3－17] 有一均质等厚的板，重200Ｎ，铰A用球铰，另一铰B用铰链与墙壁相连，再用一索EC维持于水平位置。若∠ECA＝∠BAC＝３０°，试求索内的拉力及A、B两处的反力（注意：铰链B沿y方向无约束力）。 解：由板的平衡条件可知：
?MAC(Fi)?0
RBZ?AB?0 RBZ?0
RAzRAyFTRBx?Mz(Fi)?0
RAx?RBx?AB?0 RBx?0
RBzW
?Mx(Fi)?0
AB?0 2FTsin300?AB?W?FT?W?200(N)
?Fix?0
RAx?FTcos300sin300?0
RAx?200?0.866?0.5?86.6(N)
?Fiy?0
RAy?FTcos300cos300?0
16
RAy?200?(32)?150(N) 2?Fiz?0
RAz?FTcos300cos300?0
RAy?200?(32)?150(N) 2RAz?FTsin300?W?0 RAz??FTsin300?W
RAz??200?0.5?200?100(N)
[习题3－18] 手摇钻由支点B、钻头A和一个弯曲手柄组成。当在B处施力FB并在手柄上加力F时，手柄恰可以带动钻头绕AB转动（支点B不动）。已知：FB的铅直分量FBz＝50Ｎ，
F＝150Ｎ。求：（１）材料阻抗力偶Ｍ为多大?（２）材料对钻头作用的力FAx、FAy、FAz为多大?（３）力FB在ｘ、ｙ方向的分力FBx、FBy为多大? 解：
?Mx(Fi)?0
?FBy?0.4?0
FBy?0
?My(Fi)?0
FBx?0.4?F?0.2?0
FBx??150?0.2/0.4??75(N)
?Mz(Fi)?0
M?F?0.15?0
M?150?0.15?22.5(N?m)
?F
ix?0
17
FAx?F?FBx?0
FAx??F?FBx??150?(?75)??75(N)
?Fiy?0
FBy?FAy?0 FAy??FBy?0
?Fiz?0
FAz?FBz?0 FAz?FBz?50(N)
[习题3－19] 矩形板固定在一柱子上，柱子下端固定。板上作用两集中力F1、F2和集度为q的分布力。已知F1＝2ｋＮ，F2＝4ｋＮ，ｑ＝400Ｎ／ｍ。求固定端Ｏ的约束力。
DF2zq3m3mCF1600?A4m4mMzROzBMyROy6m
解：
OMxxROxy?Fix?0
0 ROx?F1cos60sin??0
ROx??F1cos600sin???2?0.5?
3??0.6(kN) 5?Fiy?0
0 ROy?F1cos60cos??0
18
ROx?F1cos600cos??2?0.5?4?0.8(kN) 5?Fiz?0
0 ROz?F1sin60?F2?q?6?0
ROz?F1sin600?F2?q?6?2?0.866?4?0.4?6?8.132(kN)
?Mx(Fi)?0
Mx?0.4?6?4?2?0.866?4?0
Mx?0.4?6?4?2?0.866?4?2.672(kN?m)
?My(Fi)?0
My?2?0.866?3?0
My??2?0.866?3??5.196(kN?m)
?Mz(Fi)?0
Mz?0
[习题3－20] 板ABCD的A角用球铰支承， B角用铰链与墙相连（ｘ向无约束力），CD中点E系一绳，使板在水平位置成平衡，GE平行于ｚ轴。已知板重F1＝8ｋＮ，F2＝2ｋＮ，试求A、B两处的约束力及绳子的张力。图中长度单位为m。 解：
?Mx(Fi)?0
TE?4?F1?2?F2?1?0
TE?(8?2?2?1)/4?4.5(kN)
RBz?My(Fi)?0
RAzRAyTERBzRBz?2?4.5?1?8?1?2?2.5?0 RBz?(?4.5?8?5)/2?4.25(kN)
RAx?M
z(Fi)?0
RBy?2?0
19
RBy?0
?F?Fix?0
RAx?0
iy?0
RAy?RBy?0 RAy??RBy?0
?Fiz?0
RAz?RBz?TE?F1?F2?0
RAz??RBz?TE?F1?F2??4.25?4.5?8?2?1.25(kN)
[习题3－21] 均质杆AB，重W，长l，A端靠在光滑墙面上并用一绳AC系住，AC平行于ｘ轴， B端用球铰连于水平面上。求杆A、B两端所受的力。图中长度单位为m。 解：
?Fiz?0
RAyRBz?W?0 RBz?W
TAD
lcos600sin600?RAylsin600?0 2?Mx(Fi)?0
W
RBz?lcos600sin600?WRByRAy?0.5RBz?0.25W?0.5W?0.25W?0.25W
RBxRBz?Fiy?0
RBy?RAy?0 RBy??RAy??0.25W
?MAD(Fi)?0
RBylcos600cos600?RBxlcos600sin600?0
20
13RBy?RBx?0 22RBx?33RBy??(?0.25W)??0.144W 33?Fix?0
TA?RBx?0 TA??RBx?0.144W
[习题3－22] 扒杆如图所示，竖柱AB用两绳拉住，并A在点用球铰约束。试求两绳中的拉力和A处的约束力。竖柱AB及梁CD重量不计。
解：
K
RAzRAyRAx?MBK(Fi)?0
?RAx?6?0 RAx?0
?MGH(Fi)?0
RAz6cot600cos450?20?(5?6cot600cos450)?0
2.449RAz?20?7.449?0 RAz?60.833(kN)
21
?Fix?0
TBHcos600sin450?TBGcos600sin450?0
TBH?TBG
?Fiz?0
RAz?TBGsin600?TBHsin600?20?0
60.833?1.732TBH?20?0 TBH?23.576(kN) TBG?23.576(kN)
?Fiy?0
RAy?2TBHcos600cos450?0
RAy?23.576?0.7071?16.671(kN)
[习题3－23] 正方形板ABCD由六根连杆支承如图。在A点沿AD边作用水平力F。求各杆的内力。板自重不计。
zBaCFAN5450Da
解：
?N4N1N2aN3
yN6x?Fiy?0
N4cos?sin450?F?0
22
N4?2a3a?12?F?0
N4??3F??1.732F （拉力）
?Mz(Fi)?0
F?a?N2cos450?a?0
F?12N2?0
N2?1.41F （压力）
?Fix?0
23?cos450?N2cos450?0
N5cos450?N4?23N5?N4??N2?0 2323N5??N4??N2??3F??2F??22F??2.82F （拉力）
?MCD(Fi)?0
0?N6a?N5cos45?a?0
zBFAN5450aC2N6?N5?0
N6??N5/2?22F/2?2F（压力）
DaN3?N4N1N2ay?My(Fi)?0
N6x?N1a?N6a?0 N1?N6?0
N1??N6??2F （拉力）
?M
AD(Fi)?0
N3a?0
23
N3?0
[习题3－24] 曲杆ABC用球铰A及连杆CI、DE、GH支承如图，在其上作用两个力F1、F2。
F1力与ｘ轴平行，F2铅直向下。已知F1＝300Ｎ，F2＝600Ｎ。求所有的约束力。
NC9.7NDNGRAz?6.71?RAyRAx
解：
?Mz(Fi)?0
?NDcos??3?0 ND?0
?My(Fi)?0
F1?7?NGsin450?3?NDsin??6?0
300?7?2.1213NG?0?0 2100?2.1213NG?0 NG??990(N) (拉力)
?Mx(Fi)?0
F2?3?NC?5?NGsin450?4?0
24
600?3?5NC?2.828NG?0 360?NC?0.566NG?0
NC?360?0.566NG?360?0.566?(?990)??200(N) （拉力）
?Fix?0
RAx?F1?NGcos450cos??0
RAx??F1?NGcos450cos???300?(?990)?0.7071?3?120(N) 5?Fiy?0
RAy?NGcos450sin??0
RAy?NGcos450sin???990?0.7071?4??560(N) 5?Fiz?0
RAz?NGsin450?F2?NC?0
RAz??NGsin450?F2?NC??(?990)?0.7071?600?(?200)?1500(N)
[习题3－25] 试判断下列各结构是静定的还是超静定的?
解：
超静定结构静定结构静定结构
超静定结构
25
静定结构静定结构静定结构[习题3－26] 外伸梁AC受集中力FP及力偶（F，F′）的作用。已知FP＝2ｋＮ，力偶矩M＝1.5ｋＮ·ｍ，求支座A、B的反力。
解：
（1）以AC为研究对象，画出其受力图如图所示。
（2）因为AC平衡，所以 ①
RAxRAyMA4mFB450RBC2m?MA(Fi)?0
0 RB?4?M?Fsin45?6?0
RB?(M?Fsin45?6)/4?(1.5?2?0.7071?6)/4?2.49(kN) ②
0?Fix?0
0 RAx?Fcos45?0
0 RAx??2cos45??1.41(kN)
③
?Fiy?0
0 RAy?RB?Fsin45?0
RAy??RB?Fsin45??2.5?2?0.7071??1.08(N)
[习题3－27] 求图示刚架支座A、B的反力，已知：图（a）中，M＝2.5ｋＮ·ｍ，F＝5ｋＮ；图（ｂ）中，ｑ＝１ｋＮ／ｍ，F＝3ｋＮ。
26
0解：图（a）
（1）以刚架ABCD为研究对象，画出其受力图如图所示。 MF4 CD3 2.5m ARAxB RAy2mRB
（2）因为AC平衡，所以 ①
?MA(Fi)?0
R3B?2?M?F?5?2.5?F?45?2?0 2RB?2.5?7.5?8?0 RB?1(kN) ②
?Fix?0
R3Ax?F?5?0 R?5?3Ax5?3(kN)
③
?Fiy?0
R4Ay?RB?F?5?0
27
RAy??RB?F?解：图（a）
4??1?5?0.8?3(kN) 5（1）以刚架ABCD为研究对象，画出其受力图如图所示。
（2）因为AC平衡，所以 ①
2mCDF3mARAyRAx4mBRB?MA(Fi)?0
RB?4?F?3?q?4?2?0 4RB?3?3?1?4?2?0 RB?(9?8)/4?4.25(kN) ②
?Fix?0
RAx?F?0 RAx??F??3(kN) ③
?Fiy?0
RAy?RB?q?4?0
RAy??RB?q?4??4.25?1?4??0.25(kN)
[习题3－28] 弧形闸门自重W＝150ｋＮ，水压力FP＝3000ｋＮ，铰Ａ处摩擦力偶的矩M＝60ｋＮ·ｍ。求开始启门时的拉力FT及铰A的反力。
28
FTRAxRAyFP解：
B
开始打开闸门时，B与地面脱开，NB?0。 因为此时闸门平衡，所以 ①
?MA(Fi)?0
M?W?4?FP?0.1?FT?6?0 60?150?4?3000?0.1?FT?6?0 60?600?300?FT?6?0 10?100?50?FT?0 FT?60(kN)
②
?Fix?0
RAx?FPcos300?0
RAx??3000?0.866??2598(kN)
③
?Fiy?0
RAy?FT?FPsin300?W?0
RAy??FT?FPsin300?W??60?3000?0.5?150??1410(kN)
[习题3－29] 图为一矩形进水闸门的计算简图。设闸门宽（垂直于纸面）１ｍ，AB＝２ｍ，重W＝15ｋＮ，上端用铰A支承。若水面与A齐平后无水，求开启闸门时绳的张力FT。
29
解：
CAC?ABsin300?2?0.5?1(m) BC?ABcos300?2?0.866?1.732(m)
开启闸门时，NB?0，此时，因为AB平衡，所以
?MA(Fi)?0
12?FT?1?[?(?w?1.73)?1.73]??1.73?W?0.5?02312?FT?1??9.8?1.73?1.73??1.73?15?0.5?0
23?FT?16.914?7.5?0 FT?24.414(kN)
[习题3－30] 拱形桁架的一端A为铰支座，另一端B为辊轴支座，其支承面与水平面成倾角30°。桁架重量W为100ｋＮ，风压力的合力FQ为20ｋＮ，其方向平行于AB。求支座反力。 解：因为桁架平衡，所以 ①
?MA(Fi)?0
?RBcos300?20?W?10?FQ?4?0
?17.32RB?1000?80?0
FQRAxRBRAy 30
RB?62.4(kN)
②
?Fix?0
RAx?RBsin300?FQ?0
RAx?62.36?0.5?20?0 RAx??11.2(kN)
③
?Fiy?0
RAy?RBcos300?W?0
RAy?62.4?0.866?100?0 RAy?46(kN)
[习题3－31] 悬管刚架受力如图。已知q＝4ｋＮ／ｍ，F2＝5ｋＮ，F1＝4ｋＮ，求固定端A的约束反力。 解：
因为ABC平衡，所以 ①
?MA(Fi)?0
1MA?F1?2.5?F2?3??q?32?0
21MA?5?2.5?4?3??4?32?0
2MA?12.5?12?18?0 MA?42.5(kN?m)
②
MARAx?Fix?0
RAyF1?RAx?0 RAx??F1??4(kN)
③
?Fiy?0
RAy?F2?q?3?0
31
RAy?5?4?3?17(kN)
[习题3－32] 汽车前轮荷载为10ｋＮ，后轮荷载为40ｋＮ，前后轮间的距离为2.5ｍ，行驶在长10ｍ的桥上。试求：（１）当汽车后轮处在桥中点时，支座A、B的反力；（２）当支座
A、B的反力相等时，后轮到支座A的距离。
解：因为桥AB平衡，所以 ①
40kN2.5m10kNRAxRAy10mRB?MA(Fi)?0
RB?10?40x?10(x?2.5)?0 RB?4x?(x?2.5)?0 RB?4x?x?2.5?0 RB?5x?2.5
②
?F?Fix?0
RAx?0
③
iy?0
RAy?RB?10?40?0
RAy?50?RB?50?5x?2.5?47.5?5x
当汽车后轮处在桥中点时，x?5m，此时，
RAx?0
RAy?47.5?5?5?22.5(kN)
RB?5x?2.5?5?5?2.5?27.5(kN)
当RA?RB时，后轮的位置：
32
47.5?5x?5x?2.5 10x?45
x?4.5(m)
[习题3－33] 汽车起重机在图示位置保持平衡。已知起重量W1＝10ｋＮ，起重机自重W2＝70ｋＮ。求A、B两处地面的反力。起重机在这位置的最大起重量为多少?
W2?70kNW1?10kNBARA
解：因为起重机在图示位置时处于平衡，所以 ①
RB
?MA(Fi)?0
RB?4.5?10?7.5?70?2.5?0 RB?(75?175)/4.5?55.6(kN)
②
?Fiy?0
RA?RB?10?70?0
RA??RB?80??55.56?80?24.4(kN)
设最大起重量为Wmax，则此时RA?0
?MB(Fi)?0
70?2?Wmax?3?0
33
Wmax?140/3?46.7(kN)
[习题3－34] 基础梁AB上作用集中力F1、F2，已知F1?200kN，F2?400kN。假设梁下的地基反力呈直线变化，试求A、B两端分布力的集度qA、qB。图中长度单位为m。
F1?200kNF2?400kNF2?400kN解：因为基础梁AB平衡，所以 ①
?MA(Fi)?0
12?6?(qB?qA)??6?qA?6?3?F1?1?F2?5?0 2312(qB?qA)?18qA?200?2000?0 6qB?3qA?1100……………….(1)
②
?Fiy?0
1?6?(qB?qA)?qA?6?F1?F2?0 23qB?3qA?600……………….(2)
(1)-(2)得：
3qB?500 qB?167(kN/m)
qA?200?qB?200?166.7?33(kN/m)
[习题3－35] 将水箱的支承简化如图示。已知水箱与水共重W＝320ｋＮ，侧面的风压力
F?20kN，求三杆对水箱的约束力。
34
解：因为水箱平衡，所以 ①
W?320kNF?20kN?MA(Fi)?0
NBD?3.6?320?1.8?20?6?0
NBD?(576?120)/3.6?193(kN)（压力）
②
NBCNAC?Fix?0
20?NBCcos?BCD?0
6NBD20?NBC?3.63.6?4.822?0
20?0.6NBC??0
NBC??20/0.6??33(kN) （拉力）
③
?Fiy?0
NBCsin?BCD?NAC?NBD?W?0
?33?4.8?NAC?193?320?0 6NAC?153(kN) （压力）
[习题3－36] 图示冲压机构。设曲柄OA长r，连杆AB长l，平衡时OA与铅直线成α角，求冲压力FP与作用在曲柄上的力偶M之间的关系。 解：
以曲柄OA为研究对象，其受力图如图所示。
rl? sin?sin?rsin??sin?
lcos??1?sin2??1?(rsin?21)??l2?r2sin2? lld?rsin(???)?r(sin?cos??cos?sin?)
35
d?r(sin??12rl?r2sin2??cos??sin?) llrsin?d?(l2?r2sin2??rcos?)
l因为OA平衡，所以
ROO?r?RAd?M
Mrsin?RA?(l2?r2sin2??rcos?)?M
ldRAARA?Mlrsin?(l?rsin??rcos?)222
?l由滑块B的平衡可知，
FP?RAcos?
BMlFP?12l?r2sin2?
rsin?(l2?r2sin2??rcos?)l?Ml2?r2sin2?rsin?(l?rsin??rcos?)222FP?
M?FPrsin?(l2?r2sin2??rcos?)l?rsin?rcos?l?rsin?222222
M?Fprsin??(1?)
[习题3－37] 图中半径为Ｒ的扇形齿轮，可借助于轮O1上的销钉A而绕O2转动，从而带动
O1O2?齿条BC在水平槽内运动。已知O1A?r，3r。在图示位置O1A水平（O1O2铅直）。
今在圆轮上作用一力矩M，齿条BC上作用一水平力F，使机构平衡，试求力矩M与水平力F之间的关系。设机构各部件自重不计，摩擦不计。
36
解：
以轮O1为研究对象，其受力图如图所示。 因为轮O1平衡，所以
MO1NA??MO1(Fi)?0
NArsin??M?0
Ar3rRO1NA?MM2M ??rrsin?rr?2rO22r?以齿轮和齿条构成的物体系统为研究对象，其受力图如图所示。 因为物体系统平衡，所以
?M?MO1(Fi)?0 (Fi)?0
'NA'O2F?R?NA?2r?0
FR?NA?2r?0
FR?2M?2r?0 rFR 4FR?4M?0
M?[习题3－38] 图示一台秤。空载时，台秤及其支架的重量与杠杆的重量恰好平衡；当秤台上有重物时，在AO上加一秤锤，设秤锤重量为W，OB＝a，求AO上的刻度x与重量P之间的关系。
37
解：以杠杆OA为研究对象，其受力图如图所示。
因为AB平衡，所以
AOxaB?MRB?O(Fi)?0
?RBa?Wx?0
WRORBWx aRB'以称台为研究对象，其受力图如图所示。 因为AB平衡，所以
?Fix?0
RC?0
BP?F'iy?0
RCRB?P?0
RB?P?0
CWx?P?0 aPa x?W[习题3－39] 三铰拱桥，每一半拱自重P＝40ｋＮ，其重心分别在D和E点，桥上有荷载W＝20ｋＮ，位置如图。求铰A、B、C三处的约束力。图中长度单位为ｍ。
解：以整体为研究对象，其受力图如图所示。
因为整体平衡，所以
38
HBVBHAVA?MB(Fi)?0
VB?10?P?9?W?7.5?P?1?0
VB?(10P?7.5W)/10?(400?7.5?20)/10?55(kN)
?Fiy?0
VA?VB?2P?W?0
VA??VB?2P?W??55?80?20?45(kN)
以BC为研究对象，其受力图如图所示。 因为BC平衡，所以
1PCHC?MC(Fi)?0
HB?5?P?4?VB?5?0 HB?(?P?4?VB?5)/5
?VB?0.8P?45?0.8?40?13(kN)
由整体的平衡条件得：
5VCB5VBHBHA?HB?0
HA??HB??13(kN)下
?Fix?0
HB?HC?0
HC??HB??29(kN) （←）
?Fiy?0
VB?VC?P?0
VC?P?VB?40?45??5(kN) （↓）
[习题3－40] 三铰拱式组合屋架如图所示，已知q?5kN/m，求铰C处的约束力及拉杆
AB所受的力。图中长度单位为m。
39
解：
以整体为研究对象，其受力图如图所示。
因为整体平衡，所以
?MA(Fi)?0
RAxRAyRBRB?9?q?9?4.5?0 RB?4.5q?4.5?5?22.5(kN)
?Fix?0
RAx?0
?Fiy?0
RA?RB?q?9?0
RA??RB?9q??22.5?9?5?22.5(kN)
以右半部分为研究对象，其受力图如图所示。 因为右半部分（局部）平衡，所以
?MC(Fi)?0
?NAB?1.5?RB?4.5?5?4.5?2.25?0
NAB?(22.5?4.5?5?4.5?2.25)/1.5?33.75(kN)
?Fix?0
qRCx?NAB?0
RCxCRCx?NAB?33.75(kN)
1.5mRCy?NFABBiy?0
4.5mRCy?RB?0
RBRCy??RB??22.5(kN)
40
[习题3－41] 剪钢筋用的设备如图所示。欲使钢筋受力12ｋＮ，问加在A点的力应多大?图中长度单位为ｍｍ。
B450RB1200RCxC200D
解：
以BCD为研究对象，其受力图如图所示。 因为BCD平衡，所以
RCyNDARB'F?MC(Fi)?0
4501500?RBsin450?1.2?ND?0.2?0
300?RB?32?ND?0
OROyROxRB?1232?2.828(kN)
以OA为研究对象，其受力图如图所示。 因为OA平衡，所以
?MO(Fi)?0
'?F?1.5?RBsin450?0.3?0
F?(RBsin450?0.3)/1.5
F?(2.828?0.7071?0.3)/1.5?0.4(kN)
[习题3－42] 图为某绳鼓式闸门启闭设备传动系统的简图。已知各齿轮半径分别为r1、r2、
r3、r4，绳鼓半径r，闸门重W，求最小的启门力M。设整个设备的机械效率为?（即M的
有效部分与M之比）。
41
解：以轮O1为研究对象，其受力图如图所示。图中，F1为轮O2对轮O1的啮合力。?为压力角。因为轮O1平衡，所以
?MO1(Fi)?0
RO1y ?M?F1cos??r1?0 F1?O1M?Mr1cos?F1
?r1RO1x以轮O2为研究对象，其受力图如图所示。图中，F2为轮O3对轮O2的啮合力。?为压力角。因为轮O2平衡，所以
?MO2(Fi)?0
'F2?r3RO2y?F1'F2cos??r3?F1cos??r2?0
F2cos??r3?F1cos??r2?0
O2ROx2r2F2?r2F1r2?M??……(1) r3r3r1cos?RO3yO3RO3xr4rW以轮O3为研究对象，其受力图如图所示。 因为轮O3平衡，所以
??MO3(Fi)?0
42
F2'F2cos??r4?Wr
'F2cos??r4?Wr F2?rW……(2)
r4cos?由（1）、（2）得：
r2?MrW?? r3r1cos?r4cos?r2?MrW?? r3r1r4M?r1r3rW
?r2r4[习题3－43] 图为一种气动夹具的简图，压缩空气推动活塞E向上，通过连杆ＢＣ推动曲臂AOB，使其绕O点转动，从而在A点将工件压紧。在图示位置，ａ＝２０°，已知活塞所受总压力F＝３ｋＮ，试求工件受的压力。所有构件的重量和各铰处的摩擦都不计。图中长度单位为ｍｍ。
解：以C铰为研究对象，其受力图如图所示。
因为C铰平衡，所以
200NBCC200NDC?Fix?0
3kNNBCcos200?NDCcos200?0
43
NBC?NDC
?Fiy?0
0?2NBCsin20?3?0
BNBC700'NBC?3?4.386(kN)
2sin200250以曲臂AOB为研究对象，其受力图如图所示。 因为曲臂AOB平衡，所以
?MO(Fi)?0
NBCsin700?0.25?NA?0.1?0
NBCsin700?2.5?NA?0
'AONA100ROxROyNA?NBCsin700?2.5?4.386?0.9397?2.5?10.3(kN)
根据作用与反作用公理，工件所受到压力为10.3kN。
[习题3－44] 水平梁由AC、BC二部分组成，A端插入墙内，B端搁在辊轴支座上，Ｃ处 用铰连接，受F、M作用。已知F＝４ｋＮ，M＝６ｋＮ·ｍ，求A、B两处的反力。
解：以BC为研究对象，其受力图如图所示。 因为BC平衡，所以
4kN6kN?m?MC(Fi)?0
RB?4?6?0 RB?6/4?1.5(kN)
BRBRCxCRCy?Fiy?0
RAxRcy?RB?4?0
Rcy?RB?4??1.5?4?2.5(kN)
以AC为研究对象，其受力图如图所示。
44
RAyARCyC'MA因为AC平衡，所以
?Fiy?0
'RAy?Rcy?0
RAy?Rcy?2.5(kN)
?MA(Fi)?0
'MA?RCy?4?0
MA?RCy?4?2.5?4?10(kN?m)
[习题3－45] 钢架ABC和梁CD，支承与荷载如图所示。已知F＝５ｋＮ，q＝２００Ｎ／ｍ，
q＝３００Ｎ／ｍ，求支座A、B的反力。图中长度单位为m。
0
F?5kND1mRD?2.5kNC1mRC?2.5kN
解：以CD为研究对象，其受力图如图所示。
因为CD平衡，所以
RC?2.5kN'?MD(Fi)?0
C2mq?0.2kN/mRC?2?5?1?0 RC?2.5(kN)
?Fiy?0
0.5mBRAx2mAq0?0.3kN/mRD?RC?5?0
RD??RC?5??2.5?5?2.5(kN)
以刚架ABC为研究对象，其受力图如图所示。 因为ABC平衡，所以
RBRAy 45
?M
A(Fi)?0
111?RB?2?2.5?2.5??0.2?2.52?(?0.3?2)?(?2)?0
223?2RB?6.25?0.625?0.2?0 RB?7.075/2?3.5375(kN)
?Fix?0
1RAx?(?0.3?2)?0
2RAx?0.3(kN)
?Fiy?0
RAy?RB?2.5?0.2?2.5?0
RAy??RB?3??3.5375?3??0.5375(kN)
[习题3－46] 组合结构如图所示，已知q＝２ｋＮ／ｍ，求AC、CD、BD三杆的内力。
解：以整个组合结构为研究对象，其受力图如图所示。
因为CD平衡，所以
q?2kN/m?MA(Fi)?0
A1mRB?4?2?6?2?0 RB?6(kN)
RA1m2mC2mRBB1m?Fiy?0
RB?RA?2?6?0
RB??RA?12??6?12?6(kN)
46
过C铰和AD杆，把结构截断，取左半部分为研究对象，其受力图如图所示。 因为左半部分平衡，所以
?MC(Fi)?0
q?2kN/mNCDsin??2?6?2?2?3?1.5?0
CRCxARA1m?NADsin??6?4.5?0 （压力）
NADRCy1m2mDNAD15?1.5?0
NAD?1.55?3.354(kN)
根据结构的对称性可知，
NBD?NAD?3.354(kN)
以结点D为研究对象，其受力图如图所示。
NAD?NCD?NBD?Fiy?0
DNCD?2NADsin??0
NCD??2NADsin???2?1.55?15??3(kN)
[习题3－47] 在图示结构计算简图中，已知q＝15ｋＮ／ｍ，求A、B、C处的约束力。 解：以整体为研究对象，其受力图如图所示。 因为整体平衡，所以
?MA(Fi)?0
8RBy?4RBx?15?8?4?0
RBx2RBy?RBx?120…………(1)
RAxRBy?MB(Fi)?0
RAy?8RAy?4RAx?15?8?4?0 2RAy?RAx?120?0…………(2)
?F
iy?0
47
RAy?RBy?120?0 RAy?RBy?120…………(3)
?Fix?0
RAx?RBx?0…………(4)
以BC为研究对象，其受力图如图所示。 因为BC平衡，所以
?MC(Fi)?0
4R1By?4RBx?2?15?42?0
RBy?RBx?30…………(5)，前面已得到（1） 2RBy?RBx?120…………(1)
（1）+（5）得：
3RBy?150 RBy?50(kN)
RBx?30?RBy?30?50??20(kN)，前面已得到（4）RAx?RBx?0……………(4)
RAx??RBx?20(KN), 前面已得到（2） 2RAy?RAx?120?0…………(2)
2RAy?20?120?0 RAy?70(kN)
还是因为BC平衡，所以
?Fix?0
RCx?RBx?0 RCx??RBx?20(kN)
48
q?15kN/mCRCxRCy4mBRBx4mRByq?15kN/mCRCxRCy4mBRBx4mRBy
?Fiy?0
RCy?RBy?15?4?0
RCy??RBy?60??50?60?10(kN)
[习题3－48] 静定刚架如图所示。匀布荷载q1?1kN/m ，q2?4kN/m，求A、B、E三支座处的约束力。图中长度单位为m。
解：以DE为研究对象，其受力图如图所示。
因为DE平衡，所以
?MD(Fi)?0
RDxDRDy?RE?4?q1?4?5?0 ?RE?1?5?0 RE?5(kN)
3mq14m4mERE?Fix?0
RDx?1?4?0 RDx??4(kN)
?Fiy?0
RDy?RE?0
RDy??RE??5(kN)
49
以刚架ABC为研究对象，其受力图如图所示。 因为刚架ABC平衡，所以
q2?4kN/mRDyD'?MA(Fi)?0
1m1'RBy?6?RDx?5??4?62?0
26RBy?(?4)?5?72?0 RBy?92/6?15.33(kN)
C6mRDx'ARAyRAxB?F6mRByRBxiy?0
'RAy?RBy?RDy?4?6?0
RAy??RBy?RDy?24??15.33?5?24?3.67(kN)
'?Fix?0
RAx?RBx?RDx?0
RAx?RBx?4?0……..(1)
以BC为研究对象,其受力图如图所示. 因为BC平衡,所以
?MCRCxq2?4kN/mC(Fi)?0
3mRCy1RBx?6?RBy?3??4?32?0
22RBx?RBy?6?0
6mBRBxRBy2RBx?15.33?6?0
RBx??4.67(kN) 前面已得(1)式
RAx?RBx?4?0……..(1) RAx?4.67?4?0 RAx?0.67(kN)
[习题3－49] 一组合结构、尺寸及荷载如图所示，求杆１、２、３所受的力。图中长度单位为m。
50