第一讲:函数的极限与连续 下载本文

第一章、函数、极限和连续(约20%)

一、函数

(一).理解函数的概念,会求函数的定义域、表达式及函数值,会作出一些简单的分段函数图像。

1、函数的概念:

设x和y是两个变量,D是一个给定的数集,如果对于给定的每个数x?D,变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应,则称y是x的函数,记作y?f(x),数集D叫做这个函数的定义域,x叫做自变量,y叫做因变量。y的取值范围叫函数的值域。已知函数

f(x)的定义域,求函数f(g(x))的定义域。

2、定义域的求法原则

(1)分母不为零 (2)x,x?0 (3)lnx,x?0 (4)arcsinx,arccosx,?1?x?1

(5)同时含有上述四项时,要求使各部分都成立的交集 例1、 求的定义域:(1)y?4?x2?ln?x2?1?

(2) y?1+x?ln?4?x??(3)y?【提升】

1 x?3x2?4?1 x?1例2、 当0?x?1是函数f(x)的定义域,求f(sin2x)的定义域。 例3、当0?x?4是函数f(x?2x?4)的定义域,求f(x)的定义域。

3、表达式、函数值

例4、下列各对函数中,两个函数相等的是 ———————————( ) A.y?2xln(1?x)ln(1?x)2y?lnx与 B.与g?2lnx g?2xx2C.y?1?sinx与g?cosx D.y?x(x?1)与g?x?x?1 例5、(1)设f()?x?1?x(x?0),则f(x)=______________

(2)设f(e)?x?1,则f(x) =______________

1

x1x2(3)若y??【提升】

?sinx2?x?1?2?x?00?x?2,则y()=______________

?2例6(1)已知f(x)?e,f(g(x))?1?x,且g(x)?0,求g(x)和定义域 (2)已知f(x)?sinx,f(g(x))?1?x,求g(x)和定义域 4、简单的分段函数图像

2x2?1,x?0?(1) sgnx??0,x?0,(符号函数)

??1,x?0?(2)取整函数 例如 y??x?

(二).掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。 1.有界性

设f为定义在D上的函数.若存在正数M,使得对每一个x?D有|f(x)|?M,称f为D上的有界函数.

(1)几何意义:f为D上的有界函数,则f的图象完全落在y?M和y??M之间; (2)f在D上有界?f在D上既有上界又有下界;例子:y?sinx,y?cosx; 例1.函数f(x)?sinx在(??,??)内有界。 例2.函数f(x)?2.函数的单调性

定义 设f为定义在D上的函数,?x1,x2?D,x1?x2,

(1)若f(x1)?f(x2),则称f为D上的增函数;若f(x1)?f(x2),则称f为D上的严格增函数.

(2)若f(x1)?f(x2),则称f为D上的减函数;若f(x1)?f(x2),则称f为D上的严格减函数.

例3.讨论函数y?f(x)?2x?1的单调性。 例4.证明:f(x)?21为(0,1)内无界。 xx在(0,??)上是单调增加的。

注:1)单调性与所讨论的区间有关.在定义域的某些部分,f可能单调,也可能不

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单调.所以要会求出给定函数的单调区间;

2)严格单调函数的几何意义:其图象无自交点或无平行于x轴的部分.更准确地

讲:严格单调函数的图象与任一平行于x轴的直线至多有一个交点.这一特征保证了它必有反函数. 3.函数的奇偶性

定义. 设D为对称于原点的数集,f为定义在D上的函数.若对每一个x?D有 (1)f(?x)??f(x),则称f为D上的奇函数; (2)f(?x)?f(x),则称f为D上的偶函数.

注:(1)从函数图形上看,奇函数的图象关于原点对称(中心对称),偶函数的图象关于y轴对称;

(2)奇偶性的前提是定义域对称,因此f(x)?x,x?[0,1]没有必要讨论奇偶性.

??奇函数:y=sinx??(3)从奇偶性角度对函数分类:?; 偶函数:y=sgnx?非奇非偶函数:y=sinx+cosx??既奇又偶函数:y?0?(4)由于奇偶函数对称性的特点,研究奇偶函数性质时,只须讨论原点的左边或右

边即可.

例5.讨论函数y?f(x)?x?2x的奇偶性。 例6.讨论函数y?f(x)?loga(x?42x2?1)的奇偶性。

例7.设f(x)是定义在(?l,l)上的任意函数,试证 (1)f(x)?f(?x)是偶函数;

(2)f(x)?f(?x)是奇函数。

4.函数的周期性

1、定义:设f为定义在数集D上的函数,若存在??0,使得对一切x?D有

f(x??)?f(x),则称f为周期函数,?称为f的一个周期.

2、几点说明:

(1)若?是f的周期,则n?(n?N?)也是f的周期,所以周期若存在,则不唯一.如

y?sinx,??2?,4?,?.因此有如下“基本周期”的说法,即若在周期函数f的所

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有周期中有一个最小的周期,则称此最小周期为f的“基本周期”,简称“周期”.(2)任给一个函数不一定存在周期,既使存在周期也不一定有基本周期,

如:1)y?x?1,不是周期函数;

2)y?C(C为常数),任何正数都是它的周期.

【综合】、设函数f(x)的定义域是全体实数,则函数f(x)?f(?x)是———( ) A.单调减函数 B.偶函数 C.有界函数 D.周期函数

(三).理解函数y =?(x)与其反函数y =?(x)之间的关系(定义域、值域、图像),会求单调函数的反函数。

1、设函数y?f(x),x?D.满足:对于值域f(D)中的每一个值y,D中有且只有一个值x,使得f(x)?y,则按此对应法则得到一个定义在f(D)上的函数,称这个函数为f的反函数,记作f注释

a) 并不是任何函数都有反函数,从映射的观点看,函数f有反函数,意味着f是D与

?1-1

:f(D)?D,(y|?x)或x?f?1(y),y?f(D).

f(D)之间的一个一一映射,称f?1为映射f的逆映射,它把f(D)?D;

b) 函数f与f?1互为反函数,并有:f?1?1(f(x))?x,x?D, f(f?1(x))?y,y?f(D).

c) 在反函数的表示x?f(y),y?f(D)中,是以y为自变量,x为因变量. 若按习惯做

?1法用x做为自变量的记号,y作为因变量的记号,则函数f的反函数f可以改写为

y?f?1(x),x?f(D).

2、求反函数

1?2x例1、(1)y?(2)y??x?1 1?2x(四).掌握函数的四则运算与复合运算; 掌握复合函数的复合过程。

例1、分解复合过程: (1)y?sin(5)y?e

tan1; (2)y?lnx; (3)y?ex1xx; (4)y?cosx;

x32;(6)y?arctanx;(7)y?lnarcsine;(8)y?sin(2x?1);

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